第6章 试验数据的

1、第6章 试验数据的统计分析 （一）误差、真值及其分类 1误差、真值与相对误差 所谓真值，实际上就是一个物理量的固有的量度。比如说一个物体，它有一定的长度、有一定的重量。那么这个长度和重量是它固有的，是不随着人们的测量而改变的。用来表示这个真值。测量量就是用仪器对一个物理量测量得到的量度，一般用X来表示。 测量量随着所用仪器的不同和人的不同，对同一个物理量进行测量，得出这个值都不会相同。因为测量的时候有误差。 误差用什么来衡量呢？就是用测量量和真值之差，把这个就叫做误差，一般用来表示。就是等于测量值和真值之差。这个误差是绝对误差。但是有的时候用绝对误差不能表示你测量的精确程度。 比如说，对一米的

2、一个物体进行测量，误差假如是一个毫米。对一百米的一个物体进行测量，假如误差也是一个毫米。虽然绝对误差都是一毫米，但实际上测量的精密度却差很多。大家都知道，对一百米测量误差是一毫米，实际上就很精密了，可是对一米测量误差是一毫米，那相对来讲就粗糙一些。因此只用绝对误差还不能够明确表示误差的大小。 所以，引入一个相对误差的概念。所谓相对误差，就是用它的测量值去除这个绝对误差，那么得到就是相对误差值。这个相对误差值能够比较好的表示对测量的精密程度。 2误差的分类 引起测量误差的原因是很多的。因此，对于误差要进行一些分类，一般的主要分成这么两类，一类叫做系统误差，一类叫做偶然误差。 （1）系统误差 系统

3、误差就是有规律的和重复的误差。那么这种误差，就是说你可以找到引起误差的原因。而且它能够重复，你只要把外界条件改变成完全一样，它的误差还会出现，而且这个误差总是偏向一个方向，假如说测量值比真值大，那么它就总是偏大。 引起系统误差的原因有这么几个方面：一个是测量方法不完善；第二个是仪器仪表有缺陷；第三就是气象条件变化；四就是仪器仪表未校准；第五就是测量人员生理特性及习惯等等。 一般就这么五类条件。比如说气象条件变化，你测量的时候温度发生变化或者湿度发生变化，那么，这个仪器读出的读数就会有变化。测量方法不完备，这个用不着太多解释，就是说你的测量方法有缺陷，当然肯定就会有误差了。那么你要改进，当然就是

4、你要改进测量方法，要改进仪器。测量人员的生理特点，是这样，尤其是指针类的仪表，在读数的时候前头有刻度，最后一位总是要有估计值，这个估计值有的人估计总是偏小，有的人估计总是偏大，这样也会造成误差。这一类误差，因为它可能找到产生误差的原因，因此要消除这个误差，你就要针对它引起的原因去解决。在误差分析里从数学讲是无法处理这类误差的。 （2）随机误差 随机误差是由于偶然因素引起来的，这种引起误差的因素人们是找不着的，它是随机的发生，不能重复。误差分析里，主要是通过数学方法来处理这类误差。 （二）随机误差的分布及其性质 随机误差它是不可避免的，而且人们找不到产生随机误差的原因。那当然就要对误差是如何分布

5、的和它有什么性质来进行分析，以便通过数学的方法来把它消除。经过大量的试验以后，人们发生随机误差有这么几条规律。 1绝对值相等的正误差和负误差出现的概率是相同的。 2绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。 3绝对值很大的误差出现的概率近于零。 这是偶然误差的一个不变的规律。从第一个特性就可以推出什么呢?就是当N趋于无穷大的时候，那么，所有误差之和应该等于零。因为它有正误差和负误差出现概率相同，所以当然正负就互相抵消了，所以它们之和等于零。 经过很多年的研究，人们普遍认为随机误差遵循正态分布规律。 分布函数用F(X)来表示，这是什么意思呢？就是说，随机出现的随机数，它小于等于某

6、一个值的概率，就把这个叫做分布函数。那么正态分布的分布函数像公式表示这样，它是一个定积分，就是从负无穷到X的某一个值的积分，这就是这个随机数的分布范围。 它的分布值，主要是受两个参数影响；其中一个是用来表示的，在数学上叫做数学期望。另外一个是用来表示，数学上叫它均方差。那么一个正态分布，当然就受这两个数来控制，这两个值要是定了，实际就可以按照正态分布表去查出来分布函数值。也就是随机数小于等于X的出现概率。把这个积分号里面一项单独拿出来，用p（）来表示，把它叫做分布密度函数，这个函数写起来当然是比较复杂，但是它的规律是很简单的。 分布密度函数有这么一个特性，是一个对称的函数，那么，它以什么为对称

7、呢?以它的数学期望值为对称轴，左右对称。那么它的分布，刚好和误差分布是一样的。误差分布也是，靠近平均值的出现的次数特别多，所以它的分布密度特别高，而且是正误差和负误差是相等的。那么出现大误差的概率越来越小，要是很大的概率基本上就接近于零了。这说明，随机误差服从正态分布。所以，我们测量的绝大多数测量值，都服从正态分布,而它的数学期望，在我们测量当中，实际上就是真值。测量值和真值之差，当然就是误差了。 由于测量误差服从于正态分布，正态分布的规律就完全适应于测量误差了。正态分布的规律取决于两个数，一个是数学期望，一个是均方差。均方差的特点是，均方差越小，分布密度函数越集中，它的峰值越高，函数越窄，越

8、靠近区域值。就是说，均方差越小，随机数就更靠近数学期望值。那么对于测量误差来讲，假如你测量的误差越小，那么它就越靠近平均值。 （三）测量数据的参数估计 这里头，先说两个名词，一个叫母体，一个叫样本。所谓母体，就是测量值的可能取值的总体，这个母体当然是很多了，就是无穷多个。 一个物理量，我们对它可能进行多少次测量，就有多少个测量值。实际上你可以测量无穷多次，当然它的母体是很多个，实际是很多个测量值的组合。有些物理量，你测量不了这么多。所以，母体是一个无穷大的一个数列。 那么样本，实际上是我们进行试验的时候，对它进行几次测量得到的测量值。因为你测量总是有限次的，所以这个样本就是母体当中的几个。 测

9、量值的估计值。我们测量的目的，是为了求得真值。但实际上真值是你测量不到的，你只有测量无穷多次才能得到真值。我们当然不能测量无穷多次，只能测量有限次。因此，我们得到的值只能是真值的估计值。那么用什么做估计值最好呢，当然通过数学上证明就是用它的平均值。 也就是说估计值用什么表示呢？用上面加一个号来表示。真值的估计值用什么表示呢？用X上面加一个横杠，表示对测量值的平均值，那么假如说做N次测量，那当然就是N次的平均值，也就是把N个测量值加起来被N来除，这就是真值的估计值。见公式（6-1）。 大样本、小样本： 比如说，大家在学建筑材料的时候，对混凝土的标准强度取值，那么它的取值，它要保证率要95%，那么

10、取值它是平均值减去1.45，那么，那时候它就把平均值，因为统计混凝土的强度平均值，那是统计很多了，那基本是几千次上万次的，所以它是个大样本，就把它的平均值当作真值了。所以，就完全按照正态分布的函数值来确定它的可靠程度。但是，小样本实际确定可靠程度就不能完全按照正态分布来做。 下面一个就是标准误差。标准误差在数学上实际上就是均方差的估计值,它的公式见式（6-2）。 我们也就把这个当作标准误差。这个标准误差也是绝对数值的大小。因此，它还引入一个叫变异系数，用个来表示，它是标准误差平均值和X平均值之比，实际上这个变异系数就相当于前面说的相对误差了。因为，它不是绝对值大小，而是相对于平均值的这么一个相

11、对值。 如果标准误差要小，那么它实际上就说明你的平均值就更接近于真值，所以对于有限次测量来讲，那就是说你这个真值的估计值得到以后，也就是说算术平均值得到以后，那么这个标准差的作用，就是衡量你的测量的可靠程度的。你这个标准误差要小，可靠程度就高，标准误差要大，可靠程度就低。 上面介绍的是误差分析。通过误差分析就可以得到真值的估计值，比如说，我们通过测量就可以得到一个算术平均值，用来估计真值的。同时用标准误差来估计测量的可靠程度。 （四）回归分析 结构科学研究试验数据处理的最终目的，就是求得研究对象中各有关变量的变化规律，确定各变量间的依存关系。一般要组成两组无量纲的参数组合，做出图表及曲线，再求

12、出经验公式。 1回归直线的求法 建立经验公式，最简单的当然就是直线，我们把这个方法叫做回归直线。假定我们有两个观测参数，一个是X，一个是Y，这个前面已经说了，这两个参数不一定是简单参数，可能是一些变量的组合最后算出来的。那么Y也可能是某几个变量组合算出来的。那么X和Y是互相对应的，比如说X是3.1，Y是2.0等等。像这个表上列的都是一个X对应一个Y，一个X对应一个Y。如果把这个数据做在图上，见图61。xy3.15.25.56.07.58.08.19.510.512.013.015.016.017.52.01.82.03.02.43.03.63.44.84.85.05.45.06.0 那么Yi计算值和Yi测量值之间这段距离，我们叫它“离差”。 最小二乘法 它的方法是这样的：先设计条直线，就是Y=A+BX，那么这个A和B当然就是待定的参数了。就是说，我们只要求出A、B，那么这条直线就求出来了。 用Q表示“离差”平方和。这个“离差”平方和，就是N个Yi测量值减去Yi