微积分期末复习重点纲要zhaoshuyuan

1、109-10年微积分(高数(三)(下)期末复习指导第六章 定积分一. 本章重点定积分的基本性质，定积分的计算， 变上限定积分的求导法。二. 复习要求1.理解定积分的概念， 知道定积分与不定 积分的区别。函数 f(x)的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数 f (x)在l.a,b 1上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数 f(x)及积分区间!a,b有关。2.理解并记住定积分的基本性质。3.理解变上限定积分的概念， 熟练掌握求 变上限定积分的导数的方法：4.熟练掌握用牛顿一莱布尼兹公式求定 积分的方法。牛一莱公式将定积分与不定积分这两个 截然不同的概念联系起来，求定积分

2、的值， 只需求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，再应用牛一莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分 法，换元积分法，分部积分法。5.熟练掌握定积分的换元积分法，分部积 分法。注意：用换元法求定积分时， 换元必换限， 无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则 积分限不作变换。定积分适用分部积分的类型及 u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定 积分的分部积分公式中每一项都带着积分 上、下限，而且为了减少出错，要及时计 算出uva的值。b6.熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性 质。7.熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平 面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三.例题

3、选解x4arcs in2 2、tdt例1.求极限lim - -厂7 十x解：这是-型不定式，应用罗彼塔法则及变0上限定积分求导法，有原式=lim(arcs沱用)4x3九申十6x52x24x3=lim5x卩6x5(无穷小代换)=43例2.求定积分：1 _x3,4 x2dxJ丄1x 1e2( (3)x Jx ln xdx.1根据奇函数在对称区间积分的性质,1 _x3,4 x2dx = 0.本题被积函数含一次函数的根式，且不 能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类 换元法。令 t贝 u x=t2, dx = 2tdt ;有:当x = 1时，t =1，当x = 4时t=2.2dt=221t211t21

4、22t22 _222t22 2dt=21t211=(2t -2arctant)(3)显然本题积分2t2dtFdte2_x xx In xdx属适用分1步积分的类型.,根据Xdx = d(丄X1),川1可得形的面积以及该平面图形绕X轴旋转一周形 成的旋转体的体积。解：由所给曲线方程解得交点：(1,1),1(2, ),(2,2).画出平面图形如下：2(1)求平面图形的面积.视平面图形为X形区域，得平面图形面积为：自我复习习题六(A) 4. (3)、(5). 5.(3)、(6)、(8)、(10) .6.(1)、(3) . 12.(1)、(3)、(5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5

5、). 25.(1)、.第七章无穷级数一. 本章重点数项级数收敛性的判定(包括正项级 数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与 条件收敛的判定)。幕级数的收敛域的确 定。利用幕级数的性质求幕级数的和函数。二. 复习要求1.理解级数的基本概念；记住级数的基QQ本性质，特别是：若级数二 Un收敛，则必n -12严2(2)求旋转体的体积.视平面图形为X形区域，有: 四练习题及参考答案有lim un=0，但m un0nn j时，级数 v Un 未nT必收敛1、求极限x3_tan3tdt02.熟记等比级数aqn的敛散性:2、求积分3dx.3 .1 x2x53x,x 1dx04(3)xcos2xdx.0当|q|

6、1时，等比级数aqn发散。n d3.熟记p级数的敛散性：nmn兀x =一2围成的平面区域D的面积，及区域D绕X轴 旋转一周而成的旋转体的体积。34.116 1；(3).15843、求由曲线 y 二 sin x ,直线 y =2x 以及参考答案：1、2、0 ;(2)JI当p1时,p级数二I收敛;心np3、一2-1;4兀4兀2一64当p/3n + 1f(一1广叫卫nm31解:(1)令Un= 1 - COS n当n、：时，Un丄(丄)2，2 n显然 J _12收敛，故原级数收敛。n2n小结：利用P级数作比较标准，用比较判 别法来判别正项级数的敛散性时，用等价 无穷小代换是一个简便实用的方法，常用 的

7、等价无穷小代换还有： 1 111取极限:limn -an 1an限:nim：2n时，sin，ln(1 )n nn n(参见教材 P79)。21 -,心3n 1事实上，根据正项级数的比较判别法的极 限形式，因为岛(-1)3n 1和收敛区间.解：所给幕级数为缺项情形，由Un1(X)lim5 un(x)=limni:12(n 1) J2n 1X12n_12X.J3n +2 limn:v3n3nlimlim12n 3n 2nI 3n 2oO OaO O d又因为 nL3n=23.n=发散,oO所以瓦(-1)n=1n .123n 1发散；但有:记 Un -J3n +1Un二3(n 1) TUn1，1根据

8、定理7-12,当x21 即 x2时，所给幕级数绝对收敛；当-x21 即2x x442 2时，所给幕级数发散.所以幕级数的收敛半径R=R= 2 2，收敛区间为(- 2, 2) ).QQ例3.求x(n 2)xn的收敛半径，收敛区间n=0及和函数，解：记 a n 2,则幕级数收敛半径为：lim Un = 0，QQ所以交错级数 J(-1)nn =1-2条件收敛。,3n 1R二limn y -an 1如航收敛区间为(3).QC計)n 1n(n 1)3n煮 n(n +1)23n，根据正项级数的比值判别法,(n +1)( n +2)(-1,1).且当x-x- -1-1时，幕级数为、(n - 2)(_1)n,

9、其通项求极限n=03n1幕级数的收敛域也是( (-1,1).仆口丄1nr3n 3由limnjpC3n孑呼收敛n&3n二八nn(n +1)二(T)n绝对收敛。n =33n(n 1)例2求幕级数+xn #22nd的收敛半径记幕级数和函数为 f (x).即(1)当x = 0时,=_ (x ) = (x ) =_(-)Xn=0 xn=0X 1 _ X_ 1 2x-x22-x一 -X (1 -X )2(1 -X )22位平等的自变量。即求Fx时，视 y, z 为常旳x2n(-1)耳的收敛半径和收n =15敛区间.03.求 anxn 2的收敛半径，收敛区间及和n =1函数。参考答案：1.(1).绝

10、对收敛；(2).绝对收 敛；条件收敛；发散.2.R5;收敛区间(-、5八5).3X)x) 数，其余类似。5.掌握二元函数极值的概念及判断法，能熟 练用拉格朗日乘数法求多元(二，三元)函数的 条件极值.6.理解二重积分的概念，掌握并理解二重积 分的基本性质；7.熟练掌握二重积分在直角坐标系下化为二 次积分进行计算的方法，并能熟练把一种次 序的二次积分交换为另一种次序的二次积 分。8.会用二重积分求平面区域的面积。三.例题选解：例1.求下列函数的全微分或偏导数.第八章多元函数(2)当x=0时，f (x)=2综上:f( (x走寺一 4 x 1四.练习题及参考答案 判定下列级数的敛散性。1.44、(-

11、1)心-Jn(1-)n占nnf(-1)2n 43n 1 (-1)n an 1n -14n 1下的计算。二.复习要求1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定 义域；2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的 隐函数求导公式：若 F(x, y,z)=0 可确定隐函数 z= f(x,y)zFx:xFz；z Fy- =-Fz求 FX, Fy,Fz时,均视 x, y, z 为地自我复习：习题七(A)4. (7) ,(8);5,(4); 7.(1),(3);8. (1),

12、(3); 9. (5),(12); 10. (2).(1).z z = =ln(1 x2- y2),求dz;(2).= arctanz_yx确定 z 是x, y的函数,一.本章重点多元函数的偏导数及全微分；多元函数 的极值与条件极值；二重积分在直角坐标系2x2 2，x 1 x- y:z _2y 2 2y 1 x _ y2.求幕级数2dz二zxdx zydy22(xdx _ ydy)1 + x - y(2).本题函数为隐函数.令F (X, y, z) =x- arctan -,则有zx解：画出区域D略图如下：” 0乞x兰12x兰y兰3x=1(- x4X3一空 X212x)dx = 231.2 2

13、 6例5.要造一个容积等于定数a(a . 0)的长令 F = xy 2yz 2xz(xyz-a)其中x , y为自变量，u, v 为中间变量,由复合函数链式求导法, 注意到fu,fv要看成是fu(u, v), fv(u,v)，所以有：i3y例3将二次积分 dy f ( x, y)dx 交换积 分次序.解：由已知，原积分区域为丫型区域：0乞y岂10乞x乞3?:Fy 2z yz = 0:x:Fx 2z xz = 0：x:F2y 2x xy = 0 xxyz = a因本问题存在最小值点，故唯一的可疑点即所求.画出积分区域D的略图如下所示：即当水池长，宽分别为怎,高为 13区时,水池l 0：x 叮 1

14、视D为X型区域：暨心表面积最小.，得法2由约束方程xyz=a解得：z z = = xy1 1原式二0dxx3f (x,y)dy 例4计算(4 -x-y)dxdy,其中区域D由曲代入s=xy 2yz 2xz得：s=xy号D于是求条件极值转化为求上面得到的二元函数的线 y = x2,直线 y = 3x 及x =1所围成.2 2：zFx z(x y z) - =- =:xFzx(x2y2)1例2.设z = fxy ,?(x2- y2) 1，其中f具有方体无盖水池应如何选择水池的尺寸，方可 使它的表面积最小.分析与解：设长方体的长，宽，高分别为x, y,z 贝 U 水池表面积 s=xy - 2yz 2

15、xz二阶连续偏导数，求；：2z本问题归结为求三元函数 s 二 xy 2yz 2xz分析：显然fxy是一个复合函数,在约束条件xyz=a下的最小值点.有两种解u =xy,v(x22y2),则 z = f(u,v)法：法1.用拉格朗日乘数法.解方程组：得唯一可疑点：x = y = 2z = V2a2.无条件极值解方程组:得 x= y =32a,经检验(自己可用极值的充分1i/x3.交换二次积分( (0dxJ0f (x, y)dy的积分次序。程的解法：掌握一阶线性微分方程的特点(齐次、 非 齐次)，熟练掌握用常数变易法或公式法 求解一阶线性非齐次微分方程。例题选解x1.求xy y = e的通解条件检

16、验)(32a,32a)就是唯一的极小值点, ,也4.33_140就是最小值点, ,即当水池长, ,宽分别为32a,5.8a3x = y = z =莘,Vmax =.J333高夕33公J恳时,水池表面积最小.四练习题及参考答案1.求下列函数的全微分或偏导数.(1).z = x y - x2y2,求dz;自我复习：习题八(A)8.(3),(5), 14.(2).19.( 3),(3)， ,(5).30.(1).第九章16.(2), (3).27.(2).常微分方程简介29.(2).2y2z2y y = =x2z 确定 z 是x, y的函数1.-22.求例2所示函数的二阶导数三.exex2.3.本章重点求解一阶线性微分方程。复习要求知道微分方程的定义、阶、通解、特解等 概念；熟练掌握可分离变量的微分方程的解法；知道可化为形如 3 二f($)的齐次微分方dx x4.计算(x2y)dxdy ,其中D是由曲线Dy y =x=x2 2与y y2 2=x=x围成的平面区域.2例.求微分方程y：xy = xe的通解。 解：