函数的和差积商的导数

1、函数的和差积商的导数教案教学目的1使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；2使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数教学重点和难点本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法教学过程一、复习提问1求导数的三个步骤是什么？(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答若答错或不完善则请另外学生纠正或补充)(1)求函数的增量：y=f(xx)f(x)；2试用导数的定义求函数yxx2的导数(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演)解：设y=f(x

2、)xx2，则y=f(xx)f(x)(xx)(xx)2(xx2)x(12xx)，二、引入新课让学生观察复习提问2的结果：y=12x从这个结果可以得到以下两点启示：1函数yxx2是两个函数(yx和yx2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；2函数yxx2的导数y=12x，恰好是函数yx和yx2导数的和那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？结论是肯定的三、讲解新课1和(差)的导数法则1 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)即其中u和v都是x的可导函数证明：(可让学生自己完成)设y=f(x)u(x)v(x)，则y=u(xx)±v(xx)u(x)&#

3、177;v(x)=u(xx)u(x)±v(xx)v(x)=u±v，即y'=(u±v)'=u'±v'追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即例1 求函数yx3sinx的导数解：y'(x3)'(sinx)'3x2cosx设问(继续引入新课)：既然有(u±v)'u'±v'，那么是否也有呢？就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：把函数yx3看作函数u(x

4、)=x和函数v(x)=x2的乘积，即y=x·x2按(1)求导有：y'(x·x2)'(x)'·(x2)'=2x显然与y'(x3)'3x2的正确结果不符可见该(1)为谬那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来2积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数即其中u和v都是x的可导函数证明：设yf(x)u(x)·v(x)，则y=u(xx)·v(xx)u(x)·v(x)u(xx)·v(xx)u(x)·

5、;v(xx)u(x)·v(xx)u(x)·v(x)，因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当x0时，v(xx)v(x)，从而即 y'=(uv)'=u'vuv'若c为常数，则从法则2立即可以推出：(cu)'=c'ucu'=0cu'=cu'就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数即例2 求函数y(2x23)(3x2)的导数4x(3x2)(2x23)·318x28x93商的导数法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方即因

6、为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当x0时，v(xx)v(x)，从而即解：例4 求证当n是负整数时，公式(xn)'=nxn-1仍然成立证明：设 n=m(m为正整数)说明：当n0时，(xn)'nxn-1也成立，所以对于一切整数n，公式(xn)'nxn-1成立四、小结1通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：(1)(u±v)'=u'±v'；(2)(uv)'u'vuv'；(cu)'cu'(c为常数)；其中u和v是x的可导函数2公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意3和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答)五、布置作业1阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；2求下列函数的导数：(1)y5x53x3x25；(