函数的求导法则

1、§2. 2函数的求导法则教学目的要求：1. 掌握导数的运算法则，并能灵活应用。.2. 熟记基本求导公式。教学重点难点：重点：导数的运算法则难点：复合函数的求导法则教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数, 并且 u(x) ±v(x)¢=u¢(x) ±v¢(x) ; u(x)×v(x)¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x);.证明 (1)=u¢(x)±v&

2、#162;(x). 法则(1)可简单地表示为 (u±v)¢=u¢±v¢.(2)=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x),其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在,故v(x)在点x连续. 法则(2)可简单地表示为 (uv)¢=u¢v+uv¢.(3) .法则(3)可简单地表示为. (u±v)¢=u¢±v¢, (uv)¢=u¢v+uv¢,.定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如

3、, 设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导, 则有(u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢.(uvw)¢=(uv)w¢=(uv)¢w+(uv)w¢ =(u¢v+uv¢)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢.即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢.在法则(2)中, 如果v=C(C为常数),则有 (Cu)¢=Cu¢.例1y=2x 3-5x 2+3x-7,求y¢解: y&#

4、162;=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)¢= 2 (x 3)¢- 5( x 2)¢+ 3( x)¢=2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3.例2.,求f ¢(x)及.解:,.例3y=e x (sin x+cos x),求y¢.解: y¢=(e x )¢(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)¢= e x (sin x+cos x)+ e x (cos x

5、-sin x)=2e x cos x.例4y=tan x ,求y¢.解: .即 (tan x)¢=sec2x .例5y=sec x,求y¢.解:=sec x tan x .即 (sec x)¢=sec x tan x .用类似方法,还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)¢=-csc2x , (csc x)¢=-csc x cot x .二、反函数的求导法则定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iy内单调、可导且f¢(y)¹0, 那么它的反函数y=f-1(x)在对应区间Ix=x|x=f(y),y

6、6;Iy内也可导, 并且.或.简要证明: 由于x=f(y)在Iy内单调、可导(从而连续), 所以x=f(y)的反函数y=f-1(x)存在,且f-1(x)在Ix内也单调、连续. 任取xÎIx, 给x以增量Dx(Dx¹0,x+DxÎIx), 由y=f-1(x)的单调性可知Dy=f-1(x+Dx)-f-1(x)¹0,于是.因为y=f-1(x)连续, 故从而. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6设x=sin y,为直接函数, 则y=arcsin x是它的反函数. 函数x=sin y在开区间内单调、可导, 且(sin y)¢

7、=cos y>0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间Ix=(-1,1)内有.类似地有:.例7设x=tan y,为直接函数, 则y=arctan x是它的反函数. 函数x=tan y在区间内单调、可导, 且(tan y)¢=sec2y¹0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间Ix=(-¥,+¥)内有 .类似地有:.例8设x=ay(a>0,a¹1)为直接函数, 则y=logax是它的反函数. 函数x=ay在区间Iy=(-¥,+¥)内单调、可导, 且(ay)¢=ayln a¹0.因此, 由

8、反函数的求导法则, 在对应区间Ix=(0,+¥)内有 .到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=fg(x)在点x可导, 且其导数为或.证明: 当u=g(x)在x的某邻域内为常数时,y=fj(x)也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时,Du¹0, 此时有,= f ¢(u)×g¢(x).简

9、要证明:.例9 , 求. 解 函数可看作是由y=eu,u=x3复合而成的, 因此. 例10 , 求. 解 函数是由y=sin u,复合而成的,因此.对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,例11lnsin x, 求.解:.例12, 求.解:.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u),u=j(v),v=y(x), 则. 例13y=lncos(e x), 求. 解:. 例14, 求. 解:.例15设x>0, 证明幂函数的导数公式 (xm)¢=mxm-1.解 因为xm=(e ln x)m=em ln x, 所以 (xm)¢=(em

10、 ln x)¢= em ln x×(m ln x)¢= em ln x×mx-1=mxm-1.四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数:(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=mxm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢=-csc2x,(7)(sec x)¢=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(ax)

11、2;=ax ln a,(10)(ex)¢=ex,(11)(12),(13)(14) (15),(16). 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),v=v(x)都可导, 则(1)(u±v)¢=u¢±v¢,(2)(Cu)¢=Cu¢,(3)(uv)¢=u¢×v+u×v¢,(4). 3反函数的求导法则设x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f¢(y)¹0, 则它的反函数y=f-1(x)在Ix=f(Iy)内也可导, 并且 .或.4复合函数的求导法则

12、 设y=f(x),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y=fg(x)的导数为或y¢(x)=f¢(u)×g¢(x).例16.求双曲正弦sh x的导数.解: 因为, 所以,即 (sh x)¢=ch x.类似地, 有(ch x)¢=sh x.例17.求双曲正切th x的导数. 解: 因为, 所以.例18.求反双曲正弦arsh x的导数. 解: 因为, 所以.由, 可得.由, 可得.类似地可得,.例19y=sin nx×sinn x (n为常数), 求y¢.解:y¢=(sin nx)¢ sin