第十章能量法1

1、2022-3-30材料力学1第十章第十章能量法与超静定系统能量法与超静定系统2022-3-30材料力学210-1 概概 述述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能弹性变形能，简称变，简称变形能。形能。 物体在外力作用下发生变形，物体在外力作用下发生变形，物体的变形能物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功做的功，即，即 U=WU=W 能量方法：能量方法： 利用这种功能关系分析计算可变形固利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形

2、和内力的方法称为体的位移、变形和内力的方法称为能量方法能量方法。 2022-3-30材料力学3一、杆件产生基本变形时的变形能一、杆件产生基本变形时的变形能1 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩PL LoB LPAEALFWUN2210-2 应变能应变能 余能余能式中式中 轴力，轴力， A A 截面面积截面面积NF2022-3-30材料力学4由拉压杆件组成的杆系的变形能：由拉压杆件组成的杆系的变形能：niiiiNiniiiiiAELFAELPU121222P12345受力复杂杆受力复杂杆( (轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化) )的变形能的变形能qLLNLEAdxxFdUU2)(2xdx10

3、-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学52 2、圆截面杆的扭转、圆截面杆的扭转MnLMnoBMnA圆截面杆的变形能圆截面杆的变形能pnGILMmWU2212式中式中 Mn圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 pI10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学6受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆( (扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量) )LpnLGIdxxMdUU2)(2 xdxLtAB10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学73 3、平面弯曲、平面弯曲EILMmWU2212纯弯

4、曲梁的变形能：纯弯曲梁的变形能：式中式中 M梁横截面上的弯矩；梁横截面上的弯矩； I梁横截面对中性轴的惯性矩梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学8横力弯曲梁横力弯曲梁( (弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量) )的变形能的变形能LLEIdxxMdUU2)(2Pm=PaACBaa一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁: :剪切变形能远小于其弯剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。曲变形能，通常忽略不计。10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学9LQLGAdxFkdUU2)(2式中式中一般实心截面的细长梁一

5、般实心截面的细长梁: :剪切变形能远小于其弯剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。曲变形能，通常忽略不计。 k k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定: : 矩形截面矩形截面: :k k=1.2,=1.2, 圆截面圆截面: : k k=10/9,=10/9,圆环形截面圆环形截面: :k k=2=2。4 4、剪切、剪切10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学10NFNFnMnM)(xM)(xMLLLpnLNEIdxxMGIdxxMEAdxxFU2)(2)(2)(222组合变形时的应变能组合变形时的应变能 10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学11

6、FAAl12 引引求节点求节点A A的铅垂位移的铅垂位移 的两条研究途径的两条研究途径 方法一方法一1 1212,NNFlFlllEAEA 21221cossintansincosllFlEA 方法二方法二222211221cos222sincosNNFlFlF lVEAEAEA 2FW 221cossincosFlEA 12sin,tanNNFFFF 拉拉 压压10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学12问题问题：（1 1）求节点）求节点A的位移，哪种方法优越？的位移，哪种方法优越？（3 3）为什么要研究能量法？）为什么要研究能量法？（2 2）如何求）如何求BC杆的转角？杆

7、的转角？FABC2022-3-30材料力学13二、外力功的表达式二、外力功的表达式思考：外力功在思考：外力功在P- 曲线上的几何意义曲线上的几何意义?线弹性小变形下的外力功线弹性小变形下的外力功PPdW2100PdW观察加载过程，加载路径与外力功关系？观察加载过程，加载路径与外力功关系？载荷载荷- -位移位移(P-(P-曲线曲线静加载下的外力功静加载下的外力功10-2 应变能应变能 余能余能2022-3-30材料力学1410-2 应变能应变能 余能余能 对于杆件单轴拉伸，杆件上的任一单元体上，外力与变形对于杆件单轴拉伸，杆件上的任一单元体上，外力与变形分别为：分别为：1, 11lF拉杆加载过程

8、中，单元体上外力所做的功为：拉杆加载过程中，单元体上外力所做的功为：10dW 因此在拉杆加载过程中，单元体积蓄的应变能，即应变能因此在拉杆加载过程中，单元体积蓄的应变能，即应变能密度为：密度为：EEdEdve22121210011 类似的，可推导出梁弯曲和轴扭转的单元体积蓄的应变能，类似的，可推导出梁弯曲和轴扭转的单元体积蓄的应变能，应变能密度为：应变能密度为：GvEvee2,22121 因此杆件整体加载过程中，积蓄的应变能为：因此杆件整体加载过程中，积蓄的应变能为：VeedVvU0应变能密度与应变能应变能密度与应变能2022-3-30材料力学1510-2 应变能应变能 余能余能余能余能余功余

9、功余能：仿照功与应变能相等的关系，将余功相应的余能：仿照功与应变能相等的关系，将余功相应的能称为余能。即能称为余能。即10FcdFWcFcVdFW102022-3-30材料力学16一、变形能的普遍表达式一、变形能的普遍表达式( (克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理)PoB A 基本变形下变形能的一般表达式：基本变形下变形能的一般表达式：式中式中P广义力广义力( (力或力偶力或力偶)； 广义位移广义位移( (线位移或角位移线位移或角位移) ) 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 的过程无关的过程无关。PWU2110-3 卡氏定理卡氏定理2022

10、-3-30材料力学17广义力与广义位移的相应关系：广义力与广义位移的相应关系：FmFF mm10-3 卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力学18二、变形能的普遍表达式二、变形能的普遍表达式( (克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理) )P1P2PiPnP1P2PiPn12in 设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力P PPn12,，在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为Pii，( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。则物体的变形能为：则物体的变形能为：niiiPWU12110-3 卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力学191f2f1F

11、2F121 2 设弹性体上同时作用几个载荷时设弹性体上同时作用几个载荷时1.在加载过程中各载荷之间保持一定比例关系在加载过程中各载荷之间保持一定比例关系22112121FFW+=2.非比例加载：非比例加载：22112121FFW+=不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为由能量受恒定律：由能量受恒定律：W应等于加载时作的总功应等于加载时作的总功 W克拉比隆定理克拉比隆定理不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上所作的总功为：所作的总功为：iiFW21=10-3 卡氏定

12、理卡氏定理2022-3-30材料力学20：iP 广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。i 在所有力共同作用下与广义力在所有力共同作用下与广义力 相对应的沿着力相对应的沿着力的方向的广义位移。的方向的广义位移。iP以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。能的计算。变形能可以通过变形能可以通过外力功外力功计算，也可以通过杆件微段上计算，也可以通过杆件微段上的的内力功内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。的变形能。10-3 卡氏定理卡氏定理2

13、022-3-30材料力学213 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。10-3 卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力学22三、卡氏定理三、卡氏定理Pi设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力P PPn12,，

14、在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生小的位移增量方向产生小的位移增量 时可以证明：时可以证明：i( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。 iiVPP1P2PiPn12in10-3 卡氏定理卡氏定理卡氏第一定理卡氏第一定理弹性杆件的应变能对于杆件弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移的变化率等于该上某一位移的变化率等于该位移相应的荷载。位移相应的荷载。广义力广义力广义位移广义位移2022-3-30材料力学23卡氏第二定理卡氏第二定理Pi设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力P PPn12,，在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向

15、产生的位移为i，( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。 可以证明：可以证明：iiPU能量法与超静定系统/卡氏定理P1P2PiPn12in2022-3-30材料力学24iiPU 注意注意：i应用卡氏定理求出应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与其相应的广为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。能量法与超静定系统/卡氏定理2022-3-30材料力学25证明：证明：),(21niPPPPfU再加增量再加增量 ，则变形能，则变形能U的增量的增量dU为为idPiidPPUdU梁的总变形能为梁的总变形能为：ii

16、dPPUUdUU(a)能量法与超静定系统能量法与超静定系统/卡氏定理卡氏定理考虑两种不同的加载次序。考虑两种不同的加载次序。(1)先加先加 ，此时，此时弹性体的变形能为弹性体的变形能为U：P PPn12,2022-3-30材料力学26UPUniii1212(2) 先加先加 ，然后再加，然后再加 ，此时弹性体的变形能，此时弹性体的变形能 由三部分组成：由三部分组成：P PPn12,idP梁的总变形能为梁的总变形能为：iiiidPddPUUUUU21321(b)idP(a) 在相应的位移在相应的位移 上所作的功上所作的功idiiddPU211P PPn12, (b) 在相应位移在相应位移 上所作的

17、功：上所作的功： n,21(c)原先作用在梁上的原先作用在梁上的 对位移对位移 所作的功所作的功idPiiidPU3能量法与超静定系统能量法与超静定系统/卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力学27iiiidPddPU21iidPPUU 根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。序无关。( (a)(b)a)(b)两式相等：两式相等：略去二阶微量，化简后得：略去二阶微量，化简后得：iiPU证毕。证毕。能量法与超静定系统能量法与超静定系统/卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力学282022-3-30材料力学29解解:（1）

18、计算梁的应变能计算梁的应变能(x轴从轴从A向左向左)( )eM xMFx 2222 3ee0( )2622lFM lM lMxF lVdxEIEIEIEI e22 3e,F,M62M lF lVVVEIEI 多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例：例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变能和外力所做之总功。弯曲刚度为能和外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMA2022-3-30材料力学30解解:(2) :(2) 计算外力所作之总功计算外力所作之总功EIlMEIFlwwwAAA232e3M,F,e EI

19、lMEIFlAAAe2M,F,2e EIlMEIlFMEIlFMFwWAA226222e2e32e 梁的应变能等于外力所做总功梁的应变能等于外力所做总功FMA例例1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的的挠度挠度.ABFlxxFxM )(EIlFxEIFxxEIxMUll6d2)(d2)(32022 B21vFW EIFlv33B 例例2 试求图示梁的变形能，并利用功能原理求试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度截面的挠度.ABCFx1x2abl解：解：EIlbaFbEIlaFaEIlbFxEIxlFaxEIxlFbxEIx

20、MUbal63232d2)(d2)(d2)(22232223222202210212 C21vFW 由由 U=W 得得EIlbFav322C EIRFREIFRREIMUl8d2)sin(d2)(322022 例例3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移截面的垂直位移. 已知已知EI 为常量为常量. sin)(FRM BV21 FW由由 U=W 得得EIFR43BV 2022-3-30材料力学34ABCabF1F22022-3-30材料力学35ABCabF1F2EAaFB11 EAaFBFW22121111 EAbaFCFW2)(2122222 EAbaFC2)(22 2022-3-30材料力学36ABCabF1F2EAaFB22 EAaFFBFW21213 EAaFFEAbaFEAaFBFCFBFWU2122212122112)(22121 2022-3-30材料力学37ABCabF1F2EAbaF2)(22 EAaF2212022-3-30材料力学38ABCabF1F2E