化工机械第3章平面弯曲

1、第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.1.平面弯曲平面弯曲化工设备机械基础化工设备机械基础第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.2.主要内容主要内容3.1 3.1 弯曲变形的实例和概念弯曲变形的实例和概念3.2 3.2 直梁弯曲的内力分析直梁弯曲的内力分析3.3 3.3 平面弯曲的应力计算平面弯曲的应力计算第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.3. 熟悉直梁弯曲的内力分析方法熟悉直梁弯曲的内力分析方法 熟练掌握剪力图和弯矩图的绘制熟练掌握剪力图和弯矩图的绘制基本基本要求要求重点重点难点难点l剪力图和

2、弯矩图剪力图和弯矩图第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.4.【本节内容】【本节内容】1 1、弯曲和平面弯曲的概念；、弯曲和平面弯曲的概念；2 2、梁的概念及其种类；、梁的概念及其种类；3 3、梁的内力、梁的内力Q Q、M M的分析；的分析；4 4、Q Q（x x）、M M（x x）及及Q Q、M M图。图。【目的、要求】【目的、要求】1 1、了解梁上载荷及支座简化的方法；、了解梁上载荷及支座简化的方法；2 2、能熟练准确地计算梁支座反力；、能熟练准确地计算梁支座反力；3 3、熟练掌握简捷法求梁指定截面上的、熟练掌握简捷法求梁指定截面上的内力内力Q Q、M M，

3、以及建立，以及建立Q Q（x x）、M M（x x）方方程和绘制程和绘制Q Q、M M图的方法。图的方法。【重点、难点】【重点、难点】【重点】【重点】：用简捷法求梁指定截面上的内力：用简捷法求梁指定截面上的内力Q Q、M M，以及建立，以及建立Q Q（x x）、M M（x x）方程和绘制方程和绘制Q Q、M M图；图；【难点】【难点】：用简捷法求梁指定截面上的内力：用简捷法求梁指定截面上的内力Q Q、M M 时外力正负号的判断。时外力正负号的判断。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.5.3.1 3.1 弯曲变形的实例和概念弯曲变形的实例和概念杆件的弯曲变形也是

4、工程中最常见的一种基本变形形式。如：杆件的弯曲变形也是工程中最常见的一种基本变形形式。如：房屋建筑中的楼面梁房屋建筑中的楼面梁(图图5-1a)。火车轮轴火车轮轴(图图5-1b)。一、弯曲变形一、弯曲变形第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.6.(请看动画请看动画)第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.7.扁担抬水扁担抬水(图图5-1c)跳水板跳水板(图图5-1d)第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.8.桥式吊车的大梁桥式吊车的大梁(图图5-1e)。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-30

5、2022-3-30.9.第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.10.l外力特点：外力特点：构件都可以简化为一根直杆；外力都垂直于杆的轴线。构件都可以简化为一根直杆；外力都垂直于杆的轴线。l变形特点：变形特点： 在外力作用下杆的轴线由直线变为曲线在外力作用下杆的轴线由直线变为曲线弯曲弯曲。 通常把仅受弯曲变形的杆件称为通常把仅受弯曲变形的杆件称为梁梁(girder)。二、平面弯曲二、平面弯曲若作用在梁上的外力若作用在梁上的外力( (包括力偶包括力偶) )都位于都位于纵向对称面纵向对称面内，且力的作用线垂直内，且力的作用线垂直于梁的轴线，梁的轴线将弯曲成一条仍位于纵

6、向对称面内的平面曲线，这种于梁的轴线，梁的轴线将弯曲成一条仍位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为弯曲称为平面弯曲平面弯曲（plane bending)。纵向对称面纵向对称面：梁横截面对称：梁横截面对称轴与轴线构成轴与轴线构成 的平面，如图示。的平面，如图示。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.11.三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式1 1、悬臂梁、悬臂梁(cantilever girder)：一一端为固定端，另一端为自由端的梁端为固定端，另一端为自由端的梁( (右图所示右图所示) )。2 2、简支梁：、简支梁：一端为固定铰链支座，一端为固定铰链支座，

7、另一端为活动铰链支座的梁另一端为活动铰链支座的梁( (右图右图所示所示) ) 。3 3、外伸梁：、外伸梁：从简支梁的一端或两端从简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁伸出支座之外的梁( (右图所示右图所示) ) 。mP第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.12.3.23.2、直梁弯曲的内力分析、直梁弯曲的内力分析右图所示，承受集中力右图所示，承受集中力P1、P2作用作用的简支梁的简支梁AB保持平衡，求任意截面保持平衡，求任意截面11的内力。的内力。根据整个梁的平衡条件，先求出梁在根据整个梁的平衡条件，先求出梁在载荷作用下的支反力载荷作用下的支反力RA和和RB。假想沿

8、横截面假想沿横截面1-1将梁截开分成左、将梁截开分成左、右两段，取左段梁为研究对象。右两段，取左段梁为研究对象。P P1P P2R RBa a1a a2P P1P P2R RAR RBABx xR RAx x一、梁弯曲时横截面上的内力一、梁弯曲时横截面上的内力第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.13.弯矩弯矩M，其力偶面垂直于横截面，其力偶面垂直于横截面，称为称为弯矩弯矩(bending moment) 。取截面中心取截面中心C1为力矩点，由平衡方程为力矩点，由平衡方程AARQQRY 0 0 xRMxRMMAAC 001剪力剪力Q，其作用线平行于外力并通过，其

9、作用线平行于外力并通过截面形心截面形心(沿截面作用沿截面作用)，故称为，故称为剪力剪力(shearing force) 。P P1P P2R RBQQMMR RAx xM MC1内力分析内力分析Q Qa a1a a2P P1P P2R RAR RBAB第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.14.Q、M正负号的规定正负号的规定1 1、对于剪力、对于剪力Q Q以该截面（如以该截面（如n-nn-n）为界，如左段相对右段向上滑移）为界，如左段相对右段向上滑移（简称（简称），则），则；反之为负。；反之为负。2 2、对于弯矩、对于弯矩MM若梁在该截面附近弯成若梁在该截面附近

10、弯成，则，则；反之为负。反之为负。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.15.简捷法求Q、M左或右外左或右PMPQCm第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.16.如何根据外力的方向确定如何根据外力的方向确定Q Q、M M的正负号的正负号( (即即P P外外的正负号的正负号)?)?1 1、对于剪力、对于剪力Q Q P P外外左上、右下左上、右下为正；反之为正；反之左下、右上左下、右上为负。为负。2 2、对于弯矩、对于弯矩MM外力（包括力偶）对截面形心的力矩为外力（包括力偶）对截面形心的力矩为左顺、右逆左顺、右逆，为正；反之为正；反之

11、左逆、右顺左逆、右顺为负。为负。反之为负。“左顺右逆”为正，为正，反之为负。布载荷）产生的所有向上的外力（分或外外mMP第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.17.例例3-1 3-1 吊车大梁的计算简图如图示。梁的自重吊车大梁的计算简图如图示。梁的自重q q668N/m668N/m，吊车的自重和吊，吊车的自重和吊重共为重共为P P10KN10KN，梁长，梁长l=10m=10m。试求当吊车行至。试求当吊车行至B B端为端为l/4/4时，梁跨中央时，梁跨中央C C截面上截面上的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解：解：求支反力求支反力000240qlPRRYlqllPlRM

12、BAAB 解得：解得：KN. KN.8410845BARR计算计算C截面的内力截面的内力(取取C截面截面左侧是为研究对象左侧是为研究对象)：mKN85.20422KN5 . 22QllqlRMlqRACACBP PAqC2l4llRARB第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.18.二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程取梁的轴线为取梁的轴线为x轴（一般是以梁的左端作为坐标原点），坐标轴（一般是以梁的左端作为坐标原点），坐标x表示截面表示截面的位置，则的位置，则Q和和M可表示为可表示为x的函数：的函数： xMMxQQ表示了表示了Q和和M随截面位置变化而变化的

13、规律，分别称为随截面位置变化而变化的规律，分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。三、剪力图和弯矩图三、剪力图和弯矩图把剪力和弯矩方程用其函数图象表示，分别称为把剪力和弯矩方程用其函数图象表示，分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。作用：找到梁上最大剪力和最大弯矩处，以确定危险截面位置。作用：找到梁上最大剪力和最大弯矩处，以确定危险截面位置。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.19.四、剪力图和弯矩图的绘制四、剪力图和弯矩图的绘制对于一般的情况，绘制剪力图或弯矩图的具体步骤可以概括如下：对于一般的情况，绘制剪力图或弯矩图的具体步骤可以概括如下：根据梁上的

14、荷载和支座情况，求出支座反力。根据梁上的荷载和支座情况，求出支座反力。根据荷载和支座反力的情况，列出剪力方程和弯矩方程。当梁上受有根据荷载和支座反力的情况，列出剪力方程和弯矩方程。当梁上受有几个外力几个外力(包括集中力、集中力偶、分布力等包括集中力、集中力偶、分布力等)作用时，在各个外力之作用时，在各个外力之间的每一段梁的剪力方程和弯矩方程都互不相同，这时需要对每一段间的每一段梁的剪力方程和弯矩方程都互不相同，这时需要对每一段分别列出其剪力方程和弯矩方程。分别列出其剪力方程和弯矩方程。（即分段列（即分段列Q（x）和和M（x） 根据剪力方程根据剪力方程(或弯矩方程或弯矩方程)作出剪力图作出剪力图

15、(或弯矩图或弯矩图)。下面分析几个实例下面分析几个实例第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.20.例例3-2 3-2 悬臂梁悬臂梁ABAB，长，长l，受力，受力P P作用，试绘制其剪力、弯矩图。作用，试绘制其剪力、弯矩图。解：解：求支反力（略）。求支反力（略）。建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为原点，沿梁轴线作以梁的左端为原点，沿梁轴线作x轴，得轴，得lx0 lx0 PxMPQ绘制绘制Q、M图图Q（x）是一常数，故为一水平线，）是一常数，故为一水平线，纵坐标为纵坐标为P。M（x）为为x的一次式，表示弯矩的一次式，表示弯矩M沿轴向呈线性变化，

16、故沿轴向呈线性变化，故M图为一斜直线，图为一斜直线，由方程式确定两点坐标：由方程式确定两点坐标：x0，M0；x=l，MPl lQ第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.21.例例3-3 3-3 图示简支梁图示简支梁ABAB，长，长l l，在，在C C点受集中力点受集中力P P作用，试列出梁的剪力方程和作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。x x1 1x x2 2lRARB解：解：以整体为研究对象以整体为研究对象求支反力。求支反力。 0 0 0 0PRRYPalRMBABA解得：解得：lPaRlPbRBA 分段建立

17、剪力方程和弯矩方程：分段建立剪力方程和弯矩方程：由于由于C点有集中力点有集中力P作用，作用，AC、CB段剪力和弯矩各不相同，故取段剪力和弯矩各不相同，故取C点为点为分段点，分段列方程如下分段点，分段列方程如下(以截面左侧的外力计算以截面左侧的外力计算Q、M）：）：第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.22.AC段：段：BC段：段： lx axllPaaxPxRxMlxalPaPRxQAA2222222 绘绘Q、M图如图示。图如图示。RARBaxxlPbxRxMaxlPbRxQAA1111110 0 第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-

18、30.23.例例3-4 3-4 图示简支梁图示简支梁ABAB，长，长l l，在，在C C点受集中力偶点受集中力偶 m m 作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。RARB解：解：以整体为研究对象以整体为研究对象求支反力。求支反力。lmRRBA建立剪力方程和弯矩方程：建立剪力方程和弯矩方程： axxlmxRxMaxlmRxQAA1111110 0 ACAC段：段：第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.24.CB段：段：lx amxlmmxRxMlxalmRxQAA222222 绘绘Q、M图

19、如图示。图如图示。RARBlmlmblma第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.25.例例3-53-5图示简支梁图示简支梁ABAB，长，长l l，受向下的均布载荷，受向下的均布载荷q q 作用，试列出梁的剪力方程作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。解：解：以整体为研究对象以整体为研究对象求支反力。求支反力。qlRRBA21建立剪力方程和弯矩方程：建立剪力方程和弯矩方程： 222AAql812lxq21- qx21qlx212xqxxRxMqx ql21qxRxQ绘绘Q、M图如图示。图如图示。Q图是斜直线，图

20、是斜直线，M图是二次抛物线（只要确定三点即可绘制）。图是二次抛物线（只要确定三点即可绘制）。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.26.绘制剪力图和弯矩图的几点规律绘制剪力图和弯矩图的几点规律1.1.若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，弯矩图为斜若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，弯矩图为斜 直线。直线。 2.2.若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。二次抛物线。3.3.梁上集中力作用处，剪力图有突变，突变值为该集中力梁上集中力作用处，剪力图有突变，突变值为该集中力大小，弯矩图在此处有

21、转折。大小，弯矩图在此处有转折。4.4.梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为该集中力偶的力偶矩。突变值为该集中力偶的力偶矩。5.5.剪力剪力Q=0Q=0处，弯矩有极值。处，弯矩有极值。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.27.例例3-6 3-6 图示悬臂梁图示悬臂梁ABAB，受向下的均布载荷，受向下的均布载荷q q 与集中力与集中力P Pqaqa的的作用，试列出作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制其剪力、弯矩图。解：解：以整体为研究对象以整体

22、为研究对象求支反力。求支反力。0 0023 02PqaRY qaPa mMAAA解得：解得：qaRqamAA2 252 分段建立剪力方程和弯矩方程：分段建立剪力方程和弯矩方程：AB段：段：11211112 052 02AAAQ xRqaxaM xR xmqaxqaxa第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.28.BC段：段：ax a a-xqxMaxaxaqxQ2 222 22222222绘绘Q、M图如图示。图如图示。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.29.1.5.3 1.5.3 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁在弯曲时

23、横截面上有剪力和弯矩。因此，横截面上梁在弯曲时横截面上有剪力和弯矩。因此，横截面上有与这些内力相对应的应力。一般情况下，弯矩往往是引有与这些内力相对应的应力。一般情况下，弯矩往往是引起梁破坏的主要原因，为了简化计算，通常取纯弯矩梁来起梁破坏的主要原因，为了简化计算，通常取纯弯矩梁来研究。所谓纯弯矩，是指梁横截面上只有弯矩，而剪力为研究。所谓纯弯矩，是指梁横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲。零的弯曲。 对于受剪力或不受剪力作用的弯曲梁，其截面因弯曲对于受剪力或不受剪力作用的弯曲梁，其截面因弯曲而产生的正应力的计算公式为：而产生的正应力的计算公式为：第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-3

24、02022-3-30.30.其中：其中：M Mz z横截面上收到的弯矩，横截面上收到的弯矩，NmNm I Iz z横截面的轴惯性矩，横截面的轴惯性矩，m m4 4 y y所求点至该截面中性轴所求点至该截面中性轴Z Z的距离，的距离，m m Z Z轴轴梁弯曲时，即不伸长，也不缩短纵向层梁弯曲时，即不伸长，也不缩短纵向层（中性层）与横截面相交的轴线。称为中性轴（见图）（中性层）与横截面相交的轴线。称为中性轴（见图）由公式可知，最大应力发生在距中性轴最远的点上，用由公式可知，最大应力发生在距中性轴最远的点上，用y ymaxmax表示距中性轴最远点的距离，截面上最大弯曲正应力的绝表示距中性轴最远点的距

25、离，截面上最大弯曲正应力的绝对值为对值为yIMzzzPa Pa （1-251-25）第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.31.(请看动画请看动画)第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.32.常见截面的轴惯性矩和抗弯截面模量常见截面的轴惯性矩和抗弯截面模量maxzzmaxyIM （1-261-26）或写为：或写为：zzmaxWM （1-271-27）其中：其中： W Wz z梁上抗弯截面模量，梁上抗弯截面模量，m m3 3. .矩形截面：矩形截面：第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.33.12hb

26、I3zh h 矩形截面的高矩形截面的高b b 矩形截面的宽矩形截面的宽6hbW2z圆形截面：圆形截面：64DI4z33zD1 . 032DW其中：其中：D D 圆环外径圆环外径 d d 圆环内径圆环内径圆环截面：圆环截面：)dD(64I44z)dD(D32W44zD D 圆形截面的直圆形截面的直径径第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.34.在实际计算中应用公式，可以不考虑在实际计算中应用公式，可以不考虑M M和和y y的正负号，都以其的正负号，都以其绝对值代入该式计算绝对值代入该式计算 的数值，然后根据的数值，然后根据M M图的正负直接判断图的正负直接判断 是

27、是拉应力还是压应力。即拉应力还是压应力。即以横截面的中性轴为界，以横截面的中性轴为界，M M为正时，中性轴为正时，中性轴以下部分为拉应力，以上部分为压应力；以下部分为拉应力，以上部分为压应力；M M为负时，则与其相反。为负时，则与其相反。也可根据梁的变形情况直接判断（如下图也可根据梁的变形情况直接判断（如下图3-73-7示）。示）。第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.35. 梁的抗弯截面模量梁的抗弯截面模量W Wz z的大小不仅与截面面积有关，而的大小不仅与截面面积有关，而且与截面形状有关，合理选择梁的截面形状，可以大大提且与截面形状有关，合理选择梁的截面形状

28、，可以大大提高梁的抗弯强度，工程上常用的各种型钢，其高梁的抗弯强度，工程上常用的各种型钢，其W Wz z可从型钢可从型钢表中查取。表中查取。1.5.4 1.5.4 梁的弹性弯曲变形梁的弹性弯曲变形挠度和转角挠度和转角 对于梁在弯曲变形后对于梁在弯曲变形后, ,衡量其强度的条件是看其应力值衡量其强度的条件是看其应力值是否满足要求是否满足要求, ,衡量其刚度的条件是看其变形程度是否满足衡量其刚度的条件是看其变形程度是否满足允许变形值以内允许变形值以内. .主要采用两个值来衡量主要采用两个值来衡量, ,即挠度和转角即挠度和转角. .第第3 3章章 平面弯曲平面弯曲2022-3-302022-3-30.36.挠度挠度：梁受力发生弯曲变形后，轴线上的点在垂直于：梁受力发生弯曲变形后，轴线上的点在垂直