第二章静电场

1、一、静电场的求解方法：一、静电场的求解方法：1 双电轴法双电轴法2 镜象法镜象法v无限大导电平面镜象无限大导电平面镜象v球形导体面镜象球形导体面镜象v无限大介质交界面的镜象无限大介质交界面的镜象二、静电场的应用二、静电场的应用计算电容计算电容计算电场力计算电场力理论依据：理论依据：静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理第二章第二章 静电场静电场(下下)1 唯一性定理唯一性定理 2 唯一性定理的重要意义唯一性定理的重要意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。 在静电场中，在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程满足给定边界条件的电位微分方程( (泊

2、松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程) )的解是唯一的的解是唯一的，称之为称之为静电场的唯一性定理。静电场的唯一性定理。(Uniqueness Theorem)(Uniqueness Theorem)2.1静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用2.1静电场的唯一性定理及其应用静电场的唯一性定理及其应用3 边界为导体时，边界条件分类边界为导体时，边界条件分类 (a) 给定各导体表面的电位值。给定各导体表面的电位值。(b) 导体表面为等位面，给定各导导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。体表面的电荷量。(c) 给定某些导体表面的电位值及其它给定某些导体表面的电位值及其它每一

3、导体表面的电荷量。每一导体表面的电荷量。 为什么条件为什么条件(a),(a),或或(c)(c)可唯一确定电可唯一确定电位函数，而条件位函数，而条件(b)(b)确定确定的电位函数相差任一常的电位函数相差任一常数？数？唯一性定理的应用：等位面法唯一性定理的应用：等位面法 静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另一静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另一侧的电场保持不变。侧的电场保持不变。k 等位面内填充导电媒质后，等位面内填充导电媒质后，边界条件不发生变化：边界条件不发生变化：(1) 边界边界k的等位性不变；的等位性不变；(2) 边界边界k内的总电荷量不变。内

4、的总电荷量不变。 用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象现象一现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。壳外的电场。01S用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象现象二现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。场不受壳外电场的影向。1 边界边界S2为等位面；为等位面；2 边界边界S2上的总电荷量不变。上的总电荷量不变。 导体壳不接地导体壳不接地情况下，壳外电场是否情况下，壳外电场是否受壳内电荷的影响？受壳内电荷的影响？2.2平行双电轴法平行

5、双电轴法边值问题：边值问题： （导线以外的空间）02 根据唯一性定理，寻找等效线电荷根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。电轴。Sd电荷分布不均匀常数导体,ASDSd电荷分布不均匀常数导体,BSD1.1.问题提出问题提出能否用高斯定理求解？设想将两圆柱面撤去，将圆柱导体表面用等效电轴代替，设想将两圆柱面撤去，将圆柱导体表面用等效电轴代替，设单位长度电荷量分别为设单位长度电荷量分别为 ，两等效电轴相距为，两等效电轴相距为2b，如下图所示。，如下图所示。eE1012 ,(2-1)(2-2) 1.由高斯定理可得两电轴分由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度为：别产生的电场强度为：平行双电轴电场平行双电

6、轴电场图图2-8 两电轴外任意一点两电轴外任意一点P的电场的电场 选取坐标轴的原点选取坐标轴的原点o为零电位为零电位点点 ，点，点P电位为：电位为：eE2022pbbyxo2 2. 2.两根细导线产生的电场两根细导线产生的电场Cln2Cln2Cln2d212021P2202110Q011以y轴为参考点, C=0C=0, , 则 22220120Pybxybx22)()(lnln当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。常数令：P22222Kybxybx)()(hh图2-8 两根细导线的电场计算pbbyxo2a、h、b三者之间的关系满足 222222222hb1K1Kb1KbK2ba)()(22222

7、21KbK2yb1K1Kx)()(等位线方程为：等位线方程为：1KbK2a,0, )b1K1K( h222 圆心坐标圆半径应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即)(bhbhbha222根据 及E线的微分方程 ， 得E线方程为 xyEEdxdy4Kb2Kyx212212)(E图1.7.14 两细导线的场图3. 3. 电轴法定义电轴法定义 用置于电轴上的等效线电荷用置于电轴上的等效线电荷, ,来代替圆柱导体面上分布电荷来代替圆柱导体面上分布电荷, ,从而求得电场从而求得电场的方法的方法, ,称为电轴法。称为电轴法。图图2-9 平行双电轴电场平行双电轴电场等位线的分布

8、规律等位线的分布规律 在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面。通常在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性面。称零等位线的那个等位面为零电位面或中性面。试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。及电位分布。22ahb120210ln2)11(2pP21eeE（以（以y轴为电位为参考点）轴为电位为参考点）解：解：建立坐标系，确定电轴位置建立坐标系，确定电轴位置圆柱导线间电场和电位圆柱导线间电场和电位例例2-1 例例2-22-2已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试

9、决定电轴位置。21212222221212hhdh ,h , bahbahb确定解:注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。例例2-32-3 试确定图示偏心电缆的电轴位置电轴位置。21122222222121h ,h ,bdhhbahbah 解：确定图1.7.16 不同半径传输线的电轴位置图1.7.17 偏心电缆电轴位置电轴法的基本思路电轴法的基本思路电轴法电轴法：用置于电轴上的等效线：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷电荷, ,从而求得电场的方法，称为从而求得电场的方法，称为电轴法电轴法。 1 1、若在任一等位面上、若在任一等位面上放一无厚度的金

10、属圆柱壳，是否放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？会影响电场分布？ 1 1、若在任一等位面上、若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？会影响电场分布？2 2、感应电荷是否均匀分布？、感应电荷是否均匀分布？ 1 1、若在任一等位面上、若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？会影响电场分布？2 2、感应电荷是否均匀分布？、感应电荷是否均匀分布？3、若在金属圆柱管内填充金属，、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。重答上问。222000222250152023.252 50dRRxdcm0026.7

11、5xdxcmcmRxD76.171525.232222020电轴到中性面的距离为习题习题2-1 空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量位长度的电量=10-8C/m，圆柱的半径各为，圆柱的半径各为R0=15cm,R0=20cm，两圆柱的几，两圆柱的几何轴线间距离为何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位。试求电轴的位置、零位(中性中性)面的位置。面的位置。解解 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为可确定中性面到半径为R0的圆柱面的几

12、何中心的距离为的圆柱面的几何中心的距离为镜像法的特点镜像法的特点以场域外虚拟的集中电荷代以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。件保持不变，从而保持被研究的场不变。镜像法的理论基础镜像法的理论基础唯一性定理唯一性定理。在。在静电场静电场中，满足给定边界条件中，满足给定边界条件(即前述三类边界条件即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。2.3无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法1 1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场点电荷对无限大接

13、地导电平面的电场 边值问题：边值问题：20004rsqrdqDS（大地及无穷远处）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）1 1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场点电荷对无限大接地导电平面的电场 上半场域边值问题：上半场域边值问题：2000044sqqrrdqDS（场边界）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）1 1. 点电荷对无限大接地导电平面的电场点电荷对无限大接地导电平面的电场 P P 点的电位：点的电位：01211()4pqrr12220 10 244PrrqqrrEeeP P 点的电场强度：点的电场强度：大地上感应电荷面密度：大地上感应电荷面密度：3/

14、2222nqhDxh 整个地面上感应电荷的总量为：整个地面上感应电荷的总量为：322202dd2Sqhx xSqxh 地面上感应电荷密度的分布曲线地面上感应电荷密度的分布曲线2 2. 无限大导电平面镜像法的应用无限大导电平面镜像法的应用 1) 夹角为直角的两相联导电平面夹角为直角的两相联导电平面2 2. 无限大导电平面镜像法的应用无限大导电平面镜像法的应用 2) 夹角为夹角为 的两相联导电平面的两相联导电平面/3/62 / 偶数偶数夹角必须满足：夹角必须满足：镜像电荷的个数为：镜像电荷的个数为：2 /1 2 2. 无限大导电平面镜像法的应用无限大导电平面镜像法的应用 0Rh3) 长直圆柱导体对

15、导电平面的镜像长直圆柱导体对导电平面的镜像圆柱导体的半径：圆柱导体的半径：3 3. 工程计算例题工程计算例题 例例2-32-3. 工程计算例题工程计算例题 在大气电场中架空地线的电位为：在大气电场中架空地线的电位为：02ln200021hEhrhrhE2ln2000解得：解得：在大气电场中导线的电位：在大气电场中导线的电位：00000lnln2ln2AhlE hhlhlE lE lrhlh 带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，由于大气电场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应

16、出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。A处电位的变化率：处电位的变化率：00ln1ln2AAhlhhlrlh061.1%AA若若h=11m，l=10m，r0=0.004m，则：，则：架空地线的作用：架空地线的作用： 保护高压输电线免受直接的雷击。保护高压输电线免受直接的雷击。4 4. 总结：镜像法的要点总结：镜像法的要点 镜像电荷只能放在待求场域边界以外的区域，其所处的位置与场源电荷以边界平面相对称； 镜像电荷所带电量与边界面原来所具有的总电荷量大小相等；与场源电荷量大小相等，符号相反； 镜像法的关键是确定镜像电荷的

17、个数，大小及位置； 求解时，要注意场的适用区域。 接地导体球对点电荷的镜象接地导体球对点电荷的镜象 边值问题边值问题：（除q点外的导体球外空间)000r2导球面点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像CD2-4 球形导体面的镜象球形导体面的镜象分析：分析：按镜象法原理将导体球撤去，使整个按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为空间充以电容率为0的同一媒质，并的同一媒质，并在距球心在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电处，置一虚拟的集中镜象电荷荷-q，来代替球面分布电荷的作用。，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电

18、场，可视为点电荷球面以外的电场，可视为点电荷q及及-q共同产生的电场，运用点电荷场强共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。公式及叠加原理，即可求解。0442010RqRqp (2-15) 设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为，其电位表达式为qqRR12 R2及及R1分别为点分别为点P至点电荷至点电荷-q及及q的距离。由于的距离。由于点电荷点电荷q为确定值，为确定值，q亦必为确定值，故有亦必为确定值，故有 在圆上选取两特殊点在圆上选取两特殊点C及及DkqqRR12(常

19、数)(2-16)RdbRRdbRk(2-18) (2-17)解上式得解上式得 b=R2/d2RRRbRdqqqqdRdRd (2-19)由式由式(2-16)进一步可得进一步可得 可以验证在点电荷可以验证在点电荷q和和-q的共同作用下，原导体的共同作用下，原导体球面上任一动点球面上任一动点p处的电位为零。这样在求得处的电位为零。这样在求得q与与b值值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题。之后，就可解决求解导体球外部电场的问题。注意：注意： 镜像电荷必须在被研究的场域边界之外，镜像电荷镜像电荷必须在被研究的场域边界之外，镜像电荷所带的电量与边界面原来具有的总电荷量相同（符号所带的电量与边界面原来

20、具有的总电荷量相同（符号与数量均相同），但小于场源电荷量。与数量均相同），但小于场源电荷量。不接地导体球形对点电荷的镜象不接地导体球形对点电荷的镜象 在接地球的基础上判断镜像电荷个数、大小与位置在接地球的基础上判断镜像电荷个数、大小与位置解解: : 边值问题：边值问题：( 除 q 点外的导体球外空间）0d000Ssr2SD常数球面 ( S 为球面面积 )试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。 q任一点电位及电场强度为：任一点电位及电场强度为：01201211()()44qqqqRRrrrrdrdr)(21r22r21r20drRdrRr

21、14qeeeEq qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b在球内有两个等效镜象电荷。在球内有两个等效镜象电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。正镜像电荷只能位于球心。点电荷位于不接地导体球附近的场图点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电荷不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷的绝对值等于镜像电荷 吗吗? ? 为什么？为什么？q 空气中有一内外半径分别为空气中有一内外半径分别为R11和和R22的导体球壳原不带电，其内腔介质的导体球壳原不带电，其内腔介质为为0，若于壳内距球心为

22、，若于壳内距球心为b处置点电荷处置点电荷q，求球壳内外的电场强度和电位。，求球壳内外的电场强度和电位。例例2-4解解2111111RdbRdqqqRb 001222010244qqRRERR内11010244RqqRRb内1 计算球内的场，设球壳的电位为计算球内的场，设球壳的电位为02 计算球外的场计算球外的场球外表面的电荷均匀分布，球壳外电场具有球对称性。球外表面的电荷均匀分布，球壳外电场具有球对称性。dqEs外S0204qRER外22002244RRqqdRREl外外2-5无限大介质交界平面的镜象无限大介质交界平面的镜象ttEE21nnDD21边值问题边值问题：012022(下半空间)(除

23、 q点外的上半空间) qqqqqq211coscoscos222444112sinsinsin112222444112qqqrrrqqqrrrq q2121q2 q212和 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。 2 q qq2qqqqq1221221 即点电荷位于不同介质平面上方的场图点电荷位于不同介质平面上方的场图q 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响。 q qq1例例2.5离河面高度为离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量为处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量为，且导线半径且导线半径Rh。

24、设河水的电容率为。设河水的电容率为800，求水中的电场强度。，求水中的电场强度。hxyEExEy(x,y)解：解：212216081022,22xyxyhx yRRRRERee222Rxyh22220,81xyxyhx yxyhxyhEee 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理；镜象法小结镜象法小结 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的实质实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的关键关键是确定

25、镜像电荷（电轴）的个数（根是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；数），大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，应用镜像法（电轴法）解题时，注意：注意：镜像电荷（电轴）镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。只能放在待求场域以外的区域。叠加时叠加时，要注意场的适用区域。，要注意场的适用区域。2-62-6电容与电容的计算电容与电容的计算 1 1 电容器的电容电容器的电容 2）定义：）定义： 若两个导体分别带有若两个导体分别带有等量异号等量异号的电荷的电荷q，周围没有，周围没有其它导体带电；其间其它导体带电；其间电位差电位差UAB，它们组成电容器的电容为：，它们组成电容器的电容为：

26、ABdefUqC 单位：单位：库仑库仑/伏特伏特 称作称作法拉法拉或记为或记为C/V。2 2 孤立导体的电容孤立导体的电容孤立导体孤立导体是指附近无其它带电体或导体，是指附近无其它带电体或导体，认为地球离它很远。认为地球离它很远。qCdefFF1106pFF11012说明：说明：电容只与两导体的几何形电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。的介质有关。 1） 形象化的比喻：形象化的比喻：导体容纳电荷的能力导体容纳电荷的能力电容的求解方法电容的求解方法 电容的计算思路：电容的计算思路： UQCdUQlEE设dSC SqE/01 平行板电容器：平行

27、板电容器：2dS SqdEdUAB0E00Sq02 2 试求球形电容器的电容试求球形电容器的电容解：解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为 , ,则则q,qdSSD220,44rrqqrrDeEe0011()44baqqbaUEdrabab同心导体间的电压04 qabCUba球形电容器的电容04 Ca当当b时时（孤立导体球的电容）（孤立导体球的电容）单层媒质圆柱形电容器的电容单层媒质圆柱形电容器的电容3 圆柱形电容器（同轴电缆）：圆柱形电容器（同轴电缆）：rE 212ln2RRUC12ln2RRdrrURR21 21R2RL 两个长为两个长为 L 的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电荷，其间距离的

28、圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电荷，其间距离 R2 R1R1空间里，电场强度空间里，电场强度: 电位移矢量电位移矢量: 电场能量电场能量:0204RRqEED0102222002084422211RqdRRRqdVEdVDEWRVve代入式代入式(2-72)，得电场能量，得电场能量 两种方法所得到的结果相同，电场能量储存于整个电场占据的空间。两种方法所得到的结果相同，电场能量储存于整个电场占据的空间。01/4qR102821RqqWe方法二方法二：将导体球的电位：将导体球的电位2.2.虚位移法虚位移法 ( ( Virtual Displacement Method )1. 1. 由电场强度由电

29、场强度E的定义求静电力的定义求静电力，即，即EfqdqdEf dqEf2-10 虚位移法计算电场力虚位移法计算电场力 基于功能守恒原理，电场力作功与电场能量的变化，应该平衡于外部基于功能守恒原理，电场力作功与电场能量的变化，应该平衡于外部电源所作的功：电源所作的功： 电场力所作的功电场能量的变化电场力所作的功电场能量的变化=外部电源所作的功外部电源所作的功 所谓所谓虚位移法虚位移法，即是基于功能转换过程而建立的。假设带电导体系统的，即是基于功能转换过程而建立的。假设带电导体系统的电场中，某一被研究的带电导体，在电场力的作用下，作一想象的微小位电场中，某一被研究的带电导体，在电场力的作用下，作一

30、想象的微小位移，电场能量亦相应存在想象的微小变化，根据功能守恒原理，即可求得移，电场能量亦相应存在想象的微小变化，根据功能守恒原理，即可求得该带电导体所受的电场力。该带电导体所受的电场力。由于该方法中导体的位移是想象由于该方法中导体的位移是想象(虚构虚构)的位移，的位移，故称之为虚位移法。故称之为虚位移法。常电荷系统常电荷系统（K打开）：打开）：fdgdW0eedWfdg 它表示取消外源后，电场力它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量做功必须靠减少电场中静电能量来实现。来实现。.keqcunstWfg 常电位系统常电位系统（K合上）：合上）：kkdqdWfdgdq21dqkkkk

31、外源提供能量的增量外源提供能量的增量静电能量的增量静电能量的增量12ekkdWdq 外源提供的能量有一半用于静电能量的增外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。量，另一半用于电场力做功。.kecunstWfg 设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体发生位移 ，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为dgedWdWfdg外源提供能量静电能量增量=+ 电场力所作功 上述两个公式所得结果是相等的上述两个公式所得结果是相等的consteconstqekkgWgWf例例 试求图示平行板电容器的电场力。试求图示平行板电容器的电场力。解法一：解法一：常电位系统常电位系统

32、221CUWeconstekgWf02 2222dSUdCU解法二解法二：常电荷系统常电荷系统CqWe221constqekgWfC2qg20 222dSU可见，两种方法计算结果相同，可见，两种方法计算结果相同，电场力有使电场力有使d d 减小的趋势，即电减小的趋势，即电容增大的趋势。容增大的趋势。dsC 两个公式所求得的两个公式所求得的广义力是代数量广义力是代数量 。还需根据。还需根据“”号判断其方向。号判断其方向。dsC dCCq222Sq 22介质交界面电场力的计算介质交界面电场力的计算1 平行板电容器极板单位面积受的电场力平行板电容器极板单位面积受的电场力22qfS22fSED12fEDS单位面积受的电场力012fED2 介质交界面受的电场力介质交界面受的电场力法拉第观点法拉第观点 法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向方向受到侧压力，其大小为到纵张力，垂直于轴向方向受到侧压力，其大小为ED21f)(2mN介质交界面电场力的计算介质交界面电场力的计算)11(221221Dfffa)(212234Efff