四川省2023年普通高校对口招生统一考试数学试卷(解析版)

四川省2023年普通高校对口招生统一考试数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。2.第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分。一、选择题：共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】考查集合的并集的定义。【解析】由的定义知，集合的所有元素为,则=。∴选D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；本题中只需满足偶次根式中被开方数≥0,是基础题.【解析】要使得函数有意义，必须满足，∴，∴函数的定义域是.∴选B.3.已知平面向量，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查向量的数乘运算加减线性运算,是基础题.【解析】∵，，∴，∴选B.4.过点且倾斜角为的直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由倾斜角求得斜率，然后带入点斜式方程即可求得直线的方程,是基础题.【解析】∵倾斜角为，∴，∴过点且倾斜角为的直线的点斜式方程为，整理得方程为，∴选C.5.（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【分析】利用诱导公式化简，然后利用特殊角的正弦值即可求得,是基础题.【解析】∵，∴，∴选D.6.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由降幂公式及周期公式可得最小正周期,是基础题.【解析】∵，∴的最小正周期，∴是由向上平移个单位得到，平移没有影响最小正周期.∴最小正周期依然为.∴选C.7.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由绝对值不等式，即可得不等式的解集,是基础题.【解析】∵，∴，∴，∴不等式的解集是，∴选C.8.某同学随机抽取100株麦苗测出其高度（单位：mm），将所得结果分为6组：，，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则高度不低于70mm的株数为（）A.28 B.32 C.36 D.40【答案】B【分析】首先由公式的频率,然后用频率估计概率即可求得概率。用样本总体乘以概率即可得高度不低于70mm数据，是基础题.【解析】高度不低于70mm的有，两组，∴高度不低于70mm的频率=，∴高度不低于70mm的株数为100，∴选B.9.双曲线的渐近线方程是（）A. B.C.D.【答案】A【分析】本题考查双曲线的渐近线方程是,是基础题.【解析】∵.双曲线方程为，∴，，∴，，∴渐近线方程是，∴选A.10.设，，其中，是正实数，则（）A.2 B.4 C.10 D.25【答案】A【分析】本题考查指对互化及对数的运算法则，等公式及法则，是基础题.【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∴选A.11.某水文监测站对一河道某处的水深每小时进行一次记录，结果如图所示.，，，为线段的等分点.已知9点时河道水深为160cm，从11点到12点河道水深减少了10%，则在11点时河道水深为（）A.164cm B.168cm C.180cm D.200cm【答案】D【分析】本题根据题意结合图象可以列出方程，考查读图识图的能力.【解析】设等分点每一层水深为xcm，由题意可得11点时河道水深为，12点时河道水深为，12点时河道水深也可以表示为，所以可得方程，解得：，在11点时河道水深为==200cm.∴选D.12.设，，，是实数，则“，，，成等差数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本题考查充分必要条件的定义,是基础题.【解析】“，，，成等差数列”“”.反之，“”“，，，成等差数列”，例如，但是不成等差数列.∴“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件.∴选A.13.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的部分图象是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由图象向右平移1个单位得出图象，再将图象关于x轴对称翻折得出图象.本题考查图象的平移变换及对称翻折变换.【解析】由的图象向右平移1个单位得出图象，如图A所示，然后将的图象关于x轴对称翻折得出图象，如图B所示.∴选B.14.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（）A.如果，，，那么 B.如果，，那么C.如果，，，那么 D.如果，，那么【答案】D【分析】本题A选项考查面面平行的判定定理，B选项考查线面平行的判定定理，C选项考查面面垂直的性质定理，D选项考查面面垂直的判定定理,是基础题.【解析】由面面平行的判定定理可得A错误；由线面平行的判定定理可得B错误；由面面垂直的性质定理可得C错误；由面面垂直的判定定理可得D正确.∴选D.15.设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由奇函数的定义域中包含0，所以由奇函数性质得出值，进而得出解析式,进而由得出关于p的不等式，解之即可得实数的取值范围。【解析】∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴，∴，∴，分离常数得，∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是.∴选D.第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。2.第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分。二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。16.的展开式中的系数为_________（用数字作答）.【答案】60【分析】本题考查二项展开式的通项公式,是基础题.【解析】的展开式中通项公式为，∴令，∴，∴，∴的展开式中的系数为.17.已知平面向量，满足，，则_________.【答案】7【分析】本题考查数量积运算以及,是基础题.【解析】.18.抛物线上的点到直线距离的最小值是_________.【答案】【分析】法一：首先设出与平行且与相切的直线为,联立方程与，消去y后，得出，然后利用相切条件得出△=0，求得平行线，然后得出两平行线间的距离为抛物线上的点到直线距离的最小值。法二直接根据点到直线的距离公式得出关于x的函数，利用二次函数求最值得出最小值。【解析】法一：转化法设与平行且与相切的直线为，联立方程消元得，即.∵与相切，∴，∴，∴，∴与相切的直线为.∴抛物线上的点到直线距离的最小值是两平行线与之间的距离，∴抛物线上的点到直线距离的最小值是.法二：二次函数法抛物线上的点（x，-x2）到直线的距离.∴当时，.19.已知函数在上单调递增，则的最大值是_________.【答案】【分析】首先根据化一公式将转化为,然后得出一个单调递增区间，进而由题意得出是单调区间的子集,即可求得的最大值.【解析】∵，令得，∴的一个单调递增区间为：.∵在上单调递增，∴，∴，∴的最大值是.20.甲、乙两人玩猜硬币游戏，乙负责抛硬币，甲在乙每次抛前进行猜测.甲用数列记录自己每次的猜测情况，若猜测第次抛硬币出现正面记，出现反面记；乙用数列记录每次抛硬币后实际出现的正反面结果，当第次抛硬币出现正面记，出现反面记.他们进行50次游戏后，乙统计并计算出，则甲猜对的次数为_________.【答案】38【分析】本题中,，所以由题意可得当甲猜对时，否则，然后设甲猜对的次数为次，即可根据构造关于x的方程求解即可.【解析】设甲猜对的次数为次，则甲猜不对的次数为次，根据题意：，解得，∴甲猜对的次数为次.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21.（本小题满分10分）某高校羽毛球社团招募了6名新成员，其中2名来自体育学院，现从这6名新成员中随机选择4人参加校运动会比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2人来自体育学院”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中来自体育学院的人数，求的概率分布.【答案】（1）事件发生的概率为.（2）的概率分布列为012P【分析】本题（1）（2）问均考查超几何分布概率模型,根据超几何分布概率公式即可求得概率及然后根据离散型随机变量的概率分布定义可得概率分布.【解析】（1）设为事件“选出的4人中恰有2人来自体育学院”∴，∴事件发生的概率为.（2）由题意可得的可能取值为0,1,2.；；.∴的概率分布列为012P22.（本小题满分12分）设是首项为-10的等差数列，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.【答案】（1）的通项公式为；（2）的最小值为.【分析】本题（1）利用首项为-10的等差数列，且，，成等比数列.可以构造关于公差的方程，求得。（2）问中根据等差数列的前项和为可得，然后根据均值不等式或是二次函数均可求得最小值。【解析】（1）∵首项为-10的等差数列，∴.∵，，成等比数列，∴，∴，∴，∴，∴.∴的通项公式为.（2）∵，∴.法一（均值不等式法）：，当且仅当时取等号.∴的最小值为.法二（二次函数法）：∵，∴当时，取最小值为.23.（本小题满分12分）如图，在正方体中，为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】【分析】第（1）问由线面平行的判定定理即可证得。第（2）问中异面直线所成角的大小由定义法平移即可求得。本题考查线面平行的判定定理及异面直线所成角的定义,是基础题.【解析】（1）连接AC，BD，设，如图所示.∵为的中点，为的中点，∴，.∵为的中点，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，，

∴平面.（2）连接.∵，∴为异面直线与所成角.∵为正三角形，∴，∴异面直线与所成角为60°.24.（本小题满分12分）已知中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）求的大小；（2）若，证明：为直角三角形.【答案】（1）的大小（2）见解答过程【分析】本题第（1）问中由得到,化简可得，即得=。第（2）问中由得出，进而根据=得出，然后得出，进而得出，展开后根据化一公式（辅助角公式）可以构造关于的方程，最后求得，问题得证.【解析】（1）∵，∴，∴.∵，∴=.（2）∵，∴，∵=，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是以点A为直角顶点的直角三角形.25.（本小题满分12分）设圆：与直线相切，且被直线所截得的弦长为.（1）求的方程；（2）若与有且只有3个公共点，求实数的值.【答案】（1）（2）实数的值为.【分析】第（1）问中首先根据条件直线与圆相切得得与的一个方程，然后根据被直线所截得的弦长为利用勾股定理得与的另外一个方程，联立方程解得与。第（2）问中为折线，根据与有且只有3个公共点，所以的左半段图象与圆相交于两点，而右半段图象与圆相切于一点，进而根据直线与圆相切,即可解决.【解析】（1）∵圆：与直线相切，∴圆心到直线的距离，∴，∵，∴①，∵被直线所截得的弦长为，∴根据勾股定理得②，∴联立方程①②消去得，∴，∴将代入①式得，∴的方程为.（2）∵与有且只有3个公共点，∴的左半段图象与圆相交于两点，而右半段图象与圆相切于一点，∴根据直线与圆相切可得点到直线的距离等于半径3，∴，∴，∴，∴，∴.∴实数