第四章振动和波

1、1第四章：振动和波第四章：振动和波 4-14-2 简谐振动简谐振动一一.简谐振动的描述：简谐振动的描述：微分方程：微分方程：0222xdtxd弹簧振子弹簧振子2=k/m单摆单摆 2=g/l位移位移 X=Acos(t+)速度：速度： V= -A sin(t+ )加速度：加速度： a= - 2Acos(t+)= - 2x振幅：振幅：22020VXA)(00XVarctg 初相位：初相位：A、 、称为简谐振动三要素。称为简谐振动三要素。周期：周期：T 频率：频率： 圆频率圆频率: T222动能：动能：)(sin21212222tmAmvEk)(cos2121222tkAkxEpoxyAM三、三、简谐

2、振动的简谐振动的旋转矢量表示法：旋转矢量表示法：x=x=AcosAcos( (t+)x机械能：机械能：221kAE 二、简谐振动的能量二、简谐振动的能量1.已知位移、速度求位相已知位移、速度求位相2.已知振动表达式画振动曲线已知振动表达式画振动曲线)t(sinkA2221势能：势能：3.已知振动曲线求已知振动曲线求 ：=/t3注意三者相位的关系xao,xav,tAAA2v四四.简谐振动的曲线描述：简谐振动的曲线描述：4五、简谐振动的合成：五、简谐振动的合成：1、同方向、同频率的简谐振动的合成：、同方向、同频率的简谐振动的合成： x x1 1=A=A1 1cos(cos(t+1) x x2 2=

3、A=A2 2cos(cos(t+2)结果结果（1） 仍是仍是不变的简谐振动。不变的简谐振动。 )cos(212212221AAAAA（2）振幅）振幅22112211coscossinsinAAAAtgk21221AAA|21AAA) 12(12k12（3）初相）初相合振动初相取振幅大的初相合振动初相取振幅大的初相53、相互垂直的简谐振动的合成：、相互垂直的简谐振动的合成：X=A1cos(t+1) Y=A2cos(t+2)(sin)cos(2)()(12212122122AxAyAxAy通式：2、同方向、不同频率的简谐振动的合成：、同方向、不同频率的简谐振动的合成： x x1 1=A=A1 1c

4、oscos1t x x2 2=A=A2 2coscos2t 适用于频率较大，且相近。适用于频率较大，且相近。tcostcosAx2221212拍频拍频 =21021，椭圆顺时针转动；椭圆顺时针转动； 212，椭圆逆时椭圆逆时针转动针转动6一、机械波的产生与传播一、机械波的产生与传播1、机械波的产生条件：、机械波的产生条件： 振源振源 传播介质（弹性）传播介质（弹性）2、波的分类：、波的分类： 横波、横波、 纵波。纵波。3、波的几何描述：、波的几何描述： 波阵面、波射线、波前、平面波、球波阵面、波射线、波前、平面波、球面波面波4、与波相关的几个物理量：、与波相关的几个物理量：波长波长，波速波速u

5、 u，频率频率，圆频率圆频率，周期周期T T = uT ， u= ，=1/T ，24-44-5 机械波机械波机械波的传播速度完全取决于介质的弹性模量和介质的密度。机械波的传播速度完全取决于介质的弹性模量和介质的密度。媒质密度弹性模量波速 7二、波动方程二、波动方程)uxt (cosA)t , x( yxTtAy2cosxtAy2cos)utx(cosAy2波沿负波沿负x轴方向传播轴方向传播时时x前面的负号改为前面的负号改为正号。正号。xtcosA2)tcos(Ayx0已知已知x0振动方程振动方程写波动方程写波动方程)(cos),(0uxxtAtxy)(cos),(uxtAtxy已知波动方程已知

6、波动方程写写x0振动方程振动方程)(cos),(00uxtAtxy8波形曲线波形曲线tu1、由波形曲线确定振幅、由波形曲线确定振幅2、由波形曲线确定某点相位（由该点位移、速度方向定）、由波形曲线确定某点相位（由该点位移、速度方向定）3、由波形曲线确定波长、由波形曲线确定波长Ttx24、由波动方程画波形曲线（起点、弯曲方向）、由波动方程画波形曲线（起点、弯曲方向）xy9波的动能势能：)/(sin)(21222uxtAdVdEdEkP)/(sin)(222uxtAdVdE波的能量：)/(sin222uxtAw能量密度三、波的能量：三、波的能量：平均能量密度：能量在一个周期的平均值。平均能量密度：能

7、量在一个周期的平均值。2221Aw 平均能流密度平均能流密度- 波强波强SPIuA2221平均能流：平均能流：wuSP 10四、波的叠加原理：四、波的叠加原理：. .介质中波动到的各点，都可看成发射子波的子波源介质中波动到的各点，都可看成发射子波的子波源。. .任意时刻这些子波的包络面就是新的波前。任意时刻这些子波的包络面就是新的波前。. .几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。、振幅、传播方向）不变，互不干扰。. .在相遇区域内任一点的振动为各列波在该点所引在相遇区域内任一点的振动为各列波在该点所引起的振动位

8、移的矢量和。起的振动位移的矢量和。113、干涉产生的条件、干涉产生的条件合振幅合振幅cos2212221AAAAA位相差位相差12122)(rr4、干涉加强和减、干涉加强和减弱的条件弱的条件k2)12(k加强加强减弱减弱两列波振动方向相同。两列波振动方向相同。频率相同频率相同有恒定的位相差有恒定的位相差:，则若21减弱加强), ,k()k(), ,k(k21021221012例题：例题：一轻弹簧倔强系数为一轻弹簧倔强系数为k，下端悬挂一静止的下端悬挂一静止的质量为质量为m的盘子。现有一质量为的盘子。现有一质量为M的物体从离盘的物体从离盘h高高度处由静止落下并与盘粘在一起，使盘上下振动。度处由静

9、止落下并与盘粘在一起，使盘上下振动。（1）证明物体与盘一起的运动时简谐振动；（）证明物体与盘一起的运动时简谐振动；（2）物）物体与盘一起振动到最高点时开始计时，写出振动方程体与盘一起振动到最高点时开始计时，写出振动方程（设向下为正方向）（设向下为正方向）22dtyd)Mm(Mgmgky22dtyd)Mm()k/Mgk/mgy(kx)k/Mgk/mgy(令：22dtxd)Mm(kxMmk是简谐振动是简谐振动Xk/mgk/Mg解：解：y13取新的平衡位置为坐标原点取新的平衡位置为坐标原点总能量总能量22020212121kAv )Mm(kx动量守恒动量守恒02v )Mm(ghMkMgx0k )Mm

10、(ghM)kMg(A222)tMmkcos(Ax14圆频率圆频率=7=7radrad/s/s，当当t=1.0st=1.0s时，时，x=10cmx=10cm处的处的a a质点质点的位移为的位移为0 0，速度，速度000，设该波波长，设该波波长10cm10cm，求波的表达式。求波的表达式。xab)uxt (cosA)t , x( y:设解3)2 . 01 (7:2)1 . 01 (7:ubuasmu/84. 0，解出：两式相减消去63代入，解出：将u)(3)84. 0(7cos1 . 0),(SIxttxy例题例题 一平面简谐波沿一平面简谐波沿X轴正向传播，振幅轴正向传播，振幅A=10cm15解法二：解法二：xab/./10265m.240)SI()t (cos.)t ,.( y211010217:a)SI()u.xt (cos.)t , x( y211010)SI().x()t (cos.2102110)SI().x(.)t (cos.21024021710)SI(x.tcos.32