2019届高三文数一轮复习课时跟踪训练：第4章三角函数解三角形课时跟踪训练24

1、课时跟踪训练（二十四）基础巩固一、选择题1.已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a,灯塔 A 在 C 的北偏东 20灯 塔 B 在C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（）A . aB. 3aC. 2aD. 2a解析如图所示，由余弦定理可知，AB2= a2+ a2 2aacos120= 3a2得AB= 3a.故选 B.答案B2 .如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸 边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,ZACB= 45 / CAB= 105后，就可 以计算出 A、B 两点的距离为（）B. 50 3 mD.警 m解析由题意得/ B

2、= 180 45 105 = 30A. 50 2 mC. 25 2 m由正弦定理得AB _ AC sin/ACB sinB，- 43. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东40灯塔 B 在观察站南偏东 60则灯塔 A 在灯塔 B 的（）A .北偏东 10B .北偏西 10C.南偏东 10D .南偏西 10解析灯塔 A、B 的相对位置如图所示，由已知得/ ACB= 80/CAB=ZCBA=50贝y a=60- 50= 10 即北偏西 10答案B4.在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30 测得湖中之影的 俯角为 45， 则云距湖面的高度为（

3、精确到 0.1 m）（）A . 2.7 mB. 17.3 mC. 37.3 mD. 373 m.AB=ACEACBsinB50X#_一 = 50 2(m).2解析依题意画出示意图.CM 10_C M+ 10 则tan30 = tan45 373答案C5. 张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶， 在点A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处望见 电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是 ()A. 2 2 kmB. 3 2 kmC. 3 3 kmD. 2 ,3 km解析画出示意图如图，由

4、条件知 AB= 24X= 6在 ABS 中，/ BAS= 30 AB= 6,ZABS= 180 60BSABABsin3075= 105，所以/ ASB= 45.由正弦定理知 SBSTsin45，所以 BS=sin45 =3 2.答案B6.在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30 60则塔咼为()15tan45+tan30 10解析作出示意图如右图，由已知，在 RtAOAC 中，0A= 200,/ OAC= 30 贝 S OC= OA tan/ OAC=200ta n30 =203.在 RtAABD 中，AD =203,zBAD=30厂r200J3200贝 S BD =

5、AD tan/ BAD = tan30 =, BC= CD BD= 200-200=竽答案A二、填空题7. 船以每小时 15 km 的速度向正东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为 _ km.解析如图所示，依题意有:AB=15X4=60,/MAB=30/AMB=45在厶 AMB 中，由正弦定理得60 = BMsin45 =sin30，解得 BM = 30 2(km).答案30,28 （2017 广东广州市高三综合测试）江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上，由炮台

6、顶部测得俯角分别为45和 60而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 _ m.解析如图，由题意知，OA= 30,/ OAM = 45 / OAN= 30/ MON = 30在 RtAAOM 中，OM = OA tan / OAM = 30 tan45 = 30.在 RtAAON 中，ON= OAtan/ OAN = 30 tan30 = 13.在厶 MON 中，由余弦定理得MN = OM2+ ON2 2OM ON cos/ MON=900+3002X30 x10,3X j=.300= 10 3(m).答案10 39. (2018 山西大学附中检测)如图，从气球 A 上测得正前方的河流

7、的两岸 B,C 的俯角分别为 75 30此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于_m.A 3060 mi 、! 上工_二亠D BC解析如图，/ ACD = 30/ ABD= 75 AD = 60 m,AD60在 RgACD 中，CD = tan/ACD=tan3060 3(m)，在 RtA ABD 中，BD = -今 ABD=t656r:tan/ ABD tan75 2 + p 3=60(2 - 3)(m), BC= CD- BD= 60 3-60(2 3)= 120( 3- 1)(m).答案120( 3- 1)三、解答题10.港口 A 北偏东 30方向的 C 处有一检查站，港口正东

8、方向的 B 处有一轮 船，距离检查站为 31 海里，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处 观测站，已知观测站与检查站距离 21 海里，问此时轮船离港口 A 还有多远？解 在厶 BDC 中，BC= 31, BD = 20, CD = 21,由余弦定理知，cos/ CDBBD2+ CD2 BC22BD CD17,sin / CDB =43.冗inn3sin/ACD=sin/CDB3 J= sin/CDBCOS3cos/CDBsin在ACD中，由正弦定理知 sDD=誥？AD=21-f=15二此时轮船距港口还有 15 海里.能力提升11.（2017 山西太原模拟）某登山队在山脚 A

9、 处测得山顶 B 的仰角为 45沿 倾斜角为 30的斜坡前进 1000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60 则山的高度 BC 为()A . 500( 3 + 1)mC. 500( 2 + 1)mB. 500 mD. 1000 m解析过点 D 作 DE/ AC 交 BC 于 E,因为/ DAC = 30故/ ADE= 150.于是/ADB = 360 150 60= 150.又/ BAD = 45 30= 15 故/ ABD = 15 由正ADsin/ ADB 1000si n150弦疋理，得AB=前/ABD = sin15 =500( 6+2)(m)所以在 RtAABC 中，BC=

10、ABsin45 = 500&3 + 1)(m).方向前进 10 米到 D， 测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为（A . 15 米C. 10 米解析如图，设塔高为 h,在 RtAAOC 中，/ ACO = 45 贝卩 OC= OA= h.在 RtAAOD 中，/ ADO = 30则 OD= 3h,在厶 OCD 中，/ OCD= 120CD = 10,由余弦定理得：OD2= OC2+ CD2 2OC CDcosZOCD,即 C.3h）2=h2+1022hx10Xcos120 h2 5h 50= 0,解得 h= 10 或 h= 5（舍）.答案C13._甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏

11、东 60的方向，两船相距 a 海里, 乙船正向北行驶，若12.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80塔顶仰角为 45此人沿南偏东 40B. 5 米D. 12 米甲船是乙船速度的（3 倍，则甲船应取方向 _能追上乙船；追上时甲船行驶了海里.1_ 书sin/ CAB=sin 120， sin/CAB= 1，二/ CAB= 30/ ACB= 30BC= AB= a, AC2= AB2+ BC2 2AB BCcos120 =a2+ a2 2a2 2= 3a2,. AC= 3a.答案北偏东 30 3a14. （2017广东省五校协作体高三一诊）如图所示， 在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25

12、 m 的建筑物 CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角0,在山坡的 A 处测得/ DAC = 15沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得/ DBC= 45根据以上数据可得 cos0=_.解析速度为 v,如图所示，设到 C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t,乙船则 BC = tv, AC= 3tv, B= 120由正弦定理知BC_ ACsin/ CAB=sinB，B解析由/DAC= 15 / DBC = 45可得/ BDA = 30 / DBA = 135 /BDC = 90 (15+0)-30 = 45-0,由内角和定理可得/ DCB= 180 (45 -0)45 = 90+0

13、,根据正弦定理可得.50 = .DB ,即 DB = 100sin15 =sin 30sin 15100 xsin(4530=1 2231)，又 譎=2驚 0+0，即 磊257x0-1，得到 cos0=3-1.答案.3 115.海岛 B 上有一座高为 10 米的塔，塔顶有一个观测站 A,上午 11 时测得 一游船位于岛北偏东 15方向上，且俯角为 30。的 C 处，一分钟后测得该游船位 于岛北偏西 75方向上，且俯角为 45的 D 处.(假设游船匀速行驶)在 RtAABD 中，/ BAD= 45 AB= 10,贝 S BD = 10 米;1 求该船行驶的速度(单位：米/分钟);2 又经过一段时

14、间后，游船到达海岛 B 的正西方向 E 处，问此时游船距离 海岛B 多远？解(1)在 Rt ABC 中，/ BAC= 60 AB= 10, 则 BC= 10 .3 米；在乂BCD 中，/ DBC = 75 + 15= 90贝 S CD = BD2+ BC2= 20 米.CD所以速度 v= CD = 20 米/分钟.（2）在 Rt BCD 中，/ BCD= 30又因为/ DBE= 15 所以/ CBE= 105 所以/ CEB= 45EBBC在BCE中,由正弦定理可知 sin30=sinBCsin30 、/所以EB=sin45=5 6米.延伸拓展（2017 江西宜春段考）某工厂实施煤改电工程防治雾霾， 欲拆除高为 AB 的 烟囱，测绘人员取