大一高数第一章--函数、极限与连续

1、第一章 函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以 积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期 最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性 质和运算性质，以及与

2、极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概 念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述第一节变量与函数、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变， 它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变花若跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一 个数.变量取值范围常用

3、区间来表示.满足不等式a x b的实数的全体组成的集合叫做闭区加记为a,b ,即a,b x | a x b;满足不等式a x b的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为 （a,b）,即（a,b） x |a x b；满足不等式a x b（或a xb）的实数的全体组成的集合叫做左.（右.）汪右一（左）闭区回,记为a,b （或 a,b ）,即a,b x |a x b(或 a,b x | a x b),左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a, b称为区间的端点以上这些区间都称为有限区回.数b a称为区间的殳度.此外还有无限区间二 （,）x| x R,bx |x b,（,b） x |x b,

4、a, x |a x,（a, ） x |a x,等等.这里记号"”与“”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”邻域也是常用的一类区间设xo是一个给定的实数,B是某一正数，称数集：x |Xo 8 x Xo 8 为点 X0 的邻域，记作 U (X0, a .即 U X0, 8 x |Xo 8 x Xo 8 称点X 0为该邻域的生心，跌该邻域的半径.(见图1-1).称U (Xo, aXo为X0的去心邻域,o记作u(X0, a,即U (x0, ) x 10 x x08“-au 耳h图1-1 下面两个数集U x0, 8x|x0 8 x x0 ,U x0, 8x |x0 x x06 ,o分别称为X0的

5、左B邻域和右B邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用 U(x0), U(X0)分别表 o示X0的某邻域和X0的某去心邻域，一 U X0,8 , U X0,8分别表示X0的某左邻域和X0的某右邻 域.二、函数的概念在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼 此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖 关系，称为函数关系.定义1设A, B是两个实数集，如果有某一法则f ,使得对于每个数 x A,均有一个确定的数y B与之对应，则称f是从A

6、到B内的函数.习惯上，就说y是x的函数，记作y f x (x A) 其中，X称为自变量，y称为因变量，f x表示函数f在x处的函数值.数集A称为函数f的 定义域，记为D f ;数集f (A) y |y f (x),x a b 称为函数f的值域，记作R f .从上述概念可知，通常函数是指对应法则 f，但习惯上用“y f x , x A ”表示函数， 此时应理解为“由对应关系y f x所确定的函数f ”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取 值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t的函数

7、f t中，t通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有 意义的自变量x的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量 之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与 三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出， 称为公式法.例如，初等数学中所学过的募函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数 都是用公式法表示的函数.从几何上看，在平面直角坐标系中，点集(x,y

8、)|y f x ,x D f 称为函数y f x的第像,(如图1-2所示).函数y f x的图像通常是一条曲线，y f x也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问 题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举一个具体函数的例子 .例1 求函数y4 x2解要使数学式子有意义,由此有因此函数的定义域为2,1 ,2 .图1-21 的定义域.x 1x必须满足x2 0,1>0 ,x>1.2,有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为 分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数.绝对值函数x ,x 0,x ,x

9、<0.的定义域例3D f (符号函数)，值域f 0,),如图1-所示.sgnx1,x<0,0,x 0,1,x >0，值域R f 1,0,1,如图1 4所示.-|图1-4最大取整函数y x ，其中x表示不超过x的最大整数.例如，-1 , 0 0 ,3再 1,兀3等等.函数y x的定义域D f (,)，值域R f整数.一般地,y x n , n x n 1 , n 0, 1, 2,L ,如图 1-5 所示.-2 -I 0 11 -1I F-2图1-5 在函数的定义中，对每个 x D f ,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单 值函数.若给定一个对应法则 g ,对每个x

10、D g ,总有确定的y值与之对应，但这个 y不总 是唯一的，我们称这种法则 g确定了一个多值函数.例如，设变量x与y之间的对应法则由方程 22一 .，.、一22 一x y 25给出，显然，对每个x 5,5,由万程x y 25可确te出对应的y值，当x 5 或5时，对应y 0 一个值；当x ( 5,5)时，对应的y有两个值.所以这个方程确定了一个多 值函数.对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，由方程x2 y2 25给出的对应法则中，附加“ y 0”的条 件，即以“x2 y2 25且y 0”作为对应法则，就可以得到一个单值分支

11、 y g1 x ,25 x2 ; 附加“ y 0”的条件，即以“ x2 y2 25且y 0”作为对应法则，就可以得到一个单值分支y g2(x)V25 x2 .在有些实际问题中，函数的自变量与因变量是通过另外一些变量才建立起它们之间的对应 关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径r的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积S建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2 设函数y f u的定义域为D f，函数u g x在D上有定义，且g D D f 则由下式确定的函数y f g x , x D 称为由函数y f u与函数u g x构成的复合函数，记作y f g x f g x , x

12、 D , 它的定义域为D ,变量u称为中间变量.这里值得注意的是，D不一定是函数u g x的定义域Dg,但D Dg.D是Dg中 所有使得g x D f的实数x的全体的集合.例如，y f u u , u g x 1 x2 .显然， u的定义域为， ，而D f (0,).因此，D= 1,1，而此时R(f g) 0,1 .两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形例如，y xu a"ogax a 0且a 1可看成由指数函数 y au与u gg ax复合而成.又形 如y u(x)v(x) av(x)logau(x) u x >0 a 0且a 1的函数称为骞指函数它可看成由y aw与w

13、v(x)log a u(x)复合而成.而 y Jsinx2可看成由2 一八一一u sin v , v x复合而成.例5设f (x) W x是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为xxriX1-1x2x-x2x1_x 3x所以3x1,定义3设给定函数关系式y f x中唯一确定的x:,其值域为值与之对应，.如果对于R f中的每一个y值，都有只从因变量的函数，称为函数 y f x的反函数， 从几何上看，函数y f x与其反函数x则得到一个定义在 R f上的以y为自变量，x为 记为x f 1 y . 1f y有同一图像.但人们习惯上用x表不自变i=f_1 i . t _i=f i . t (

14、r 十、r>>11一 一. .1.重，y表不因变重，因此反函数x f y常改与成y f x .今后，我们称 y f x为y f x的反函数.此时，由于对应关系 f 1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y f 1 x与直接函数y f x的图像关于直线y x对称，如图1 - 6所示.图1-6值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y x2的定义域为， ，值域为，但0,对每一个y 0,有两个x值即x Jy和x2百与之对应，因此x不是y的函数，从而y x2不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知， 若f是从D f到R f 的映射，则f才存在反函数f 1 .例 6 设函

15、数 f (x 1)x 1 ,求 f 1 x 1 .x 1解函数y f x 1可看成由y f u , u x 1复合而成.所求的反函数y f 1 x 1 可看成由y f 1 u , u x 1复合而成.因为x_ u 1f u, u 0,x 1 u即 y u1,从而，u y 11 , u ,u1 y所以因此三、函数的几种特性1 .函数的有界性设函数f x在数集D上有定义，若存在某个常数L ,使得对任一 x D有f x L （或 f x L ）, 则称函数f x在D上直上昇一（或有工量）常数L称为f x在D上的一个上界（或下界）； 否则，称f x在D上无上界一（或无工界）.若函数f x在D上既有上界

16、又有下界，则称 f x在D上有界；否则，称f x在D上无 界.若f x在其定义域D（f）上有界，则称f x为有界函数.容易看出，函数f x在D上有界 的充要条件是：存在常数 M：0,使得对任一 x D,都有f x M .例如，函数y sin x在其定义域，内是有界的，因为对任一 x , 都有一 .一， 1sin x 1,函数y 一在0,1内无上界，但有下界.x从几何上看，有界函数的图像界于直线y M之间.2 .函数的单调性设函数f x在数集D上有定义，若对 D中的任意两数x1,x2 （x1 x2），恒有 f x1 f x2或 f x1 f x2 ,则称函数f x在D上是单调增加（或单调减少）的

17、 .若上述不等式中的不等号为严格不等号, 则称为产赞里遇埴如或严格单调减少）.一的 .在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调例如，函数 f x x3在其定义域，内是严格单调增加的；函数 f x cosx在（0,城内是严格单调减少的.从几何上看，若y f x是严格单调函数，则任意一条平行于x轴的直线与它的图像最多交于一点，因此y f x有反函数.3 .函数的奇偶性若对任意设函数f x的定义域D f关于原点对称(即若 x D f ,则必有 x D f 的x D f ,都有f x fx 或 f x f x ,则称f x是D f上的奇函数(或偶函数)例7 讨论函数f x ln x V1 尸的奇偶

18、性.解函数f x的定义域 ，是对称区间，因为f x ln x , 1 x2In x 1 x2ln 1 =x 、1 x2f x所以，f x是上的奇函数4 .函数的周期性D f ,有T称为T T （如设函数f x的定义域为D f ,若存在一个不为零的常数T ,使得对任意x(x T) D (f),且f (x T) f (x)，则称f x为周期函数,.其中使上式成立的常数 f x的周期通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数 果存在的话).例如，函数f (x) sin x的周期为2n；f x tan x的周期是兀.并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷( Dirichlet)

19、函数1, x为有理数，D(x) 0, x为无理数.任意正有理数都是它的周期，(!此函数没有最小正周期四、函数应用举例下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式例8火车站收取行李费的规定如下： 当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海 到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过 50千克时，超重部分按每千克 0.25元收费.试求 上海到该地的行李费 y (元)与重量x (千克)之间的函数关系式，并画出函数的图像解 当 0 x 50 时，y 0.15x ;当 x 50 时，y 0.15 50 0.25(x 50).所以函数关系式为：0.15 x, 0x 50；y 7.5 0.25(x

20、 50), x 50.这是一个分段函数，其图像如图1 9所示.例9某人每天上午到培训基地 A学习，下午到超市B工作，晚饭后再到酒店 C服务，早、 晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃 .A, B, C位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km,酒店与超市相距 5km,问该打工者在这条马路的 A与B之间何处找一宿舍(设随处可找到)，才能使每天往返的路程最短 .解 如图1-10所示，设所找宿舍 D距基地A为x (km),用f (x)表示每天往返的路程函当D位于A与C之间，即0 x 3时，易知 f x x 8 (8 x)当D位于C与B之间，即3 x 8时，则 f x

21、x 8 (8 x)所以2 3 x2(x 3)22 2x ,10 2x.这是一个分段函数，如图f (x)2 2x,0 x 3;10 2x,3 x 8.1-11所示，在0,3上,f x是单调减少，在3,8上，f x是单调增加.从图像可知，在x 3处，函数值最小.这说明，打工者在酒店 C处找宿舍，每天走的 路程最短.五、基本初等函数初等数学里已详细介绍了募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我 们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便，下面我们再对这几类 函数作一简单介绍.1.募函数函数y x 11 （ 是常数） 称为募函数.哥函数y x也的定义域随的不同而

22、异，但无论M何值，函数在0,内总是有定义的.当科0时，y x11在0,上是单调增加的，其图像过点（0,0）及点1,1 ,图1-12列出了科2，科1,科2时哥函数在第一象限的图像 .1当科0时，y x% 0,上是单调减少的，其图像通过点1,1 ，图1-13列出了科-,科1,科2时哥函数在第一象限的图像 .图 1-12图 1-132.指数函数函数xy a （a是常数且a 0, a 1）称为指数函数Xa是单倜减少的，如图 1-14所本.指数函数yax的定义域是，图像通过点0,1 ,且总在x轴上方.当时a 1, y ax是单调增加的；当0 a 1时，y 以常数e 271828182L为底的指数函数是科

23、技中常用的指数函数3.对数函数指数函数y ax的反函数，记作y 10g ax 称为对数函数.对数函数y log ax的定义域为 0,当0 a 1时，y log ax单调减少，如图 科学技术中常用以e为底的对数函数（a是常数且a 0,a 1）,图像过点1,0 .当a 1时,1-15所示.y log ax单调增加;它被称为自然对数函数，简记作y 1n x .另外以10为底的对数函数y 10g 10x , 也是常用的对数函数，简记作y 1 gx .4.三角函数常用的三角函数有正弦函数y sin x ,余弦函数y cosx , 4«1, -rf-正切函数y tanx ,金切HIL y cot

24、x ,其中自变量x以弧度作单位来表示.它们的图形如图1-16,图1- 7,图1- 8和图1-19所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线,WMWWWWWWMWW'WMIWWWMW正切曲线和余切曲线.图 1-16图 1-17正弦函数和余弦函数都是以2n为周期的周期函数，它们的定义域都为，值域都为1,1 .正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.弦曲线y cosx .正切函数y tan x in-x-的定义域为 cosxD f x |x R, x (2n 1),n为整数.余切函数y cotx壁区的定义域为sin xD f x| x R, x n%n为整数.正切函数和余切函数的值域都是，且它们都是以兀为

25、周期的函数，且都是奇函数另外，常用的三角函数还有正割函数 y secx ；余割函数 y cscx .它们都是以2n为周期的周期函数，且11secx - cscx cosx 'sin x5.反三角函数反正弦函数yarcsin x（如图 1-20）;反余弦函数yarccos x（如图 1-21）;反正切函数yarctan x（如图 1-22）;反余切函数yarccot x（如图 1-23）.它们分别称为三角函数y sin x ,y cosx , y tanx 和 y cotx 的反函数常用的反三角函数有这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数白概念，三角函数 y sin x , y c

26、osx , y tanx和y cot x在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y ,有多个x与之对应.但这些函数在其定义域的每一个单调增加 （或减少）的子区间上存在反函数.例如，y sinx在闭区间里,工 上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数2 2arcsin x的主值,记作y arcsinx.通常我们称y arcsin x为反正弦函数.其定义域为1,1 ,值域为工,工.反正2 2弦函数y arcsin x在 1,1上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所示类似地，可以定义其他三个反三角函数的主值它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数y arccosx

27、, y arctan x 和 y arccot x ,反余弦函数y arccos x的定义域为 其图像如图1-21中实线部分所示.反正切函数y arctan x的定义域为加的，其图像如图1- 22中实线部分所示反余切函数y arccot x的定义域为 的，其图像如图1-23中实线部分所示.1,1 ，值域为 0,兀，在 1,1上是单调减少的,上是单调增，值域为（0,同，在上是单调减少图 1-21图 1-22图 1-23六、初等函数sin xx2 1有些分由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数， 称为加笑更婺.例如,y 3x2 sin4x , y ln x J

28、i x2 , y arctan2 x3 Jlg(x_11) 等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的， 段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已.例如，绝对值函数也可以表示成y xJI_2 ；函数f (x)1' * a，也可表示成f(x)- i M(x)- .这两个函0, x a2 x a数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1 .双曲函数双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数.定义如下:双曲正弦次四金芨一双曲正切其图像如图shxchxthxex ex2xxe e2xshx echx),)， x1-24和图1-25所示

29、图 1-24图 1-25），它是奇函数，其图像通过原点 0,0且关于原点对双曲正弦函数白定义域为（ x称.在（ x ）内单调增加.双曲余弦函数白定义域为（x），它是偶函数，其图像通过点 0,1且关于y轴对称,在 ,0内单调减少；在 0,内单调增加.双曲正切函数白定义域为（x），它是奇函数，其图像通过原点 0,0且关于原点对称.在（ x ）内是单调增加的.由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立sh x y shxchy chxshy ,ch x y chxchy shxshy ,sh2x 2shx chx , ch2x ch2x sh2x 1 2sh2x 2ch2x 1 , 22ch x s

30、h x 1 .2 .反双曲函数shx , y chx和y th x的反函数，依次记为,，它是奇函数，在 ， 内单调增加，y arsh x的图像，如图1-26所示.利用求反函数双曲函数的反函数称为反及曲班数?y 区双曲正茗理藜.yarshx ,反双曲余弦函数yarchx ,反双曲正切函数yarthx .反双曲正弦函数y arsh x的定义域为由y shx的图像，根据反函数作图法，可得的方法，不难得到y arsh x lnx x2 1反双曲余弦函数 y arch x的定义域为1, ，在1, 利用求反函数的方法，不难得到y archx ln x x2 1上单调增加，如图 1-27所示,反双曲正切函数

31、y artanh x的定义域为（1,1）,它在（1,1）内是单调增加的其图像关于原点（0,0）对称，如图1-28所示.容易求得y arth x ln 1-x1 x.它是奇函数,第二节数列的极限、数列极限的定义，、. t t-T-t st/- r- r t ， 、 .» r r、*.定乂 1 如果函数f的定乂域Df N 1,2,3,L ,则函数 f的值域f N f n |n N 中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列。简称数列2即f 1，f 2 ,L ,f n ,L .通常数列也写成X1, X2,L ,Xn,L ,并简记为Xn ,其中数 列中的每个数称为一项，而

32、Xn f n称为二:般项一.对于一个数列，我们感兴趣的是当n无限增大时，Xn的变化趋势.我们看下列例子：数列；2,L , e ,L 2 3 n 1的项随n增大时，其值越来越接近 1;数列 2,4,6,L ,2n,L的项随n增大时，其值越来越大，且无限增大；数列 1,0,1,L ,1 ( 1) ,L(1 2 1)(1 2 2)n的各项值交替地取1与0;n 1数列 1, 1,1,L ,1 ,L2 3 n的各项值在数0的两边跳动，且越来越接近0;数列 2,2,2,L ,2,L各项的值均相同.在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义,(1 23)(1 一 2 一 4)(1 25)的一般项Xn无限地趋近

33、于某一个常数a (即 xn极限”.于是我们用观察法可以判断数列U ,n即“如果当项数n无限增大时，无穷数列xn 无限地接近于0),那么就说a是数列Xn的 (二，2都有极限，其极限分别为1,0,2.n但什么叫做“ xn无限地接近a”呢？在中学教材中没有进行理论上的说明我们知道，两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值b a来度量.在数轴上b a表示点a与点b之间的距离，b为a越小，则a与b就越接近，就数列（1-2-1）来说，因Xn我们知道，当n越来越大时，-越来越小, n从而Xn越来越接近1.因为只要n足够大，Xn就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数Xn 1 福，n 1

34、01,102,L如果给定，则从10001项起，都有下面不等式 10000Xn110000成立.这就是数列Xn一般地，对数列定义2设Xnn 1-n- (n 1,2,L ),当Xn有以下定义.若存在常数时无限接近于1的实质.a对任意给定的正数e（无论多么小），总存在正整数N ,当n N时，有不等式即XnU （a,九则称数列 XnXn a收敛，a称为数列lim Xn a 或Xn n nXn当n-8时的极限，.记为若数列Xn不收敛，则称t数列发散一.定义中的正整数 N与泊关, 显然，如果已经证明了符合要求的般说来，N将随e减小而增大，这样的 N也不是唯一的.N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求,

35、关数列极限的叙述中， 如无特殊声明，N均表示正整数.此外，由邻域的定义可知,在以后有xn U a, e等价于Xn a£.我们给“数列Xn的极限为a” 一个几何解释：将常数a及数列X1,X2,X3,L ,Xn,L在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的&邻域，即开区间（a *”如图1-29所示2tL因两个不等式图 1-29|xn a| e, a e xn a &等价，所以当n N时，所有的点Xn都落在开区间（aN个点）在这区间以外.为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“,a9内，而只有有限个点（至多只有有的”或“对于每一个“；符号“”表示存在&quo

36、t;；符号“”表示“对于任意的”、“对于所 maX X "表示数集X中的最大数；符号"min X ”表示数集X中的最小数.数列极限lim Xn a的定义可表达为: nlim Xn a e 0,正整数 N ,当 n N 时，有 Xn a£.n因此,因此,证明nim会£ 0(不防设0,取N证明由于0.1),ln要使.12n/ln2limn-cos -cos 0.n兀 cos412nlim -1 n 2N时,e,只要 2n1 ,即 n (ln£N时，有0.0,要使一 cos一一 cos -)/ln2 .£e.由极限定义可知0&由极限

37、定义可知.1 n R lim cos 用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方 法.二、数列极限的性质定理1 (惟一性)若数列收敛，则其极限惟一.证 设数列Xn收敛，反设极限不惟一：即lim xn a , lim xn b,且a b ,不妨设a b , nn由极限定义，取 e bya ,则 N1>0,当n N1时，xn a<bya,即3a b / a b< xn<,(1-2-6)2 n 2b a N2 0 ,当 n N2 时，xn b <ba ,即2 a b - - 3b a"2<xn<2,(1-2-7)

38、取N max N1 ,N2 ,则当n N时，(1-3-6), (1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾 .该矛盾证明 了收敛数列xn的极限必惟一.定义3 设有数列xn ,若存在正数 M ,使对一切n 1,2,L ,有xn M ,则称数列xn是有界的，否则称它是无界的.对于数列xn ,若存在常数 M ,使对n 1,2,L，有xn M ,则称数列x0有上界一；若存在常数M ,使对n 1,2,L，有xn M ,则称数列 x0有下界.显然，数列xn有界的充要条件是xn既有上界又有下界.例3 数列- 有界；数列 n2有下界而无上界；数列 n2有上界而无下界；数列 n2 1定理2 （有界性）若数列Xn收敛，

39、则数列Xn有界.证 设lim Xn a ,由极限定义，£ 0 ,且£ 1 , N 0 ,当n N时，|Xn a| £ 1 ,n从而|xn <1耳.取 M max 1 a,xJ,X2 , ,xN| ,则有 M ,对一切 n 1,2,3,L ,成立，即 Xn 有 界.定理2的逆命题不成立，例如数列（1）n有界，但它不收敛.定理3 （保号性）若lim Xn a , a 0 （或a 0）,则 N 0 ,当n N时，Xn 0 （或nXn °）.证由极限定义，对£ 2 0, N 0,当n N时，Xn a "2,即"2 Xn |a

40、,故当n N 时，Xn 2 0.类似可证a 0的情形.推论 设有数列 Xn , N 0 ,当n N时，Xn 0 （或Xn 0）,若ljmXn a,则必有a 0 （或 a 0 ）.在推论中，我们只能推出a 0 （或a 0）,而不能由Xn 0 （或Xn 0）推出其极限（若存在）也大于0（或小于0）.例如X0 ,但 lim Xn lim 10 .nn n n卜面我们给出数列的子列的概念定义4 在数列Xn中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列,称它为Xn的一个子列. n在选出的子列中，记第 1项为Xn1 ,第2项为Xn2，第k项为Xnk ,，则数列 X。的 子列可记为 Xnk *表

41、示Xnk在子列Xnk中是第k项，上表示X n在原数列Xn中是第1项.显 kkkk然，对每一个k ,有nk k ；对任意正整数h , k ,如果h k ,则必 拆；若之 明，则h k 由于在子列Xnk中的下标是k而不是时,因此Xnk收敛于a的定义是： £ 0, K 0, 当k K时，有*叫a £.这时，记为kim Xnk a .定理4 lim% a的充要条件是：Xn的任何子列Xn 都收敛，且都以a为极限.kk证 先证充分性.由于Xn本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证 下面证明必要性.由limXn a,£ 0, N 0,当n N时，有kXn a < S.今

42、取K N ,则当k K时，有nk nK nN N ,于是Xnk a &故有lim Xna.k k定理4用来判别数列Xn发散有时是很方便的.如果在数列Xn中有一个子列发散，或者 有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言Xn是发散的.例4判别数列 sin譬,n N*的收敛性.8解在Xn中选取两个子列：sin8k, k N816k 4 sin87t-,k20 71sin16k 4 兀_8显然，第一个子列收敛于0,而第二个子列收敛于1,因此原数列sin皆发散.三、收敛准则定义5 数列Xn的项若满足X1 X2 LXnXn 1 L ,则称数列Xn为单调增加数列工若满足X1 X2立时，则分别称收敛准则

43、Xn 1 L ,则称数列 X为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成是严格单调增加和严格单调减少数列.单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明n例5证明数列 11 收敛.n证根据收敛准则，只需证明n1 单调增加且有上界（或单调减少且有下界） n由二项式定理，我们知道(1 / 111 1 (12!'11-)1(1n， 3!'nn)(1z 1Cn - n逐项比较(1 n1 Cn2)C2L -(1 n!'112(n 1)12力1PL (1n 1、RCn111n 1(n 1)-1(1 n!1点11n 11 、1 “)

44、(11 3!'12n)(1ni)(11) L(1(n 1)!(1 -4n 1)(11)(11)，Xn与Xn 1的每一项,XnXn12!1213i1221 n!12n12n12n 13.n1 - 收敛.nn即数列 11 有界，由收敛准则可知nn我们将 1 -的极限记为e,即nn lim 1 1 e.n n第三节 函数的极限函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数 值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列xn 可看做自变量为正整

45、数 n的函数： * xn f n , nN,所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型 .x 时函数的极限当自变量x的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所 不同的只是自变量的变化可以是连续的.定义1设函数f x在区间a,)上有定义，如果存在常数 A,对于任意给定的正数 e(无 论它多么小)，总存在正数X ,使得当x满足不等式x X时，对应的函数值f x都满足不等 式f x A e,那么，称函数f x当x趋于+8时极限存在并以 a为极限，记作lim f (x) A 或 f (x) A (x ).在定义中正数X的作用与数列极限定义中的正整数

46、N类似，说明x足够大的程度，所不同 的是，这里考虑的是比 X大的所有实数x，而不仅仅是自然数 n ,因此，当x 时，函数f x 以A为极限意味着：A的任何邻域必含有f在某个区间 X, 的所有函数值.定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y A e和y A e,则总有一个正数 X存在， 使得当x X时，函数y f x图形位于这两条直线之间.时函数的极限的概念,类似于定义1,我们定义x趋于区间(,a上有定义，如果存在常数£ 0, A则称f时极限存在并以A为极限，记作1 证明limxcosxx由于cosx要使因此， £则当证明0,可取时,lim 10xx0,即有10x0<

47、定义论它多么小)那么，常数由定义定理1lim f (x) x0.A 或 f (x) A (x只要1-X-12 ，£cosxx£>0,0.要使10x 0故由定义1得cosx lim x10x0.E,只要limx我们简述如下：设函数使得当x X时，总有).x lg e.因此可取X |l g e| 1 ,当x X时,10x 0.设函数f x当|x充分大时有定义，如果存在常数 A,对于任意给定的正数 e(不总存在正数X ,使得当x满足不等式f (x) AA就称为函数f x当x时的极限,I I 1 1 n i ,ii 1*01*x > X时，对应的函数值f x都满足不等3

48、记作lim f (x) A 或 f (x) x1、定义2及绝对值性质可得下面的定理lim f (x) A的充要条件是lim f (x) xxA (x ).Jim f (x) A例3证明lim U 1 . x x 1证 £ 0 ,要使X-2 1 x 1即 x >1 3. £因此， £ 0 ,可取X 1二、x X0时函数的极限对一般函数而言，除了考察自变量x的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可研究x无限接近xo时，函数值f x的变化趋势问题.它与x时函数的极限类似，只是 x的趋向不同，因此只需对 x无限接近xo时f x的情形作出确切的描述即可.定义3设

49、函数f x在点xo的某个去心邻域内有定义，A为常数，若对于任意给定的正数e (无论它多么小)，总存在正数使得当x满足不等式0 x xo8时，对应的函数值f x都满足f(x) A 3 则称函数f x当x xo时的极限存在并以 A为极限，记作lim f (x) A ,或 f x A ( x x0 时). x xo上述定义称为x xo时函数极限的分析定义或 x xo时函数极限的“ £ B”定义.研究f x当 x xo的极限时，我们关心的是x无限趋近xo时f x的变化趋势，而不关心f x在x xo处 有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说f x在x xo处有无极限与函数

50、在该点有没有定义无关 .函数f x当x xo时的极限为 A的几何解释如下：任意给定一正数£,作平行于x轴的两条直线y A £和y A 3介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的£,存在着点xo的一个B邻域(xo B, xo B),当y f x的图形上的点的横坐标 x在邻域(x° B, xo B)内，但x xo时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式f (x) A 3 或 A £ f (x) A £.亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1-31所示.3,则当£>X时，有例4证明则。2.1 >3屋而x 1

51、 x1>3,£八故由定义2得xim汨J 一)36 A图 1-312证函数f (x ) x一1在x1处无定义.x 1X 1 I < e成立.2e成立,因此， £ 0,据上可取B £,则当0 x 1<8时，一1 x 1由定义1得lim x一1 2 . x 1 x 1例 5 证明 lim sin x sin x0.x x00证 因为xO 0时，由于sin x x , cosx 1,所以|sin xsin x0|o x2 cos x0 . xsin 一2x0x x0因此， e 0,取B 。则当0 x x。8时，|sinx sinx0| 城立，由定义 3得

52、lim sinx sin x0. x x0在考察函数f x当xx0的极限时，应注意 x趋于点x0的方式是任意的，动点 x在x轴上既可以从x0的左侧趋于x°,也可以从x0的右侧趋于x°,甚至可以跳跃式地时左时右地从左 右两侧趋于x0.但在有些实际问题中，有时只能或只需考虑 x从点x°的一侧(x x0或x x°)趋 于x0,这时函数的极限，即所谓的单侧极限.定义4 设函数y f x在x0的某个右(左)邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数£ (无论它多么小)，总存在着正数使得当x满足不等式0 x x0 B(0 x° x B)时，对应的函数值f x都满足不等式f (x) A £则称A为f x当x x0时的右(左)极