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文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上高等数学备考题型汇总第一章 函数的极限与连续性 (一)极限七大题型1. 题型一()要求: A:达到口算水平; B:过程即“除大”。2. 题型二 0 结果:将a带入分子=0 =0 “0/0型” 用洛比达法则继续计算求值将a带入分母0 直接带入a求出结果就是要求的值3. 题型三(进入考场的主要战场) 注:应首先识别类型是否为为“”型!公式: 口诀:得1得+得内框,内框一翻就是。(三步曲)4. 题型四: 等价无穷小替换(特别注意:)(1)A:同阶无穷小:;B:等价无穷小:;C:高阶无穷小:.注意:(2)常用等价替换公式:147*2536特别补充: (3)等价替换的的性质:1
2、)自反性:2)对称性:3)传递性: (4)替换原则:A:非0常数乘除可以直接带入计算; B:乘除可换,加减忌换 (5)另外经常使用:进行等价替换 题型五 有界: ()识别不存在但有界的函数: 5. 题型六:洛必达法则(极限题型六),见导数应用:洛必达法则6. 题型七:洛必达法则(极限题型七),定积分,见上限变限积分7. 题型三&题型四的综合 (二)极限的应用1、单侧极限(1)极限存在条件 左左右右(2)极限的连续性 (3)间断点及分类(难点)把握两个问题:第一,如何找间断点 ;第二,间断点分类(难)。A:间断点:定义域不能取值的内点B:间断点分类类可去 类类跳跃A,类可去,类不存在,不
3、能分类,求左右极限第二章 导数及其应用 与 第七章 多元函数微学分(一) 导数定义定义一1、“陡”、“平”的形象叙述;2、;3、;4、 . 拓展:注意:1)分段点求导,永远用定义! 2)有连续性条件时可直接带入 定义二(二) 导数常用公式1 723 45 86(三) 导数运算1、乘法运算: 2、除法运算:(四) 复合函数求导(核心内容)1、 层次分析2、几点性质:(1)公式,推广为: (2)形如: 利用公式等价替换 (3)奇偶性: (五) 高阶导数1324(六) 微分1、 基本知识 注意求的时候要加“”.2、 参数方程求导(考试重点)参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分标准形式
4、:t为中间变量公式: 3、 符号型求导 4、 隐函数求导(必考) 题目一般形式是:5、 对数法求导巧用对数的性质,变形式子(七) 导数的应用1、 切线与法线 切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1;2、 洛必达法则(极限题型六)()注意:1 等价无穷小,乘除可换,加减忌换2 洛必达法则可重复使用条件:1.;2.后有则前有3、 函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1)“峰”极大值;“谷”极小值;单调性与极值求解A:单调性:B:单调性交界点极值点(判据)C:极值点可疑点()D:渐近线 2)函数凹凸性与拐点 A: B:凹凸性交界点且能取值拐点 C:拐点可疑点一般求解步骤:(1)
5、求定义域、渐近线;(2) 计算;(3) 求的点和使不存在的点,设为;(4) 列表分析;(5) 得出结论.4、 函数最大值、最小值 比较:1); 2)端点5、 函数的实际应用步骤:(1)合理做设,具有唯一性; (2);(关键点所在) (3)令; (4)唯一驻点,即为所求。二、 多元微分学(一) 显函数一阶偏导数“求即变”:求哪个,哪个就是变量 (二) 全微分一元函数: 此时,二元函数: 此时,(三) (高)二阶偏导数主要是求,分别定义为:一定条件下,即连续时:(四) 二元隐函数求导一阶: 二阶直接求 :(五) 符号型求导(必考)1. (重点) 2.第三章 一元函数积分学 与 第八章 二重积分一、
6、不定积分1. 性质:2. 基本公式17238456(一) 求不定积分的四大方法1、 方法一(1) 凑常数 公式:(2) 配方 见到一元二次方程想到配方法(3) 拆分公式:(4) 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、 方法二固定搭配公式3、 方法三分布积分(1) 一般分布积分公式: 关键:是什么?1、 设 , 求的定义域及.三角函数三角函数高的优先级方向(2) 特殊方程法积分法积分时,对如下积分要特别注意:等等4、 方法四变量替换(1) 一次项替换如:方法:直接令.(2) 二次项替换根据下表进行相应替换:原项替换原理: 根据下面两个三角变换得来的1.2.换元二、定积分(一) 定积分计算1.
7、N-L公式 (牛顿-莱布尼兹公式)主要思想是利用积分方法进行积分,然后“出来代值”计算 ;2.变换变限 (二) 定积分性质1.(1) (2)2. 3. 更名:4. 拆分:积分性质的运用:(1) 分段函数的定积分(2) 函绝对值积分(3) 三角函数积分(实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算)5.若则这一性质十分重要,特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型,即题型七(1) 记住:与没有关系推广: 上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导 (2)洛必达法则 (极限题型七)7广义积分三种形式:(1);(2);(3).解:定义:原式=A(有限) 收敛 发散(三)
8、定积分应用一般出现在综合题的最后一题,题型仅有两种:第一,求面积;第二求旋转体体积(绕)1. 面积(1)“左右型” *(2)“上下型” *2. 旋转体体积(1)“坐在轴上”微元法推导:1. 绕轴: 公式1: “墩”;2. 绕轴: 公式2: “城墙”。(2)“坐在轴上”微元法推导:1. 绕轴: 公式1:“城墙”;2. 绕轴: 公式2: “墩”。二重积分1. 累次积分公式: 2. 二重积分的计算直角坐标系的几何意义:3. 二重积分改变次序记住一些不能正序积分的函数:思路:原累次积分二重积分新累次积分4. 极坐标主要是圆的思想,注意画图,特别注意上限和下限!Jacobi因子第四章 微分方程(一) 分
9、离变量法1. 标准型步骤:2. 变化型 核心:令(二) 一阶线性微分方程(重点)1.标准型:,关键是找到、;一次无+号2.常数变量法:做题步骤:注意:1) 积分不要加C;2) ,不要“| |”符号。(4) 找到、;(5) ,计算,;(6) 带入公式.(三) 三大题型题型1:贝努里方程,即 题型2:积分方程 特定条件整理之:=题型3:二阶线性微分方程(1) 齐次方程() 特性方程即: (补充:) , 为互异实根,(2) 非齐次方程标准型: 关键是读参数:求解过程:=1) 解出2)读参数. 可设特解方程:AB代入3) 第五章 无穷级数一、收敛与发散S有限 收敛 发散 1.2.3.收敛的必要条件N 判别图发散Y比值判别法>1 发散<1 收敛=1 失效根式判别法>1 发散<1 收敛=1 失效比较判别法p>1 收敛P1 发散 莱布尼兹法则1.交错2.3. 二、交错级数 (7) 莱布尼兹法则发散收敛(2)绝对收敛与条件收敛的判别发散绝对收敛条件收敛 三、幂级数 1.收敛域和收敛半径 级数对称性:1.一收朝里皆收; 2.一发朝外均发。1. 收敛半径:R; 公式:2. 收敛区间(收敛域)
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