测量教案6章_测量误差

1、6.1 测量误差的概念仪器测量某量产生误差表现相同条件对某量多次重复观测所得观测值l1， l2 ， ln一般互不等设观测量的真值 观测量li的误差 产生误差原因仪器误差、观测误差与外界环境误差分类偶然误差、系统误差第第6章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识lllii(1) 偶然误差符号与大小呈偶然性单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律偶然误差真误差案例1三等、四等水准测量在cm分划水准标尺上估读mm位估读的数有时过大，有时偏小案例2经纬仪测量水平角大气折光使望远镜中目标的成像不稳定引起瞄准目标有时偏左、有时偏右多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响不能完全消除偶然误差的影响a(2)

2、 系统误差符号与大小保持不变，或按一定规律变化案例钢尺量距用没有鉴定、名义长为30m、实际长为30.005m的钢尺量距每丈量一整尺段距离就量短了0.005m产生-0.005m的量距误差各整尺段的量距误差大小都是-0.005m符号都是负，不能抵消，具有累积性系统误差对观测值的影响具有一定的规律性找到规律就可对观测值施加改正以消除或削弱系统误差的影响S误差定义规范规定测量仪器使用前应检验和校正按规范要求操作布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时应有一定量的多余观测严格按规范要求进行测量时系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小只讨论误差有偶然误差(真误差)的情形Saa6.2 偶然误差的特性定义大部分

3、情况下，真值 未知，求不出某些情形中，观测量函数的真值已知案例三角形内角和闭合差定义为 i=(1+ 2 + 3)i180真值 ， 的真误差结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身lliil0iiiii358个三角形闭合差真误差统计分析案例个三角形闭合差真误差统计分析案例dnkyn横坐标，横坐标， 纵坐标纵坐标n长条矩形面积长条矩形面积 ，等于频率，等于频率nkdndkd 偶然误差有界一定观测条件、有限次观测偶然误差绝对值不超过一定限值 小误差出现频率大，大误差出现频率小 绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等 观测次数n，偶然误差平均值 0偶然误差的特性偶然误差的特性 0limnn niin1

4、21误差数n ，误差区间d 0小长条矩形顶折线光滑曲线正态分布密度曲线正态分布概率密度函数德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现，f()0|1|2|， f(1)前者前者10000150005. 01K200001100005. 02Kn(3) 误差容许值误差容许值n设设为为任一正实数，事件任一正实数，事件A=(|)的概率为的概率为:deP22221)(-n结论结论n真误差绝对值真误差绝对值的占的占31.73%n真误差绝对值真误差绝对值2的占的占4.55%n真误差绝对值真误差绝对值3的占的占0.27%n后两者属于小概率事件，小样本中不会发生后两者属于小概率事件，小样本中不会发生

5、n观测次数有限时观测次数有限时n绝对值绝对值2或或3的真误差不可能出现的真误差不可能出现n测量规范常以测量规范常以2或或3作为真误差的允许值作为真误差的允许值n限差限差|限限|=2=2m或或 |限限|=3=3mn观测值误差大于上述限差时观测值误差大于上述限差时n认为它含有系统误差，应剔除认为它含有系统误差，应剔除 n6.4 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用n测量中，有些未知量不能直接观测测定测量中，有些未知量不能直接观测测定n需由直接观测量计算求出需由直接观测量计算求出n水准仪一站观测的高差水准仪一站观测的高差h=a-bn三角高程测量初算高差三角高程测量初算高差h=Ssinn直接观测量

6、的误差导致它们的函数也存在误差直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差n函数的误差由直接观测量的误差传播过来函数的误差由直接观测量的误差传播过来n(1) 线性函数的误差传播定律及其应用线性函数的误差传播定律及其应用n函数函数Z=f1X1+f2X2+fnXnn系数系数f1， f2， fnn误差独立观测量误差独立观测量X1，X2， Xnn观测量中误差观测量中误差m1， m2， mnn函数中误差函数中误差2222222121nnZmfmfmfmn1) 等精度独立观测量算术平均值的中误差等精度独立观测量算术平均值的中误差n等精度独立观测值等精度独立观测值l1，l2，lnn算术平均值算术平均值n每个观测

7、量的中误差每个观测量的中误差mn结论结论n算术平均值的中误差算术平均值的中误差=为一次观测中误差的为一次观测中误差的nN时，时，nnlnlnlnnlnllll1112121 nmmnnmnmnmnml22222222111n10nmn例例6-1 每次距离丈量中误差每次距离丈量中误差m=5.02mmn6次丈量距离平均值的中误差次丈量距离平均值的中误差mm05. 2602. 5lmn2)等精度独立观测量等精度独立观测量 和和 的中误差的中误差n独立观测独立观测n站高差站高差h1， h2，hnn路线高差之和路线高差之和h= h1+ h2+hnn每站高差观测中误差每站高差观测中误差m站站站mnmmmm

8、nh 22221n(2) 非线性函数的误差传播定律及其应用非线性函数的误差传播定律及其应用n非线性函数非线性函数Z=F(X1，X2，Xn)nX1，X2，Xn误差独立观测量误差独立观测量n中误差中误差m1，m2，mnnndXXFdXXFdXXFdZ2211nnxFfxFfxFf，2211nndXfdXfdXfdZ22112222222121nnzmfmfmfm n例例6-2 测量斜边测量斜边S=163.563m，中误差，中误差mS=0.006mn测量角度测量角度=321526，中误差，中误差m=6n边长与角度观测误差独立边长与角度观测误差独立,求初算高差求初算高差h的中误差的中误差mhn解解 h

9、=Ssin，取全微分得，取全微分得 dfdSfdhdSShdSSdSSdSdSdhdSShdh21cotsincossinsincossin206265cot21 ，hfShfn角度的微分量角度的微分量d”除以除以”n是为了将是为了将d”的单位由秒的单位由秒弧度弧度nH=Ssin=163.563sin321526=87.297mnf1=h/S=87.297163.563=0.533721nf2=hcot/”=87.297cot321526206265n =0.000671mmh005142. 06000671. 0006. 05337. 022226.5 等精度独立观测量的最可靠值等精度独立观

10、测值l1，l2，ln算术平均值真误差1，2，n其中取极限结论观测次数n时，算术平均值真值n有限时，取算术平均值为未知量的最可靠值 nlnlllln21 lliilllnln llllllnnnnnnnlim0limlimlim0lim即所以而1）真值 已知2）真值 未知用 代替 计算m定义观测量改正数有真误差 则常数，i=-Vi取平方i2=2-2Vi+Vi2=n2+2V+VV= n2+VVnmllii，lllliillV0ll nVlliillViinVVnnnnlimlimlim26.6 等精度独立观测时的精度评定方法等精度独立观测时的精度评定方法)(121212121nnnnnnnnnll

11、nllnlllnlllll )(2)222(11312122131212222122nnnnnnnn )(2limlimlim13121222nnnnnnn n取极限取极限nl1，l2，ln误差独立，其两两协方差误差独立，其两两协方差=0 0)(2lim131212 nnnn22limlimnnnnVVnnVVnnnnnnlimlimlimlimlim22n观测次数观测次数n有限时有限时n等精度独立观测时等精度独立观测时n观测值改正数观测值改正数Vi计算一次观测中误差的公式计算一次观测中误差的公式n白塞尔公式白塞尔公式(Bessel formula) 21limlimnVVnnn1nVVm22

12、22221limlim1limlimlim1limlimlimlimlimlimlimlimlimnVVnnVVnnVVnnnVVnnnVVnnnVVnnnnnnnnnnnnnnnn所以而n例例6-3 在在例例6-1中，假设距离真值未知中，假设距离真值未知n用白塞尔公式计算钢尺每次丈量用白塞尔公式计算钢尺每次丈量50m的中误差？的中误差？n算出六次丈量距离的平均值算出六次丈量距离的平均值49.9822m 6.6 不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定 (1) 权的定义观测量li的中误差mi，权m02 任意正实数li的方差mi2越大，权就越小，精度越低li的方差mi2越小，权就越大，精度越高令W

13、i=1，则有m02= mi2m02权等于1的观测量方差，单位权方差m0单位权中误差 220iimmW n(2) 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差n对某量进行不等精度独立观测对某量进行不等精度独立观测n得观测值得观测值l1，l2，lnn中误差中误差m1，m2，mnn权权W1，W2，Wnn观测值的加权平均值为观测值的加权平均值为n应用误差传播定律应用误差传播定律212211WWlWWWlWlWlWlnnnW nnWlWWlWWlWWl2211 22222222212212nnlmWWmWWmWWmW 22222222212212nnlmWWmWWmWWmW 2020220244022220

14、22mWmmmmmmmmmmWiiiiiiii20202202202220212WmmWWmWWmWWmWWmnlW 0WmmWln例例6-4 1，2，3点点已知高等级水准点已知高等级水准点n其高程误差很小，可以忽略不计其高程误差很小，可以忽略不计n为求为求P点高程，用点高程，用DS3水准仪独立观测了三段水准路水准仪独立观测了三段水准路线的高差，每段高差的观测值及其测站数标于图中，线的高差，每段高差的观测值及其测站数标于图中，求求P点高程的最可靠值与中误差。点高程的最可靠值与中误差。n解解 都是用都是用DS3水准仪观测水准仪观测n可认为每站高差观测中误差相等可认为每站高差观测中误差相等n高差观

15、测值高差观测值h1，h2，h3的中误差的中误差n取取h1，h2，h3的权的权W1=1/n1，W2=1/n2，W3=1/n3n计算出计算出P点的高程值为点的高程值为nHP1= H1+ h1=21.718+5.368=27.086mnHP2= H2+ h2=18.653+8.422=27.075mnHP3= H3+ h3=14.165+12.914=27.079m 站站站，mnmmnmmnm332211n因为三个已知水准点高程的误差很小，可忽略不计因为三个已知水准点高程的误差很小，可忽略不计n所以求出的三个高差观测值的中误差所以求出的三个高差观测值的中误差nm1，m2，m3就等于用该高差观测值计算出的就等于用该高差观测值计算出的nP点高程值点高程值HP1，HP2，HP3的中误差的中误差nP点高程加权平均值为点高程加权平均值为079.27911612519079.2716075.2725086.27111111321332211nnnHnHnHnHPPPPWnP点高程加权平均值的中误差点高程加权平均值的中误差n下面验证下面验证P点高程算术平均值的中误差满足点高程算术平均值的中误差