2019上海市高三上学期数学期中考试试题(2)

1、-1 -高三期中数学试卷填空题1.集合A =丄201时的真子集有 _个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解【详解】集合A的真子集有，0，1，2018,0,1，0,2018，1,2018，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力2.设全集U = R，MA 4，N =国护1J，则图中阴影部分所表示的集合是 _ （用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N,再求MA N,再求二二门疋即得阴影部分所表示的集合【详解】由题得M=x|x2或x0，所以Mn N=x|x2,所以I厂三三.所以阴影部

2、分所表示的集合为0,2.故答案为：【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推 理能力3._命题“若实数日、满足a-b2且b3则a+b5”的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a2且b3则a+b5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题故答案为：真【点睛】(1)本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同所以，如果某些命题(特别是含有否定概念的命题)的真假

3、性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性4.某个时钟时针长，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是 _cm2【答案】【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式求解、60丁【详解】由题得该时针扫过的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力1-ax5.函数f=X-1呷二亍是奇函数，则实数a的值为_2【答案】【解析】【分析】化简f(-x)+f(x)=0即得a=1，再检验得a=-1.HrJIX制x 十1 X【详解】由题得，2-22 21 + ax -ax -xl I-ax所以 -2 2所以:：?-=.，经检验a=1不符合题意，所以舍去，故

4、答案为：-1【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力-3 -6.函数=x +-在i 1刀上单调递增，则实数 日的取值范围为 _【答案】【解析】【分析】先对函数求导得；-j在(1,2)上恒成立，再分离参数求出a的范围.疋【详解】由题得I二在(1,2)上恒成立，所以.x故答案为：【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一般地，函数在某个区间可导，在某个区间是增函数 j3 0 .7.在厶 中，角、所对的边分别为、，若一”厂，,，则的面积3为_$【答案】2【解析】【分

5、析】利用余弦定理可得b,再利用三角形面积计算公式即可得出.【详解】Ta=. ；/a2=b2+c2-2bccosA,3=4+b2-4bx. .p,化为b2-2b+仁0,解得b=1.11兀屈.SAAB=卜 “1 = I ： =.:故答案为：.2【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.38.已知函数丄、 匚则!)f(l I:的解集是 _t(x) = K1【答案】：-4 -【解析】【分析】-5 -所以.故答案为：-.i. - -x+1,再分1vxW2和Owxwi两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|-x+1,当1

6、vx2时，-x+1-x+1或2x-avx-1,所以av3x-1或ax+1在0,1上恒成立，所以a2,因为a0,综合得a2.故答案为：a2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力7%&10.-已知常数30,函数f(x)=-的图像经过点 玖，若2q=6pq,则_严十ax事鼻【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值.护61由于函数是定义域在上的增函数，所以專f，解不等式即得解.I详解】由于函数是定义域在上的增函数,3x-1 0.-6 -【详解】函数f(x)=的图象经过点P(p, -) ,Q(q,肾+ax彳5-

7、7 -严十典q十仙p_2旷勺_2卩 +q 2paq + 2qap十/pq解得:2p+q=a2pq，由于:2p+q=16pq,所以:a2=16.由于a0,故：a=4.故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幕的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力11._已知函数F(X) =TJL3XT3亠3*十3,若I f(bU) = 6,则十的最大值是 _【答案】3【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由i.i I 得7 :：. = I，再利用三角换元求 阳已:的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=：、.；：、；A八,所

8、以芒j-1.-I -i 二.I ：H :所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得7?xii-i.-:所以函数g(x)是减函数，因为i-Ai所以呼：卜耳广”丸整理得:则:-8 -所以g、=g(i-L：),所以、二不妨设，-9 -所以时1十b2耳沖叫h + sin细=(1 - sin2e)cos2f)=-=；,所以.的最大值为故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数 的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力 键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由ill. - I .

9、-得-H ；I，其三是利用三角换元求LI：,- 的最大值f 2-x1 x 2:,如果函数.iv-I：恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是【答案】【解析】【分析】析得到实数k的取值范围所以函数的图像为:(2)本题的解题关12.已知函数先求出函数的由题得厂一宀有三个不同的实根，数形结合分【详解】当1xW2时,f(x)=-x+2.12x2,所以f(x)=当.时,12x1,2I12x,421I、时，2x，所以f(x)=所以所以f(x)=f(x)=1 1，1 , 11,2 221 ,11122241 ,111: ,2248-10 -由题得C( ),D(),8 816 16当直线在PD（可以取到）和直

10、线PC（不能取到）之间时，直线和函数f（x）的图像有三个不同的交占八、I008 1 16 1由题得.-一-一“:.1 -18 16所以k的取值范围为：=.-I .故答案为：r - I【点睛】（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题， 意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力（2）解答本题的关键是求出函数f（x）的解析式作出函数的图像.（3）函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方 程+图像法二.选择题13.“函数 ：存在反函数”是“函数 在上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件-1

11、1 -【答案】B【解析】函数存在反函数，至少还有可能函数ii,，在 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。14.若函数ii的反函数为，则函数ii.与-的图像可能是(【分析】f(x)和f-1(x)关于y=x对称是反函数的重要性质；而将后，得到的图象的解析式为f(x-a)而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称也相应平移.【详解】函数f(x-1)是由f(x)向右平移一个单位得到,(x-1)由f-1(x)向右平移一个单位得到,而f(x)和f1(x)关于y=x对称,从而f(x-1)与f-1(x-1)的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即排除B, DA,C选项中各有一个函数图象过点(

12、2,0),则平移前的点坐标为(1,0),则反函数必过点(0,1),平移后的反函数必过点(1,1),由此得A选项有可能，C选项排除;故答案为：AC.f(x)的图象向右平移a个单位y=x-1,B.【解析】D.-12 -【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键.15.在中，角、 所对的边分别为、，给出四个命题：（1）若、in屮，则】为等腰三角形；（2） 若、川八，则几为直角三角形；（3） 若，则为等腰直角三角形；a b c（4）若If江丨，则处二为正三角形；以上正确命题的个数是（）A. 1

13、B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解【详解】若-II：. -. - :.1-，则2A=2B或2A+2B=n，所以A=B或A+B=,所以ABC是等腰三1角形或直角三角形，所以该命题是错误的（2）若,所以sinA=sin（,所以 =-：, I-.:22 27L ,冗-则厶不一定为直角三角形，所以该命题是错误的22cosAsinB cosCcosAsinBcosC一JU若，所以- A=C=，则为等腰直角三角形，abcsiiiAsinBsinC4所以该命题是真命题若cos - B）cos（B - C）cos（C - A） = I,所以cos（A - B） =

14、cos（B - C）=cos（C - A） = 1 *所以A=B=C,所以ABC是正三角形所以该命题是真命题故答案为：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力-13 -16.是定义在 上的函数，且.，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则6在以下各项中，.-的可能取值只能是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与6下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(. )=

15、, ,3时，此时得到的圆心角为幕，-，-63然而此时x=0或者x=.-时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当=，此时旋转,6此时满足一个x只会对应一个y,故答案为：C【点睛】本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能三.解答题17.已知锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于、 两点，其中 点坐标*三.1 I sin2a求的值;(2)若-11 -|，求点坐标.56 33【答案】(1); (2)，：、一.65 63【解析】【分析】-14 -十sinzcEt 亠x =先求出g.ii：.一、：;,再求的值.(2)由题得 -eosS

16、a)22I x +y =点B的坐标.4349【详解】由题得-|：_|-.-,；，解方程组即得-15 -2167，2525所以=-7.cosSuc3452,-y + -x =一 x I y = 1551356苹十丄一、”56 33,所以点B的坐标为.656565 65【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.如图，某公园有三个警卫室、有直道相连，丘三-3千米，. 千米，千米.（1） 保安甲沿从警卫室 出发行至点F处，此时二匚-I，求：三的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室 出发前往警卫室，同时保安乙沿.从警卫室 出发前往警卫

17、室 ，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）l 8-J15【答案】（1）. ；（2）.【解析】【分析】（1）由解直角三角形可得/C=3C，在BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知OWt4,设甲在线段CA上的位置为点M则t，讨 论0t1时，当K t4时，分别在AMQAAMB中,运用余弦定理和二次不等式的解法， 即可得到所求结论.【详解】（1）在RtABC中，AB=2, BC=2 -,所以/C=30,在厶PBC中PC=1, BC=2,

18、由余弦定理可得-cos6 + -sinB =5513因为是钝角，所以-16 -Bh=BC+PC-2BC?PCcos30-17 -=(2)2+1-2X2X1X上=7,即BP=;(2)在RtABC中，BA=2, BC=2 -,AC=4如图所示，在AMC中,中档题.1 2满足，求 的最小值a b1212b 2a厂b 2a-，当且仅当=且.-I时,a b a b a ba b即1且匕 I 衣时取等号学习上述解法并解决下列问题:设甲出发后的时间为t小时,则由题意可知0Wt-778 - J150WtW7解得所以当1WtW4时，乙在警卫室2 2(2t)-2?2t?(4-t)cos60=7t-16t+169,

19、B处，在ABM中,由余弦定理得MB=(4-t)2+4-2?2t?(4-t)cos60=t2-6t+129,解得tv3-.或t3+.,综上所述0WtW-时,又1WtW4,不合题意舍去.甲乙间的距离大于3千米,【点睛】本题考查解三角形的实际问题的解法，注意运用余弦定理,考查化简整理的运算能力，属于19问题：正数、其中一种解法是:所以两人不能通话的时间为O-18 -(1)若实数、满足一 ，试比较.一|.和,： 汀的大小，并指明等号成立的条件;a2b2(2)利用(1)的结论，求函数in：/：，-:的值域【答案】(1) .I、，-小i厂，且八：I“等号成立；(2) |:.a3b22【解析】【分析】【详解

20、】由(1)得n U:,因为f(t)0,2 2&$所以-. 一、所以函数- 的值域为.【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可720.定义区间“ X、|二.|、；即得解.(2)令-再利用结论求函数的值域22(1)先化简=(令:去 一;-止- -C二亠-再利用基本不等式求最值12-19 -二.|、|二:的长度均为一川，已知不等式的解集为6-x(1)求的长度;-20 -f屮 +gW |(2)-

21、函数f(x)=-(aER,日#0)的定义域与值域都是mm(nm),求区间mn的a2x最大长度；(3)关于 的不等式- I.-J.I-.A?：二的解集为，若.的长度为6，求实数 的取值范围【答案】(1) ；(2) ；(3).3 i1【解析】【分析】解不等式得其解集即得区间长度.(2)由题意求出f( x)的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f(x)的单调性，由题意列出方程组，转化为m n是方程f(x)的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n由判别式大于零求出a的范围，表示出n-m利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值.(3)先求出AnB?(0,6),再转化为不等式组，当x(0,6)时恒成立分析两个恒成立问题即得ttx + 3tx- 40,A=-1,6),ATB的长度为6,所以AAB?(0,6).x0不等式log2X+log2(tx+3t)v2等价于 lx +3i0,tx：+ 3tx-斗0又AAB?(0,6),不等式组的解集的各区间长度和为6,所以不等式组产(tx + 3tx - 4 0恒成