第四节 曲面方程

1、v 曲面方程的概念曲面方程的概念v 柱面柱面 第七章第七章 解析几何向量代数解析几何向量代数 v 常见二次曲面常见二次曲面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲面及其方程曲面及其方程v 旋转曲面旋转曲面在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, 如果曲面如果曲面 S 与方程与方程F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程上任意点的坐标都满足此方程; F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程, 则称则称F( x, y, z ) = 0 为为曲面曲面

2、S 的方程的方程, 称曲面称曲面 S为为方程方程( , , )0F x y z Szyxo上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)已知动点的运动规律已知动点的运动规律, 求动点坐标满足的方程求动点坐标满足的方程;例例1:一动点与二定点一动点与二定点A(2,3, 2)及及B (1, 4,2)等距离等距离,求求动点的轨迹方程动点的轨迹方程.解解: :设动点坐标为设动点坐标为M(x, y, z),| |MAMB 222(2)(3)(2)xyz 222(1)(4)(2)xyz 7420 xyz平面方程平面方程故所求方程为故所求方程为0000(,)Mxyz特

3、别地特别地, ,当当球心为坐标球心为坐标原点时原点时, ,球面方程为球面方程为设球面上动点坐标为设球面上动点坐标为M(x, y, z),0,M MR 即即依题意依题意半径为半径为 R 的球面方程的球面方程.xyzoM0M222000()()()xxyyzzR 2222000()()()xxyyzzR 2222,xyzR 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 求球心为求球心为解解: :上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)已知曲面方程已知曲面方程F(x,y,z)=0, 求方程所表示的曲面的形状求方程所表示的曲面的形状.解解: :22224650 xyzxyz 曲面的曲面的形状

4、形状. . 所表示所表示例例3. 研究方程研究方程2(1)x 2(2)y配方得配方得: : 2(3)z9 这方程所表示的是球心在点这方程所表示的是球心在点(1, 2,3) 半径为半径为3的球面的球面.1.定义定义.一平面曲线一平面曲线 绕该平面上一条绕该平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. .该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴. .例如例如 :上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线曲线 C 00),(xzyf绕绕 o z轴轴上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 旋转一周旋转一周y zoCx得得 M(x,y,z) SMN), 0(11

5、zyzz 11|y 22xy 11(,)0f y z ：S从而得旋转曲面从而得旋转曲面S方程：方程：N点在曲线点在曲线C上上, 满足曲线方程满足曲线方程M,N两点竖坐标相同两点竖坐标相同M,N两点到两点到oz 轴距离相等轴距离相等22,xy(f)0z 坐标面坐标面yoz面上的曲线面上的曲线 C 00),(xzyf绕绕 oz 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22,xy(f)0z 绕绕 oy 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：( ,f y22)0 xz 坐标面坐标面zox面上的曲线面上的曲线 C( , )00g

6、z xy 绕绕 oz 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22)0 xy ( ,g z绕绕 ox 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：(g22,yz)0 x 坐标面坐标面xoy 面上的曲线面上的曲线 C( , )00h x yz 绕绕 ox 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22)0yz ( ,h x绕绕 oy 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面 的方程为：的方程为：(h22,xz )0y xOzy上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222210

7、xyabz 绕绕 x 轴一周轴一周.例例4. 将下列各曲线绕指定将下列各曲线绕指定轴旋转一周轴旋转一周, 求生成的旋求生成的旋转曲面的方程转曲面的方程1. 双曲线双曲线22xa得得2221yzb axyoz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.上述双曲线上述双曲线绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周. 012222 zbyax 222xza 得得221yb z yox上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222200zy=abx = 3. 两条相交直线两条相交直线绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周.22za得得当当a = b = 1时时,圆锥面为圆锥面为22.zxy 2220 xyb y22xy

8、az .oxz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 02 xazy4. 抛物线抛物线绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周, 得得a = 1时时, 为为22.zxy yxo) 0()(222 rRryRx 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.z222()xzR222222222()4()xyzRrRxz 得得22yrxyz引例引例. .方程方程表示什么曲面表示什么曲面?将此直线平行于将此直线平行于 z 轴轴 沿圆沿圆C 移动所形成的曲面，移动所形成的曲面，222xyR解解: :222xyR222,xyR所以在空间所以在空间解析几何中解析几何中, ,

9、222xyR过此点作平行过此点作平行 z 轴的直线轴的直线 l ,则此直线则此直线 上的点的坐标都满足方程上的点的坐标都满足方程表示表示圆柱面圆柱面. .oC一点一点 1( , ,0),Mx yl1M上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 平面解析几何平面解析几何:表示表示 xOy 坐标面上的圆坐标面上的圆.空间解析几何空间解析几何: 在在xOy 面上的圆面上的圆C上任取上任取显然是显然是.即方程即方程表示的曲面表示的曲面,222xyRxyzxyzo平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的动直线移动的动直线 l的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做

10、(直直)母线母线.表示表示2(1)2yx 2222(2)1xyab表示平行于表示平行于 z 轴的轴的.(3)0 xyC表示表示xyzoo上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 l,.一般地一般地,例例5. 画出下列方程所表示的曲面画出下列方程所表示的曲面:zxy = 0y2222(4)1xzab o上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 表示表示xzy0母线母线 准线准线 S表示平行于表示平行于z 轴的一张柱面轴的一张柱面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一般地一般地,F(x,y)=0( , )00F x yz 母线母线准线准线xzy0表示母线平行于表示母线平行于x轴的柱面轴的柱面上页上

11、页 下页下页 返回返回 结束结束 同理同理, F(y,z)=0( , )00F y zx 方程方程 F(z,x)=0 表示母线平行于表示母线平行于y 轴的柱面轴的柱面三元二次方程三元二次方程 下面介绍下面介绍 几种常见的二次曲面几种常见的二次曲面: 椭球面、抛物面、椭球面、抛物面、通过通过截痕法截痕法研究这几类二次曲面的特性研究这几类二次曲面的特性.前面介绍过的双曲柱面、旋转抛物面等都是二次曲面前面介绍过的双曲柱面、旋转抛物面等都是二次曲面.双曲面、锥面双曲面、锥面.表示的曲面称为表示的曲面称为二次曲面二次曲面. 222AxByCzDxyEyxFzx 0GxHyIzJ (二次项系数不全为二次项

12、系数不全为 0 )上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为为正正数数2222221(, ,)xyza b cabc 标准方程标准方程:(1)范围：范围：,xaybzc 1. 椭球面椭球面(2) 截痕截痕截曲面截曲面, ,得得: :22221xyab 0z 用用椭圆椭圆abcy zo截曲面截曲面, ,得得: :11()zzzc 用用2222222222111()()abccxyczcz 椭圆椭圆1z越大越大,椭圆越小椭圆越小,1zc 时时,椭圆缩变为点椭圆缩变为点(0,0,)c 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为为正正数数2222221(, ,)xyza b cabc 截曲面截曲面,

13、,得得: :22221xzac 0y 用用椭圆椭圆abcy zo截曲面截曲面, ,得得: :11()yyyb 用用2222222222111()()acbbxzbyby 椭圆椭圆1y越大越大,椭圆越小椭圆越小,1yb 时时,椭圆缩变为点椭圆缩变为点(0,0)b 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为为正正数数2222221(, ,)xyza b cabc 截曲面截曲面, ,得得: :22221yzbc 0 x 用用椭圆椭圆abc截曲面截曲面, ,得得: :11()xxxa 用用2222222222111()()bcaayzaxax 椭圆椭圆1x越大越大,椭圆越小椭圆越小,1xa 时时,椭圆

14、缩变为点椭圆缩变为点(,0,0)a y zo上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 abcy zo(1) 当当 a, b, c 中有两个数相同时中有两个数相同时,(2)当当abc 时时,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为为正正数数2222221(, ,)xyza b cabc 标准方程标准方程:1. 椭球面椭球面注注:方程表示方程表示旋转椭球面旋转椭球面;方程表示方程表示球面球面.xzy0同同号号22(,)22xyzp qpq (1) 椭圆抛物面椭圆抛物面 标准方程标准方程:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 抛物面抛物面截痕截痕:( (不不妨妨设设0,0)pq 用用z =

15、0截曲面截曲面, 得点得点(0,0,0);截曲面截曲面, ,得得: :11(0)zzz 用用2211122xypzqz 椭圆椭圆1z越大越大,椭圆越大椭圆越大;xzy0同同号号22(,)22xyzp qpq (1) 椭圆抛物面椭圆抛物面 标准方程标准方程:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用用y = 0截曲面截曲面, 得得截曲面截曲面, ,得得: :1yy 用用抛物线抛物线22xpz 2212()2yxp zq 抛物线抛物线用用x = 0截曲面截曲面, 得得抛物线抛物线22yqz 截曲面截曲面, ,得得: :1xx 用用2212 ()2xyq zp 抛物线抛物线当当 p=q 时时,注注:

16、方程表示方程表示旋转旋转抛物抛物面面.xzy0同同号号22(,)22xyzp qpq 截痕截痕:双曲线双曲线上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)双曲抛物面双曲抛物面标准方程标准方程:( (不不妨妨设设0,0)pq 用用z = 0截曲面得截曲面得,两条相交直线两条相交直线截曲面截曲面, ,得得: :1zz 用用2211122xypzqz 22qxpy xzy0同同号号22(,)22xyzp qpq 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)双曲抛物面双曲抛物面标准方程标准方程:抛物线抛物线截曲面截曲面, ,得得: :1yy 用用2212()2yxp zq 截曲面截曲面, ,得得:

17、:1xx 用用2212 ()2xyq zp 抛物线抛物线xzy0上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （马鞍面）（马鞍面）同同号号22(,)22xyzp qpq (2)双曲抛物面双曲抛物面标准方程标准方程:(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面zxy为为正正数数2222221 ( , ,)xyza b cabc上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 双曲面双曲面 xyoz截痕截痕:椭圆椭圆双曲线双曲线双曲线双曲线标准方程标准方程:截曲面截曲面, ,得：得：1zz 用用22212221zxyabc 截曲面截曲面, ,得：得：1yy 用用22212221yxzacb 截曲面截曲面, ,得：得：1

18、xx 用用22212221xyzbca当当 a=b 时时,注注:方程表示方程表示单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面.zxy上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为为正正数数2222221( , ,)xyza b cabc (2) 双叶双曲面双叶双曲面oxyz无截痕；无截痕；截痕截痕:双曲线双曲线双曲线双曲线oxyz截曲面截曲面, ,得：得：1zz 用用22212221zxyabc时时，1|zc 两点两点.椭圆；椭圆；时时，1|zc 时时，1|zc 截曲面截曲面, ,得：得：1yy 用用22212221yzxcab截曲面截曲面, ,得：得：1xx 用用22212221xzycba 当当 a=b 时时

19、,注注:方程表示方程表示双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面.zxy上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为为正正数数2222220( , ,)xyza b cabc 4. 椭圆锥椭圆锥 面面oxyz截痕截痕:双曲线双曲线双曲线双曲线截曲面截曲面, ,得：得：1zz 用用2221222,zxyabc =0=0时时，1z得点得点(0,0,0);椭圆；椭圆；时时，10z 截曲面截曲面, ,得：得：1yy 用用2221222,yzxcab 截曲面截曲面, ,得：得：1xx 用用2221222xzycba 当当 a=b 时时,注注:方程表示圆锥方程表示圆锥面面.= = 时时，10y两条相交直线；两条相交直线；时时，1| 0y = =0 0时时，1x两条相交直线；两条相