第十二章 结构力学极限荷载

1、结构的极限荷载结构的极限荷载1. 极限荷载、强度条件和计算假定极限荷载、强度条件和计算假定结构的弹性分析：结构的弹性分析： 假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。结构的塑性分析：结构的塑性分析： 基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载-极限荷载。极限荷载。极限荷载：极限荷

2、载： 结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时，结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作荷载极限，称为极限荷载，记作P Pu u 。 弹性设计时的强度条件：弹性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：ksmaxkPPPuW计算假定：计算假定： 材料为理想弹塑性材料。材料为理想弹塑性材料。ss

3、2. 极限弯矩、塑性铰和破坏机构极限弯矩、塑性铰和破坏机构MMhbMMhb1.1.弹性阶段弹性阶段smaxE-应力应变关系应力应变关系yk-应变与曲率关系应变与曲率关系Eyk-应力与曲率关系应力与曲率关系EIkydAMA-弯矩与曲率关系弯矩与曲率关系sssmaxssbhM62-弹性极限弯矩弹性极限弯矩( (屈服弯矩屈服弯矩) )线性关系线性关系ssbhM62MMhb2.2.弹塑性阶段弹塑性阶段中性轴附近处于弹性状态中性轴附近处于弹性状态. .处于弹性的部分称为弹性核处于弹性的部分称为弹性核. .)(322kkMMss-弯矩与曲率关系弯矩与曲率关系ss非线性关系非线性关系ss0y0yssMMkk

4、23或或3.3.塑性流动阶段塑性流动阶段sssubhM42-塑性极限弯矩塑性极限弯矩( (简称为极限弯矩简称为极限弯矩) )ssbhM625 . 1suMM极限弯矩与外力无关极限弯矩与外力无关, ,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。设截面上受压和受拉的面积分别为设截面上受压和受拉的面积分别为 和和 ，当截面上无轴力作用时，当截面上无轴力作用时1A2A021AAss2/21AAA中性轴亦为等分截面轴。中性轴亦为等分截面轴。)(212211SSaAaAMsssu由此可得极限弯矩的计算方法由此可得极限弯矩的计算方法式中式中距离，的形心到等分截面轴

5、的、为、2121AAaa对该轴的静矩。、为、2121AASSMMhbssss0y0y3.3.塑性流动阶段塑性流动阶段sssubhM42-塑性极限弯矩塑性极限弯矩( (简称为极限弯矩简称为极限弯矩) )5 . 1suMMssbhM62极限弯矩与外力无关极限弯矩与外力无关, ,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。设截面上受压和受拉的面积分别为设截面上受压和受拉的面积分别为 和和 ，当截面上无轴力作用时，当截面上无轴力作用时1A2A021AAss2/21AAA中性轴亦为等分截面轴。中性轴亦为等分截面轴。)(212211SSaAaAMsssu由此可得

6、极限弯矩的计算方法由此可得极限弯矩的计算方法式中式中距离，的形心到等分截面轴的、为、2121AAaa对该轴的静矩。、为、2121AASS例：已知材料的屈服极限例：已知材料的屈服极限 ，求图示截面的极限弯矩。，求图示截面的极限弯矩。MPa240smm80mm20100100mm2020mm解解: :2m0036. 0A221m0018. 02/AAAA A1 1形心距下端形心距下端0.045m, A0.045m, A2 2形心距上端形心距上端0.01167m,0.01167m,A A1 1与与A A2 2的形心距为的形心距为0.0633m.0.0633m.)(21SSMsukN.m36.2706

7、33. 02As塑性铰塑性铰uk若截面弯矩达到极限弯矩若截面弯矩达到极限弯矩, ,这时的曲率记作这时的曲率记作 。ssMMkk235 . 1suMM023suusMMkkuk意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。称为塑性铰。塑性铰与铰的差别：塑性铰与铰的差别：1.1.塑性铰可承受极限弯矩塑性铰可承受极限弯矩; ;2.2.塑性铰是单向的塑性铰是单向的; ;3.3.卸载时消失卸载时消失; ;4.4.随荷载分布而出现于不同截面。随荷载分布而出现于不同截面。破坏机构破坏机构结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。结构由于出现塑性

8、铰而形成的机构称为破坏机构。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。3. 静定结构的极限荷载静定结构的极限荷载 静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。的荷载即为极限荷载。 塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比的绝对值最大的截面。塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比的绝对值最大的截面。 求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩，利用平衡求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。条件即可求出极限荷

9、载。例：已知屈服应力为例：已知屈服应力为 。求极限荷载。求极限荷载。m4,cm/kN5 .232lsP PAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：极限弯矩为极限弯矩为kM.m646.19uM梁中最大弯矩为梁中最大弯矩为4/maxPlM令令 ，得，得uMMmaxkN646.19646.1944/4lMPuu例：已知屈服应力为例：已知屈服应力为 。求极限荷载。求极限荷载。m4,cm/kN5 .232lsP PAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：极限弯矩为极限弯矩为kM.m646.19uM梁中最大弯矩为梁中最大弯矩为4/maxPlM令令 ，得，得uMMmaxkN646.196

10、46.1944/4lMPuu若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。P Pu/2ABuMP PuC 0CM22lPMuu也可列虚功方程也可列虚功方程2022uuMlP本例中，截面上有剪力，剪力本例中，截面上有剪力，剪力会使极限弯矩值降低，但一般会使极限弯矩值降低，但一般影响较小，可略去不计。影响较小，可略去不计。4. 单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。P PAl/2l/2BCP PABC16/3

11、Pl32/5PluAMPlM16/3A截面先出现塑性铰，这时截面先出现塑性铰，这时lMPu3/16ABPC4/ lP4/32/5PlPlMC再增加荷载再增加荷载令令uCMM4/32/5PlPlMu将将P P代入，得代入，得4/316325PllMlMuulMPu3/2lMPPPuu/6逐渐加载法（增量法）逐渐加载法（增量法）lMPu3/2lMPPPuu/6 从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A A、C C。利用极限状态的。利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。平衡可直接求出极限荷载。2ABuMP PuCuM逐渐加载法（增量法）逐渐加载法（增量法）P

12、 PAl/2l/2BCP PABC16/3Pl32/5PlABPC4/ lP 0AM)2(1uuBMlPlR 0CM242uuBuMlPlRMuuuuMlMMlP6)21(4或列虚功方程或列虚功方程022uuuMMlPuuMlP6极限平衡法极限平衡法 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。 0AM221xqxRMuBC 0CM)2(1uuBMllqlR221)2(xqxlMlquuu因为因为 是最大弯矩，是最大弯矩，CMAlBq 解解: : 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性分析，

13、一个在分析，一个在A截面，设另一个在截面，设另一个在C截面。截面。RBABuMCuMxuq0dxdMC02xqlMlquuu)2(2xllMquu0222llxxlx)21(llx4142. 0) 12(uuMlq266.11 例例: :求图示变截面梁的极限荷载求图示变截面梁的极限荷载. .已知已知ABAB段的极限弯矩为段的极限弯矩为2 2Mu,BC段为段为Mu 。这种情况不会出现。这种情况不会出现。uAMM3 解解: : 确定塑性铰的位置：确定塑性铰的位置：ylA32Al/3BCP Pl/3l/3D若若B B、D D出现塑性铰，则出现塑性铰，则B B、D D两截面的弯矩两截面的弯矩为为Mu，

14、 若若A出现塑性铰，再加荷载时，出现塑性铰，再加荷载时，B B截面弯矩截面弯矩减少减少D D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D D截面。截面。uMuM3uMABPuM2uMuPACuM2yDACylC3lyCAD2/902DuAuuMMyP029232ylMylMyPuuuuuMlP215列虚功方程列虚功方程 由前面例题可见由前面例题可见: :若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即可求出极限荷载可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构

15、的温度变化、支座移动等因素无关因素无关。5. 比例加载时判定极限荷载的定理比例加载时判定极限荷载的定理比例加载比例加载-作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。卸载的加载方式。1P2P1q2qPP11PP22Pq22Pq11求极限荷载相当于求求极限荷载相当于求P P的极限值。的极限值。结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：1.1.单向机构条件；单向机构条件； 2.2.内力局限条件；内力局限条件； 3.3.平衡条件。平衡条件。可破坏荷载可破坏荷载-同时满足单向机构条件和平衡条件

16、的荷载。同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。可接受荷载可接受荷载-同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。PP极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。1.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。比例加载时关于极限荷载的定理：比例加载时关于极限荷载的定理： PP证明：证明： 取任一可破坏荷载取任一可破坏荷载P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程niiuiMP1取任一可接受荷载取任一可接受荷载P，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上面相

17、同虚位移上列虚功方程niiiMP1uiiMM PP1.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。 PP证明：证明： 取任一可破坏荷载取任一可破坏荷载P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程niiuiMP1取任一可接受荷载取任一可接受荷载P，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上面相同虚位移上列虚功方程niiiMP1uiiMM PP2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：证明：设同一结构有两个极限荷载设同一结构有两个极限荷载 和和 。1uP2uP若把若把 看成可破坏荷载，看成可破

18、坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 故有故有21uuPP 3.3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。证明：证明： 由于极限荷载由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理是可接受荷载，由基本定理uP2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：证明：设同一结构有两个极限荷载设同一结构有两个极限荷载 和和 。1uP2uP若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看

19、成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 故有故有21uuPP PPu4.4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。证明：证明： 由于极限荷载由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理是可破坏荷载，由基本定理uP PPu列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。定理的应用

20、：定理的应用：穷举法：穷举法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。继续运算。试算法：试算法：极小定理的应用极小定理的应用唯一性定理的应用唯一性定理的应用例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。P PAl/3l/3BCP Pl/3D解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解共有三种可能的破坏机

21、构共有三种可能的破坏机构P PAl/3l/3BCP Pl/3D例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解共有三种可能的破坏机构：共有三种可能的破坏机构：（1 1）A A、B B出现塑性铰出现塑性铰323/2l3/l032332uuMMlPlPuMlP5（2 2）A A、C C出现塑性铰出现塑性铰03332uuMMlPlPuMlP4323/2l3/l23/l（3 3）B B、C C出现塑性铰出现塑性铰023uuMMlPuMlP9uuMlP4例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极

22、限弯矩为Mu 。P PABCP PD解：解：（1 1）选）选A A、B B出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构323/2l3/l032332uuMMlPlPuMlP52.2.用试算法求解用试算法求解lMu/5uMuMlMu/53/4uM 由作出的弯矩图可见，由作出的弯矩图可见，C C截面不满足内力截面不满足内力局限性条件。局限性条件。（2 2）选）选A A、C C出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。03332uuMMlPlP323/2l3/luMuMlMu/4lMu/43/uMuMlP4uu

23、MlP4 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。AlBq 解解: : 用上限定理（极小定理）计算。用上限定理（极小定理）计算。lMxlxxlqu2)(202422llxx0dxdqABuMCuMxq021CuAuMMlqABCxxlAB;)11(xxlBAC0)11(2xxlMxMlquu0)11(12xxlMxMlquulxlx)22()22(212min66.11lMqquu6. 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的破坏机构连续梁的破坏机构一跨单独破坏一跨单独破坏相邻跨联合破坏相邻跨联合破坏不会出现不会出现在各跨等截面、荷在各跨