高等数学复习资料大全

1、-"高等数学复习"教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的根本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续左、右连续与连续理解并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型与解法A.极限的求法1用定义求2代入法对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子3变量替换法4两个重要极限法5用夹逼定理和单调有界定理求6等价无穷小量替换法7洛必达法则与Taylor级数法8其他微积分性质，数列与级数的性质1.等价小量与洛必达2.解

2、：洛必达3.重要极限4.a、b为正常数，解：令变量替换5.解：令变量替换6.设连续，求洛必达与微积分性质7.在*=0连续，求a解：令连续性的概念三、补充习题作业1.洛必达2.洛必达或Taylor3.洛必达与微积分性质第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导根本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率半径二、题型与解法A.导数微分的计算根本公式、

3、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求2.决定，求解：两边微分得*=0时，将*=0代入等式得y=13.决定，则B.曲线切法线问题4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。解：5.f(*)为周期为5的连续函数，它在*=1可导，在*=0的*邻域满足f(1+sin*)-3f(1-sin*)=8*+o(*)。求f(*)在6，f(6)处的切线方程。解：需求，等式取*->0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题6.，求点的性质。解：令，故为极小值点。7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，D.幂级数展开问题9.或：10.求解：=E.不等

4、式的证明11.设，证：1令 2令F.中值定理问题12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在-1，1上存在一点证：其中将*=1，*=-1代入有两式相减：13.，求证：证：令令关键：构造函数三、补充习题作业1.2.曲线3.4.证明*>0时证：令第三讲不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质线性、与微分的关系会求不定积分根本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题长、面、体会用定积分求物理问题功、引力、压力及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.2.3.设，求解

5、：4.B.积分性质5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解：6.C.积分的应用7.设在0，1连续，在0，1上，且，又与*=1,y=0所围面积S=2。求，且a="时S绕*轴旋转体积最小。解：8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与*轴所围图形绕*轴旋转的外表积。解：切线绕*轴旋转的外表积为曲线绕*轴旋转的外表积为总外表积为三、补充习题作业1.2.3.第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数理解向量的概念单位向量、方向余弦、模了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微

6、分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.有二阶连续偏导，满足，求解：2.3.，求B.空间几何问题4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。三、补充习题作业1.2.3.第五讲多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法直角、极、柱、球会用重积分解决简单几何物理问题体积、

7、曲面面积、重心、转动惯量2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念质量、通量、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分二、题型与解法A.重积分计算1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：2.为与围域。3.，求 (49/20)B.曲线、曲面积分4.解：令5.,。解：取包含(0,0)的正向，6.对空间*>0任意光滑有向闭曲面S，且在*>0有连续一阶导数，,求。解：第六讲常微分方程一、理论要求1.一阶方程熟练掌握可别离变量、齐次、一阶线性、伯努利方

8、程求法2.高阶方程会求3.二阶线性常系数(齐次)(非齐次)(非齐次)二、题型与解法A.微分方程求解1.求通解。2.利用代换化简并求通解。3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=*+1，求及其极值。解：三、补充习题作业1.函数在任意点处的增量。(2.求的通解。3.求的通解。4.求的特解。第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比拟、比值、根式判别法交织级数判别法2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的根本性质和函数连续、逐项微积分Taylor与Maclaulin展开3.Fourier级数了解

9、Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求的Fourier级数与正余弦级数第八讲线性代数一、理论要求1.行列式会用按行列展开计算行列式2.矩阵几种矩阵单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性

10、无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的根底解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间根本领件空间的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变

11、量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本

12、方差及样本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验掌握假设检验的根本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲总结1.极限求解变量替换作对数替换，洛必达法则，其他重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换1. (几何级数)2. (对数替换)3.4.5.6.，求2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求dy/d*3.决定函数，求dy4.，验证5.,求3.一元函数积分1.求函数在区间上的最小值。02.3.4.5.6.4.多元函数微分1.，求2.由给出，求证：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.证明满足7.求的最值。5.多元函数积分1.求证：