自动控制原理_王建辉3

1、东北大学自动控制原理课程组1东北大学自动控制原理课程组2主要内容主要内容n 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标n 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应n 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 n 高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应 n 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据n 稳态误差稳态误差 n 小结小结东北大学自动控制原理课程组3 学习重点学习重点v了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义 v掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法 v建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系建

2、立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系 v了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析分析高阶系统的暂态高阶系统的暂态响应响应过程过程 v理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据判断系统的稳定性判据判断系统的稳定性 v理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法东北大学自动控制原理课程组4 系统的系统的分析方法分析方法 时域分析、频域分析时域分析、频域分

3、析 时域分析的目的时域分析的目的 设法从微分方程判断出系统运动的设法从微分方程判断出系统运动的主要特征主要特征而不必准确地把微分方程解出来而不必准确地把微分方程解出来从工程角度从工程角度分析系统分析系统运动规律运动规律。东北大学自动控制原理课程组51.1.对控制性能的要求对控制性能的要求(1)(1)系统应是稳定的；系统应是稳定的；(2)(2)系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求；的要求；(3)(3)系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。东北大学自动控制原理课程组62.2.自动控制系统的典型输入信号自动控制系统的典型

4、输入信号（1 1）阶跃函数）阶跃函数000)(tAttxr，A A=1=1时称为单位阶跃函数时称为单位阶跃函数 )()()( 1)(tutxttxrr，或stLsXr1)( 1 )(东北大学自动控制原理课程组7（2 2）斜坡函数）斜坡函数A A=1=1时称为单位斜坡函数时称为单位斜坡函数000)(tAtttxr，21( )rXss东北大学自动控制原理课程组8（3 3）抛物线函数）抛物线函数当当A A=1/2=1/2时，称为单位抛物时，称为单位抛物线函数线函数 000)(2tAtttxr，31)(ssXr东北大学自动控制原理课程组9（4 4）脉冲函数）脉冲函数 0(0)( )0 0(0)rAtx

5、 ttt ，01( )lim1rXsL当当A A=1=1时，称为单位脉冲函数时，称为单位脉冲函数 （t t）1)( dtt东北大学自动控制原理课程组10（5 5）正弦函数）正弦函数频域分析用频域分析用 用正弦函数作输入信号，可以求得系统用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。此可以间接判断系统的性能。东北大学自动控制原理课程组11 本章主要以本章主要以单位阶跃函数单位阶跃函数作为系统的作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。输入量来分析系统的暂态响应。 在工程上，许多高阶系统常常具有近在工程上，许多高

6、阶系统常常具有近似似一、二阶一、二阶系统的时间响应。因此，深入系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。的实际意义。 东北大学自动控制原理课程组121.1.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 ( )11( )1( )111cBrKXsKsWsKXssKTsssK东北大学自动控制原理课程组132.2.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 ssXr1)(sTssXsWsXrBc111)()()(TssLsTsLtxc111111)(111( )1, (0)tTcx tet 东北大学自动控制原理课程组14ts=3T(s)，

7、 （对应5%误差带） ts=4T(s)， （对应2%误差带）系统的时间常数系统的时间常数T T 越小，调节时间越小，调节时间t ts s越小，越小，响应过程的快速性也越好。响应过程的快速性也越好。东北大学自动控制原理课程组15例例3-1 3-1 一阶系统的结构如下图所示。试求该一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间系统单位阶跃响应的调节时间t ts s ；如果要求如果要求t ts s(5%)(5%) 0.1(0.1(秒秒) )，试问系统的反馈系数应取何，试问系统的反馈系数应取何值？值？ 东北大学自动控制原理课程组16解：解：（1 1）由系统结构图可写出闭环传递函数）由系统结

8、构图可写出闭环传递函数 100( )10( )100( )0.1110.1cBrX ssW sX sss得得 T T=0.1=0.1（s s）因此得调节时间因此得调节时间 t ts s=3=3T T=0.3(s)=0.3(s)，（，（取取5%5%误误差带）差带） 东北大学自动控制原理课程组17（2 2）求满足）求满足t ts s (5%)(5%) 0.10.1（s s）的反馈系数值。的反馈系数值。假设反馈系数假设反馈系数K Kt t( (K Kt t0)0)，那么同样可由结构图写出闭那么同样可由结构图写出闭环传递函数环传递函数 由闭环传递函数可得由闭环传递函数可得 T T = 0.01/= 0

9、.01/K Kt t根据题意要求根据题意要求 t ts s (5%)(5%) 0.10.1（s s）则则 t ts s = 3= 3T T = 0.03/= 0.03/K Kt t 0.1(s)0.1(s)所以所以 K Kt t 0.3 0.3 1001/( )1000.0111tBttKsWsKssK东北大学自动控制原理课程组181.1.典型二阶系统的动态特性典型二阶系统的动态特性 假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为输出量的拉氏变换为 )2()(222nnncssssX东北大学自动控制原理课程组19系统的特征方程为系统的

10、特征方程为 0222nnss 过阻尼（过阻尼（ 11） 系统的特征根为系统的特征根为 np)1(21np)1(22东北大学自动控制原理课程组20输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 22110212222)()2()(psApsAsApspssssssXnnnnc1)(00scssXA)1(121)(22111pscpssXA)1(121)(22222pscpssXA东北大学自动控制原理课程组21输出量的时间函数：输出量的时间函数： 221101212(1)(1)222( )( )11 02111nnccttAAAx tLXsLsspspeet ，结论：当后一项的衰减指数比前一项大很多时结论：

11、当后一项的衰减指数比前一项大很多时，二阶二阶系统的暂态响应可类似于一阶系统的响应。系统的暂态响应可类似于一阶系统的响应。 东北大学自动控制原理课程组22（2 2）欠阻尼（）欠阻尼（ ） 系统的特征根为系统的特征根为 01 njp)1(21njp)1(22东北大学自动控制原理课程组23输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 2222222221( )21()(1)()(1)ncnnnnnnnnsXssssssss东北大学自动控制原理课程组24式中：式中： 阻尼振荡角频率，或振荡角频率阻尼振荡角频率，或振荡角频率 阻尼角阻尼角 输出量的时间函数：输出量的时间函数： 12222( )( )1cos 1

12、sin 1111sin, 01nncctnntdx tLXsettett nd2121arctan东北大学自动控制原理课程组25结论：在的情况下，结论：在的情况下，二阶系统的暂态响应二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与间函数；振荡程度与 有关：有关： 越小，振越小，振荡越剧烈。荡越剧烈。 东北大学自动控制原理课程组26（3 3）临界阻尼（）临界阻尼（ =1=1）系统的特征根为系统的特征根为输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： np2, 120020122( )()()ncnnnAAAXss ssss1)()(1)(2220

13、220100nnnsnsncnsncscsssXdsdAssXAssXA东北大学自动控制原理课程组27输出量的时间函数：输出量的时间函数：( )1(1), 0ntcnx tett 东北大学自动控制原理课程组28（4 4）无阻尼（）无阻尼（ =0=0） 系统的特征根为系统的特征根为 输出量的拉氏变换为输出量的拉氏变换为 二阶系统的暂态响应为二阶系统的暂态响应为 12, nnpjpj 222( )()ncnXss s( )1 cos, 0cnX ttt 东北大学自动控制原理课程组29 综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比统的暂态响

14、应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。当是二阶系统的重要参量。当 = 0= 0时，系统不时，系统不能正常工作，而在能正常工作，而在 = 1= 1时，系统暂态响应进时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻欠阻尼尼情况（情况（ ）是最有实际意义的。）是最有实际意义的。 01东北大学自动控制原理课程组302.2.二阶系统动态性能指标二阶系统动态性能指标 当当 时，典型二阶系统的输出响应为时，典型二阶系统的输出响应为 1rxtt21( )1sin,(01)1ntcdx tet 东北大学自动控制原理课程组31mt快速性指标：上升时间快速性指标

15、：上升时间t tr r ，调节时间调节时间t ts s平稳性指标：最大超调量平稳性指标：最大超调量 %，振荡次数，振荡次数 东北大学自动控制原理课程组32（1 1）上升时间）上升时间t tr r 系统的输出第一次达到稳态值的时间。系统的输出第一次达到稳态值的时间。0sin12rdttern令令t =tr 时，时，xc(t)=1，得得21ndrt当当 n n一定时，阻尼比越大，则上升时间一定时，阻尼比越大，则上升时间t tr r 越长；越长；当阻尼比一定时，当阻尼比一定时， n n 越大，则越大，则t tr r 越短。越短。 结论：结论：东北大学自动控制原理课程组33（2 2）最大超调量）最大超

16、调量 % 输出最大值相对于输出稳态值的误差。输出最大值相对于输出稳态值的误差。 max( )%100%ccxxx最大超调量发生在第一个周期中最大超调量发生在第一个周期中t t = = t tm m 时刻。时刻。令令 得得 0mttcdttdx21cossinmdmdtt21tanmdt东北大学自动控制原理课程组34因此因此即即因为在因为在 时出现最大超调量，所以有时出现最大超调量，所以有 峰值时间为峰值时间为 1n nntmd21arctanntmdndmt21d mt东北大学自动控制原理课程组35将将 代入，得输出最大值为代入，得输出最大值为因为因为所以所以nmt2121max21sin1e

17、x 21sinsin21max1xe 东北大学自动控制原理课程组36由超调量定义由超调量定义在单位阶跃输入下，稳态值在单位阶跃输入下，稳态值 ，因此得最大超调量为因此得最大超调量为 max( )%100%ccxxx( )1cx 21%100%e结论：二阶系统的最大超调量与值有密切的关系，结论：二阶系统的最大超调量与值有密切的关系， 阻尼比越小，超调量越大。阻尼比越小，超调量越大。 东北大学自动控制原理课程组37（3 3）调节时间）调节时间t ts s 系统的输出与稳态值之间的偏差达到允许范围系统的输出与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取稳态值的（一般取稳态值的2%2%5%5%）而不再超出的暂

18、态）而不再超出的暂态过程时间。过程时间。 暂态过程中的偏差为暂态过程中的偏差为 tetxxxntccn221sin1东北大学自动控制原理课程组38当当 或或0.020.02时，有时，有 )02. 0( 05. 01sin122或snttesn05. 0 x忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.050.05或或0.020.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到时，过渡过程即进行完毕。这样得到 )02. 0( 05. 012或snte东北大学自动控制原理课程组39由此求得调节时间为由此求得调节时间为 35%, 00.9snt42%, 00.9snt结论：调节时间

19、结论：调节时间t ts s 近似与近似与 成反比关系。成反比关系。 n东北大学自动控制原理课程组40（4 4）振荡次数）振荡次数 在调节时间在调节时间t ts s内，输出量波动的次数。内，输出量波动的次数。fstt式中：式中： 为阻尼振荡的周期时间。为阻尼振荡的周期时间。 2122ndft东北大学自动控制原理课程组413.3.二阶系统特征参数与暂态性能指标之间二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系的关系 1%, 2, 3, 42% , 55% ,mrsstttt东北大学自动控制原理课程组42结论：结论：（1 1）阻尼比）阻尼比 是二阶系统的一个重要参量，由是二阶系统的一个重要参量，由值值 的

20、大小可以间接判断一个二阶系统的暂态的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼（品质。在过阻尼（ ）情况下，暂态特性为）情况下，暂态特性为单调单调变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当较长，系统反应迟缓。当 ，输出量作，输出量作等幅等幅振荡振荡或或发散振荡发散振荡，系统不能稳定工作。，系统不能稳定工作。10东北大学自动控制原理课程组43（2 2）一般情况下，系统在欠阻尼（）一般情况下，系统在欠阻尼（ ）情）情况下工作。但是况下工作。但是 过小，则超调量大，振荡次过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，暂态特性品质差。应注意数多，调

21、节时间长，暂态特性品质差。应注意到，到，最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关。最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关。因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比比 。10东北大学自动控制原理课程组44（3 3）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率这两个特征参数的乘积成这两个特征参数的乘积成反比反比。在阻尼比。在阻尼比 一定一定时，可以通过改变自然振荡角频率时，可以通过改变自然振荡角频率 来改变暂态来改变暂态响应的持续时间。响应的持续时间。 越大，系统的调节时间越短。越大，系统的调节时间越短。（4 4）为了限制超调量，并使

22、调节时间较短，阻）为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在尼比一般应在0.40.40.80.8之间，这时阶跃响应的超之间，这时阶跃响应的超调量将在调量将在1.5%1.5%25%25%之间。之间。nn东北大学自动控制原理课程组454.4.二阶工程最佳参数二阶工程最佳参数 707. 021 121TsTssWK 122122TssTsWB21%100%4.3%eTtnr7 . 4122%8.4385%4.146sstTTtTT用近似公式求得为用近似公式求得为1122nnT令令东北大学自动控制原理课程组46例例3-2 3-2 有一位置随动系统，其结构图如下图所示，有一位置随动系统，其结构图如

23、下图所示，其中其中K Kk k = 4= 4。求该系统的：求该系统的：1 1）自然振荡角频率；）自然振荡角频率；2 2）系统的阻尼比；）系统的阻尼比；3 3）超调量和调节时间；）超调量和调节时间；4 4）如）如果要求果要求 ，应怎样改变系统参数，应怎样改变系统参数 K Kk k 值。值。0.707东北大学自动控制原理课程组47解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为写成标准形式写成标准形式 由此得由此得（1 1）自然振荡角频率）自然振荡角频率 2, 4KBKKKWsKssK2222)(nnnBsssW2nKK东北大学自动控制原理课程组48（2 2）阻尼比）阻尼比 （3 3）超调量）超调量

24、 调节时间调节时间 （4 4）当）当 时，时， 25. 021n21%100%47%es 63%)5(nst20.5KnK0.70721n东北大学自动控制原理课程组49例例3-3 3-3 为了改善例为了改善例3-23-2系统的暂态响应性能，满系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量足单位阶跃输入下系统超调量 的要求，今的要求，今加入微分负反馈加入微分负反馈 ，如下图所示。求微分时间常，如下图所示。求微分时间常数数 。 %5%s东北大学自动控制原理课程组50解解 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 ) 1411(1414)41(4)(sssss

25、WK4)41 (4)(2sssWB东北大学自动控制原理课程组51为了使为了使 ，令，令 。由由得得并由此求得开环放大系数为并由此求得开环放大系数为 %5%707. 04 ,4122nn457. 0412707. 02412n41.41414KK东北大学自动控制原理课程组52由例由例3-33-3可知：可知： 当系统加入局部微分负反馈时，相当于增当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比，加了系统的阻尼比，提高了提高了系统的系统的平稳性平稳性，但，但同时也同时也降低了降低了系统的开环放大系数。系统的开环放大系数。东北大学自动控制原理课程组535.5.零、极点对二阶系统暂态性能的影响零、极

26、点对二阶系统暂态性能的影响(1)(1)具有零点的二阶系统的暂态特性分析具有零点的二阶系统的暂态特性分析 系统的传递函数为系统的传递函数为)2(1)1(2) 1()()(222222nnnnnnrcsssssssXsX式中：式中： 时间常数。时间常数。 东北大学自动控制原理课程组54令令 ，则，则 将系统的结构图等效成下图所示的结构。将系统的结构图等效成下图所示的结构。 z1)2()()()(222nnnrcsszzssXsX东北大学自动控制原理课程组55由之得由之得 在初始条件为零时，取拉氏反变换为在初始条件为零时，取拉氏反变换为 10 ,2)()(2221nnrncsssXsX)()()(1

27、1sXzssXsXcccssXr1)()2()(22211nnncsssLtxdttdxztxsXzsLsXLtxccccc)(1)()()()(111111东北大学自动控制原理课程组56则则 )1sin(11)(221tetxntcn)1cos(1)1sin(11 )1cos(1)1sin()(111)(22222222tltlzzlettzzetxnnnntnnnntcnn式中，式中，l为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递函数的为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递函数的零点和极点在复平面上所在的位置确定。零点和极点在复平面上所在的位置确定。 东北大学自动控制原理课程组57零极点在零极点

28、在s s平面上的分布如下图所示。平面上的分布如下图所示。 22212()(1)cos1sinnnnnlzpzzll由左图知由左图知东北大学自动控制原理课程组58所以所以 22222( ) 1sin( 1)coscos( 1)sin 1 1sin( 1)1nntcnntnelx tttzeltz 2222222221arctan1arctan()(1)2nnnnnnzzzzlzzz式中：式中：东北大学自动控制原理课程组59令令 为闭环传递函数的复数极点的实部与零为闭环传递函数的复数极点的实部与零点的实部之比，则得点的实部之比，则得 所以所以zrn22221rrzl0 ),1sin(121)(22

29、222tterrtxntcn结论：由于闭环传递函数零点的存在，振荡性增强。结论：由于闭环传递函数零点的存在，振荡性增强。东北大学自动控制原理课程组60(2) (2) 二阶系统加极点的暂态响应二阶系统加极点的暂态响应 系统传递函数系统传递函数当当 时，特征方程式的三个根为时，特征方程式的三个根为 )(2()(32232RsssRsWnnnB1212233(1)(1)nnpjpjpR 东北大学自动控制原理课程组61因此得因此得 上式中各项的待定系数为上式中各项的待定系数为 33222102)(RsAssAsAsAsXnnc00212222( ) 1(2)(2) 12(2) 1(2) 1csnAXs

30、 sAA 式中式中 是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比nR3东北大学自动控制原理课程组62三阶系统的极点分布如下图所示。三阶系统的极点分布如下图所示。 东北大学自动控制原理课程组63输出量的暂态响应为输出量的暂态响应为 32222112( )1(2)1 cos 1sin1, 01nR tctnnnnex tAAeAttt 或或 式中：式中： 222(2) 11, tan(2)1dn 22222222221(2)( )1cos(2)11(2)1(2)1(2)1 sin1(2)1(2)1 sin(), 01(2)1nnnnttcdtdtdeex ttete

31、tt 东北大学自动控制原理课程组64 ，以，以 为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如下图所示下图所示结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时 间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统 的惯性增强了。的惯性增强了。 5 . 0东北大学自动控制原理课程组65高阶系统的闭环传递函数形式：高阶系统的闭环传递函数形式：将分子和分母分解成因式：将分子和分母分解成因式： nnnnmmmmBrcasasasabsbsbsbsWsXsX11101110)()()()

32、()()()()()()(2121nmBrcpspspszszszsKsWsXsX东北大学自动控制原理课程组66如果系统是稳定的，且全部的极点和零点都互不相如果系统是稳定的，且全部的极点和零点都互不相同，而极点中包含有共轭复数极点，则当输入为单同，而极点中包含有共轭复数极点，则当输入为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为式中：式中： ；q q为实数极点的个数，为实数极点的个数，r r 为共轭极为共轭极点的对数。点的对数。 qjrknknkjmiicsspsszsKsX11221)2()()()(rqn2东北大学自动控制原理课程组67用部分分式展开得用部分分式展开得

33、 单位阶跃响应为单位阶跃响应为 qjrknknkkkkjjcssCsBpsAsAsX112202)(rknkktnkkknkkkqjrknkktktpjcteBCteBeAAtxnkknkkj12211201sin11cos)(东北大学自动控制原理课程组68结论结论（1 1）高阶系统暂态响应各分量衰减得快慢，系统）高阶系统暂态响应各分量衰减得快慢，系统闭环极点的实部越小，即在闭环极点的实部越小，即在S S平面左侧离虚轴越近，平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。（2 2）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点）高阶系统暂态响应各分量的系

34、数不仅和极点在在S S平面中的位置有关，还与零点的位置有关。平面中的位置有关，还与零点的位置有关。东北大学自动控制原理课程组69 如果某极点如果某极点- -p pj j靠近一个闭环零点，远离原点及靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则相应项的系数其它极点，则相应项的系数A Aj j比较小，该暂态分量比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近（称为的影响也就越小。如果极点和零点靠得很近（称为偶极子），则该极点对暂态响应几乎没有影响。偶极子），则该极点对暂态响应几乎没有影响。 如果某极点如果某极点- -p pj j远离闭环零点，但与原点相距较远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应的

35、系数近，则相应的系数A Aj j将比较大。因此离原点很近并将比较大。因此离原点很近并且附近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅且附近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大。值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大。东北大学自动控制原理课程组70（3 3）主导极点：如果高阶系统中距离虚轴最近的）主导极点：如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小于其它极点的实部的极点，其实部小于其它极点的实部的1/51/5，并且附，并且附近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。如果找到一对共轭复数主导极点，

36、那一极点决定。如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，么，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂并可以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂态特性。态特性。 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。系统的指标来设计系统。东北大学自动控制原理课程组71 一个线性系统正常工作的首要条

37、件，就是一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是它必须是稳定稳定的。的。 用代数的方法判断线性系统的稳定性，分用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介绍的内容。绍的内容。 东北大学自动控制原理课程组721. 线性系统稳定性的概念和稳定的充分必线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件要条件 系统特征方程的根（即系统闭环传递函系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根也就是所有的闭环特征根 分布在分布在S S平面虚轴的

38、平面虚轴的左侧左侧，即即 。eR 0jpjp东北大学自动控制原理课程组732. 劳斯判据劳斯判据 系统的特征方程式的标准形式：系统的特征方程式的标准形式：劳斯表劳斯表( (Routh Array)Routh Array)1011000nnnna sa sasaa，10112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn东北大学自动控制原理课程组743120111aaaaab5140121aaaaab7160131aaaaab2131111bbaabc3151121bbaabc4171131bbaabc1011000nnnna sa sa

39、saa，东北大学自动控制原理课程组75劳斯判据：劳斯判据： 系统特征方程的全部根都在系统特征方程的全部根都在S S左半平面的充左半平面的充分必要条件是劳斯表的第分必要条件是劳斯表的第1 1列系数全部是正数。列系数全部是正数。 方程在右半平面根的个数等于劳斯表中第方程在右半平面根的个数等于劳斯表中第1 1列列各元改变符号的次数。各元改变符号的次数。东北大学自动控制原理课程组76例例3-4 系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。统的稳定性。07146435223456ssssss71151589718115117187525714457632012

40、3456sssssss解：列劳斯表解：列劳斯表该系统不稳定，有该系统不稳定，有2 2个个根在根在S S右半平面右半平面 东北大学自动控制原理课程组77建立劳斯表过程中的几种情况建立劳斯表过程中的几种情况（1 1）劳斯表中第）劳斯表中第1 1列出现零列出现零 可用一个小的正数可用一个小的正数 代替它，而继续计算其余各元。代替它，而继续计算其余各元。0122234ssss例例3-5 3-5 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。432101112201221sssss解：列劳斯表解：列劳斯表系统不稳定，有两个系统不稳定，有两个根具有正

41、实部。根具有正实部。东北大学自动控制原理课程组78如果上面一行的首列和下面一行的首列符号相同，如果上面一行的首列和下面一行的首列符号相同，这表明有一对纯虚根存在。这表明有一对纯虚根存在。例例3-6 3-6 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系数符号列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。不变，故有一对虚根。将特征方程式分解，有将特征方程式分解，有02223sss222110123ssss2(1)20ss2,132, 1pjp解得根为解得根为东北大学自动控制原理课

42、程组79（2 2）劳斯表的某一行中，所有元都等于零）劳斯表的某一行中，所有元都等于零 这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下，可利用全 0 行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为辅助方程），式中均为偶次。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程得出。 东北大学自动控制原理课程组80解：列劳斯表解：列劳斯表例例3-7 3-7 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。0161620128223456ssssss0008610161221

43、620813456ssss由上表可以看出，由上表可以看出，s s3 3行的各项全部为零。为了求出行的各项全部为零。为了求出s s3 3s s0 0各项，各项，用用s s4 4行的各元构成辅助方程式行的各元构成辅助方程式 86)(24sssp东北大学自动控制原理课程组81它的导函数为它的导函数为用导函数的系数用导函数的系数4 4和和1212代替行相应的元继续算下去，得代替行相应的元继续算下去，得劳斯表为劳斯表为 ssdssdp1243834831248610161221620810123456sssssss结论：在新得到的劳斯表中第结论：在新得到的劳斯表中第1 1列没列没有变号，因此可以确定在有

44、变号，因此可以确定在S S右半平面右半平面没有特征根。另外，由于行的各元均没有特征根。另外，由于行的各元均为零，这表示有共轭虚根。系统处于为零，这表示有共轭虚根。系统处于临界稳定状态临界稳定状态。 东北大学自动控制原理课程组82这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方程式是程式是由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为根为 86)(24sssp21,2,26 , 54 , 32 , 1jpjpjp东北大学自动控制原理课程组833. 胡尔维茨判据胡尔维茨判据 系统的特征方程式的标准形式：系统的特征方程式的标准形式

45、：构造胡尔维茨行列式构造胡尔维茨行列式D D 1011000nnnna sa sasaa，nnnaaaaaaaaaaaaaD212031420531000000000000东北大学自动控制原理课程组84胡尔维茨稳定判据：胡尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式的充分必要条件是上述行列式D D的各阶主子式均大于的各阶主子式均大于0 0，即，即 . 0 , 0, 0 , 0 , 03142053132031211DDaaaaaaaaDaaaaDaDn 与劳斯表中第与劳斯表中第1 1列的系数比较，存在如下关系：列的系数比较，存在如下

46、关系： 若若 均为正，则均为正，则D D1 1，D D2 2，D Dn n自然也都为正，反自然也都为正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一致的。致的。当当n n 较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常只用于只用于 的系统。的系统。 12113211/,/,/nnbDD cDDgDD111,b cg6n 东北大学自动控制原理课程组854. 谢绪恺判据谢绪恺判据 系统的特征方程式：系统的特征方程式：上式根全部具有负实部的必要条件为上式根全部具有负实部的必要条件为其根全部具有负实

47、部的充分条件为其根全部具有负实部的充分条件为 19761976年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条件放宽为年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条件放宽为 此判据被称为谢绪恺判据。此判据被称为谢绪恺判据。谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。 101103nnnna sa sasan，112(1, 2,2)iiiia aa ann1121(1, 2,2)3iiiia aa ann1120.465(1, 2,2)iiiia aaann东北大学自动控制原理课程组865. 参数对稳定性的影响参数对稳定性的影响 例例3-8 3-8 系统的闭环传递函数为

48、系统的闭环传递函数为 式中，式中，K Kk k为系统的开环放大系数。为系统的开环放大系数。 123111KBKKWsTsT sT sK解：解：系统特征方程为系统特征方程为 321 2 31 21 32 312310KTTT sTTTTTT sTTT sK 东北大学自动控制原理课程组87列劳斯表，整理得列劳斯表，整理得假设假设T T1 1=T=T2 2 =T =T3 3 ，则使系统稳定的临界放大系数为则使系统稳定的临界放大系数为Kk=8=8。如果取如果取T T2 2=T=T3 3，T T1 1= 10T= 10T2 2 ，则使系统稳定的临界放大系则使系统稳定的临界放大系数变为数变为Kk =24.

49、2。由此可见，将各时间常数的数值错开，可以允许较由此可见，将各时间常数的数值错开，可以允许较大的开环放大系数。大的开环放大系数。 33122123112302KTTTTTTKTTTTTT东北大学自动控制原理课程组886. 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量 应用代数判据只能给出系统是应用代数判据只能给出系统是稳定还是不稳稳定还是不稳定，定，即只解决了即只解决了绝对稳定性绝对稳定性的问题。在处理实际的问题。在处理实际问题时，只判断系统是否稳定是不够的。因为，问题时，只判断系统是否稳定是不够的。因为，对于实际的系统，所得到参数值往往是近似的，对于实际的系统，所得到参数值往往是近似的，并且有的

50、参数随着条件的变化而变化，这样就给并且有的参数随着条件的变化而变化，这样就给得到的结论带来了误差。为了考虑这些因素，往得到的结论带来了误差。为了考虑这些因素，往往希望知道系统往希望知道系统距离稳定边界有多少余量距离稳定边界有多少余量，这就，这就是是相对稳定性相对稳定性或或稳定裕量稳定裕量的问题。的问题。 东北大学自动控制原理课程组89方法：方法： 利用代数稳定判据，以利用代数稳定判据，以 代入系统代入系统特征方程式，写出特征方程式，写出z z的多项式，然后用代数判据判的多项式，然后用代数判据判定定z z的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。 1 zs东北大学自

51、动控制原理课程组90例例3-9 3-9 系统特征方程式为系统特征方程式为 劳斯表为劳斯表为可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以没可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以没有根在有根在S S平面的右侧，系统是稳定的。平面的右侧，系统是稳定的。068523sss653465810123ssss东北大学自动控制原理课程组91由于由于 上面的系数符号与上面的系数符号与 下面下面的系数符号相同，表明在右半平面没有的系数符号相同，表明在右半平面没有根，但由于根，但由于z z1 1行的系数为零，故有一对虚行的系数为零，故有一对虚根。这说明，原系统刚好有根。这说明，原系统刚好有 的稳定的稳定裕量。裕量。

52、检查上述系统是否有检查上述系统是否有 裕量。裕量。将将 代入原特征方程式，得代入原特征方程式，得0111 zs06) 1(8) 1(5) 1(23zzz新的特征方程为新的特征方程为列出劳斯表列出劳斯表 02223zzz321011220()2zzzz110东北大学自动控制原理课程组92稳态误差稳态误差 在稳态条件下输出量的期望值与稳态值之间在稳态条件下输出量的期望值与稳态值之间的差值。的差值。n扰动稳态误差扰动稳态误差 由外扰而引起的，常用这一误差来衡量恒值由外扰而引起的，常用这一误差来衡量恒值系统的稳态品质。因为对于恒值系统，给定系统的稳态品质。因为对于恒值系统，给定量是不变的。量是不变的。

53、n给定稳态误差给定稳态误差 衡量随动系统稳态品质的指标。因为对于随衡量随动系统稳态品质的指标。因为对于随动系统，给定量是变化的，要求输出量以一动系统，给定量是变化的，要求输出量以一定的精度跟随给定量的变化。定的精度跟随给定量的变化。 东北大学自动控制原理课程组931. 扰动稳态误差扰动稳态误差 扰动误差的拉氏变换：扰动误差的拉氏变换： )()()(1)()()(212sWsWsWsNsWsXfc扰动误差的传递函数：扰动误差的传递函数： )()()(1)()()()(212sWsWsWsWsNsXsWfce东北大学自动控制原理课程组9402012lim( )lim( )( )( )lim1( )

54、( )( )ssctcssfex ts XssW sN sW s W s Ws根据拉氏变换的终值定理，扰动作用下的稳态误根据拉氏变换的终值定理，扰动作用下的稳态误差为差为东北大学自动控制原理课程组95当给定量当给定量 时，以扰动量为输入量的系统结构图时，以扰动量为输入量的系统结构图如下图所示如下图所示 ：例例3-10 速度负反馈系统速度负反馈系统 0)(sUr东北大学自动控制原理课程组96在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为 (1)( )( )(1)(1)aszemsKRT sIsCn sT sTK式中：式中： 系统开环放大系数。系统开环放大系数。 1Kcs

55、feKK K KC当负载为阶跃函数时，当负载为阶跃函数时， 。则转速的稳态误差为。则转速的稳态误差为 zzIssI1)(0(1)lim( )lim(1)(1)(1)aszezatsmsKeKRT sICI Rn tT sTKCK由于这一系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为由于这一系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为有差系统有差系统。 东北大学自动控制原理课程组97 将上述调速系统中的比例调节器换成积分调节器，将上述调速系统中的比例调节器换成积分调节器，构成下图所示系统。构成下图所示系统。 则速度误差的拉氏变换为则速度误差的拉氏变换为 当负载电流作阶跃变化时，有当负载电流作阶跃变化时，有)

56、1)(1()() 1()(KTsTCRsIsTssnsmeazs0) 1)(1() 1(lim)(lim0KsTsTsCRIsTstnmseazsst该系统为无差系统。该系统为无差系统。在开环传递函数中，串联积分环节，可以消除阶跃扰动的在开环传递函数中，串联积分环节，可以消除阶跃扰动的稳定误差。稳定误差。 efsCKKK 式中式中东北大学自动控制原理课程组982. 给定稳定误差和误差系数给定稳定误差和误差系数 误差定义为误差定义为 )()()()()()(sXsWsXsXsXsEcfrfr 这个误差是可以量测的，但是这个误差这个误差是可以量测的，但是这个误差并不一定反映输出量的实际值与期望值并

57、不一定反映输出量的实际值与期望值之间的偏差。之间的偏差。 另一种定义误差的方法是取系统输出量另一种定义误差的方法是取系统输出量的实际值与期望值的差，但这一误差在的实际值与期望值的差，但这一误差在实际系统中有时无法测量。实际系统中有时无法测量。 对于左图所示单位反馈系统，上述两种对于左图所示单位反馈系统，上述两种误差定义是相同的。误差定义是相同的。 东北大学自动控制原理课程组99单位反馈系统的开环传递函数可以表示为单位反馈系统的开环传递函数可以表示为式中：式中： N N 开环传递函数中串联的积分环节的开环传递函数中串联的积分环节的 阶次，或称系统的无差阶数；阶次，或称系统的无差阶数； N N个积

58、分环节串联的等效传递函数。个积分环节串联的等效传递函数。 11(1)( )(1)mKiiKn NNjjKTsWssT sNs1东北大学自动控制原理课程组100N N = 0= 0，0 0型系统；型系统；N N = 1= 1，型系统；型系统；N N = 2= 2，型系统。型系统。N N 越大越大，系统的稳态，系统的稳态精度越高精度越高，但系统的，但系统的稳定性愈差稳定性愈差。一般采用的是。一般采用的是0 0型、型、型和型和型系统。型系统。 东北大学自动控制原理课程组101（1）典型输入情况下系统的给定稳态误差分析典型输入情况下系统的给定稳态误差分析 单位阶跃函数输入单位阶跃函数输入 ssXr1)

59、(稳态误差为稳态误差为 )(11lim)(lim)(00sWssEeeKsspss令令 ， 称为位置稳态误差系数，则称为位置稳态误差系数，则 1( )1ppeK 0lim( )pKsKWspK东北大学自动控制原理课程组102对于对于0 0型系统，因型系统，因N N = 0= 0，则位置稳态误差系数则位置稳态误差系数 因此因此0 0型系统的位置稳态误差为型系统的位置稳态误差为 101(1)lim(1)mKiipKnsjjKTsKKT sKpspKKssEe1111)(lim)(东北大学自动控制原理课程组103 对于对于型或型或型系统，因型系统，因N N=1=1或或2 2，则位置误，则位置误差系数

60、为差系数为 故故型或型或型系统的位置稳态误差为型系统的位置稳态误差为 101(1)lim(1)mKiipn NsNjjKTsKsT s 1( )01ppeK 由此而知，对于单位阶跃输入，由此而知，对于单位阶跃输入，型以上各型系型以上各型系统的位置稳态误差系数均为无穷大，稳态误差均统的位置稳态误差系数均为无穷大，稳态误差均为零。为零。 东北大学自动控制原理课程组104 单位斜坡函数输入单位斜坡函数输入 给定稳态误差为给定稳态误差为 令令 ， 称为速度稳态误差系数。称为速度稳态误差系数。 21)(ssXr)(1lim)(1 1lim)(00ssWsWseeKsKsvss0lim( )vKsKsWs