复变函数：1-复变函数

1、u参考书目参考书目 1.复变函数复变函数西安交通大学高等数学教研西安交通大学高等数学教研 室编，高等教育出版社。室编，高等教育出版社。 2.复变函数论复变函数论钟玉泉编，高等教育出版钟玉泉编，高等教育出版 社。社。 3 .新编复变函数题解新编复变函数题解孙清华、赵德修，孙清华、赵德修， 华中科技大学出版社。华中科技大学出版社。u教学内容教学内容 以参考书以参考书1为主，并从为主，并从2中补充少量内容，难中补充少量内容，难度介于度介于1和和2之间。之间。u考核方式考核方式 作业作业 20% ， 随堂测验随堂测验 20%, 期末考试期末考试 60%第一章第一章 复变函数复变函数1. 复平面与复球面

2、复平面与复球面cossin ,.iieizre引入记号任一复数可表示为OxyzPNS NPz除去北极点外，复球面上的点 与复平面上的点 一一对应。PNz 当时，。引入无穷远点 。 复平面并上无穷远点称为扩充复平面。 扩充复平面与复球面上的点一一对应。Remark :关于 的几点说明0,0,;0运算无意义(,0,;aaaaa 但可为0)时0(,;bbb 但可为 )时. 的实部、虚部及辐角都没有意义,.复平面上每条直线都通过点.没有一个半平面包含点2. 区域区域nn 考虑中的点集。以表示中距离。01o1yx00 :zzzz 称为 的邻域一个邻域。000zGGzzG 设,若 包含 的一个邻域,则称

3、为内点的一个内点。2 (0,1):区间是 中开集， 但它不是例中开集。GG 中每一点都是内点，则称开集为开集。D称 为区域，若它满足以下两区域 个条件： ,DPDPDPDDDD设 为区域，但 的任意小邻域内都包含 中的点，则称 为 的边界点。 的所有边界点组成 的边界 ，记为边界。 DDDD设 为闭区域 区域，称为 闭区域。1) D 是开集； 2) DDD是连通的，即 中任意两点都可以用完全属于 的一条折线连接起来。 例：开区域闭区域 没有重点的连简单曲线续曲线。 起点与终点重合的简简单闭曲线单曲线。边界简单、不闭不简单、不闭不简单、闭简单、闭 例：,BBBBB 设 为上区域，若 中任意一条简

4、单闭曲线的内部总属于则称为单连通区域，单连通区域与多连通区域否则称 为多平面连通区域。单连通区域多连通区域例3. 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性1. 复变函数在一点的极限复变函数在一点的极限000 ( )0 |,0,( )(0). .0 |D|( )|ef:,wf zzzzAstzzf zA 设函数在 的去心邻域内有定义。若存在确定的常数， 当时有 00( ),Af zzzfz则称 为当 趋于 时的极限(或 在点 的极限)0lim( ),zzf zA记作 0( ).zzf zA或记作 当时， 关于复变函数在一点极限的定义有以下几点值得注意：0Remark1 .()f z 可以无定

5、义。Remark2. 几何解释：0Remark3. ( )f zzz若当时极限存在,则极限唯一。0zz( )f zA00 ( )lim( )zzzzf zf z 如果 以不同的方式趋于 ，而趋于不同的常数，则不存在。00 ( )lim( )zzzzf zf z 如果 以某个方式趋于 ，而没有极限，则不存在。00 ( )Remark4. zzzzf zA的方式是任意的。无论 从什么方向、以什么方式趋向 ，都要趋向于常数 。因此，验证复变函数在一点没有极限反而同一个变得简单：( )argf zz 在原点和负实轴上例极限不存在。0 xyO(),( )izref z记:则解.00arg( )arg0a

6、rgzzf zzzz当 沿不同的射线趋于原点时，有不同的极限 ，因此当时没有极限.xyO000000,(0)arg;(0)arg;argxzzxit txzzzxittxzz当 沿射线趋于 时，趋于当 沿趋于 时，趋于故在负实轴上每一点极限不存在。00( )lim( ),xxf xf xxxx 对比单变量实函数的极限只能沿 轴趋向 ,这正是复分析与实分析不同的根源。000000000( )( , )( , ), ( , ), (Thm, ),1,f zu x yiv x yAuiv zxiy u x y v x yu v xy设为实函数为实数。0lim( )zzf zA则的充要条件是00000

7、0, lim( , )lim( , ).xxyyxxyyu x yuv x yv， 000000Proo ()(f).uuuivuivuuvvvv只要用到下面的不等式，具体证明略。( )( , )( , )( , ),( , )f zu x yv x yuu x yvv x y 上面的定理将求复变函数的极限问题转化为求两个二元实变函数的极限问题。. 下面是有关复变函数极限的有理运算的定理000Thm2P ( )( )( ), ( ) roof .f zg zzzf z g zz若和在点 有极限，则其和、差、积、商（要求分母的极限不为零）在点 仍有极限，其极限值等于在点 的极限的和、差、积、商。

8、证明略2. 复变函数的连续性复变函数的连续性000 lim( )(),ef.Dzzf zf zfzfDfD若则称 在点 连续.若 在区域 内处处连续,则称 在 内连续0 ,Remark fz在点 不连续 则必为以下三种情况之一：0()f z无定义；0lim( )zzf z不存在；0000()lim( )lim( )()zzzzf zf zf zf z有定义，存在，但.( )argf zz 在原点和负实轴例上不连续。 关于复变函数的连续性有以下几个定理：000( )( , )( , ), ( , ), (Thm),3, :f zu x yiv x y u x y v x yfzxiy设为实函数

9、则 在连续的充分必要条件是00 ( , ), ( , )(,)u x y v x yxy在连续。000( )(Thm4 ) zf zg zzz在 连续的函数和的和、差、积、商（要求分母在 不为零）在点 仍连续。0000 ( )( )()( ( )Thm5hg zzwf hhg zwf g zz若在 连续,在连续，则复合函数在 连续。 对大多数函数来说,由定义直接验证连续性很繁琐.下面的推论很有用:201201 1)( ),Corollary,)nnnP zaa za za zaaa多项式函数(,在整个复平面上连续；2) ( ),( )( )( )P z Q zP zQ z设为多项式函数，则有理分式函数在复平面上使分母不为零的点处连续。 Thm4oo.Prfz根据定义,不难验证常数函数和 在复平面上连续,由即得推论000*0,|( )|.fzfzMzf zM 设 在点 连续.证明 在 的某个邻域内是有界的,即存在