复变函数第五章习题及答案

1、2 一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用留数定理在定积分计算上的应用3二、内容提要二、内容提要留数留数计算方法计算方法可去奇点可去奇点孤立奇点孤立奇点极点极点本性奇点本性奇点函数的零点与函数的零点与极点的关系极点的关系留数定理留数定理留数在定积留数在定积分上的应用分上的应用 Cdzzf)(计计算算 dxexRdxxfdRaix)(. 3;)(. 2;)cos,(sin. 120 41）定义定义 如果如果函数函数)(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心邻域的某一去心邻域 00zz内处处解析

2、内处处解析, 则称则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.1. 孤立奇点的概念与分类孤立奇点的概念与分类孤立奇点孤立奇点奇点奇点2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:i) 可去奇点可去奇点; ii) 极点极点; iii) 本性奇点本性奇点.5定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇点孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点. i) 可去奇点可去奇点6ii) 极点极点 01012020)()()()(czzczz

3、czzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc, )()(1)(0zgzzzfm 0zz 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的10)( zz,)(0mzz 负幂项负幂项, 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成7极点的判定方法极点的判定方法0z在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.(

4、a) 由定义判别由定义判别(b) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(c) 利用极限利用极限 )(lim0zfzz判断判断 .8如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,注意注意: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为. iii) )本性奇点本性奇点9i) 零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z解析且解析且m为某一正整数

5、为某一正整数, 那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点. 3)函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系零点与极点的关系如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.10 2. 留数留数记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的的系系数数幂幂项项 zzc为为中中心心的的圆圆环环在在即即0)(zzf定义定义 如果如果)(0zfz 为为函函数数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包

6、含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称为.)(0的的留留数数在在zzf以以111)留数定理留数定理 设函数设函数)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤nzzz,21外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末 nkkCzzfizzf1),(Res2d )(立奇点立奇点留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.12(1) 如果如果0z为为)(zf的

7、可去奇点的可去奇点, 则则. 0),(Res0 zzf)()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末0z)(zf a) (2) 如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, 则需将则需将成洛朗级数求成洛朗级数求1 c)(zf)(zf展开展开(3) 如果如果0z为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf2)留数的计算方法留数的计算方法13 c)设设,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那末0z为一级极点为一级极点, 且有且有都解析，都解析，.)()(),

8、(Res000zQzPzzf 如果如果 为为 的的 级极点级极点, 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz b)14.),(Res1 Czf也可定义为也可定义为 Czzfid)(21记作记作 Czzfizfd)(21),(Res1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 z0内解析内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分那末积分值为值为)(zf在在 的留数的留数.的值与的值与C无关无关 , 则称此定则称此定 Czzfid)(21 3)无穷远点的留数无穷远点的留数15如果

9、函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点) 的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf 定理定理163. 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用，令令 iez )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee zz212 20d)sin,(cos RI1）三角函数有理式的积分）三角函数有理式的积分当当 历经变程历经变程 2,0时时, z 沿单位圆周沿单位圆周1 z的的正方向绕行一周正方向绕行一周.17izzizzzzRIzd21,21122 zzfzd )(1

10、 . ),(Res21 nkkzzfi.)(1), 2 , 1(的孤立奇点的孤立奇点内的内的为包含在单位圆周为包含在单位圆周其中其中zfznkzk 18则则次多项式次多项式为为次多项式次多项式为为设设, 2,)(,)(, )()()( nmmzQnzPzQzPzR nkkzzRiI1.),(Res2.)(,)(.d)(没有孤立奇点没有孤立奇点在实轴上在实轴上且且数高两次数高两次的次数至少比分子的次的次数至少比分子的次分母分母的有理函数的有理函数是是其中其中zRxxRxxRI 2）无穷积分）无穷积分19则则在实轴上没有孤立奇点在实轴上没有孤立奇点且且的次数高一次的次数高一次分母的次数至少比分子分

11、母的次数至少比分子函数函数的有理的有理是是其中其中,)(,)(),0(d)(zRxxRaxexRIaix nkkaixaixzezRixexR1,)(Res2d)(.)(), 2 , 1(在上半平面内的极点在上半平面内的极点为为其中其中zRnkzk 3）混合型无穷积分）混合型无穷积分20,2d1cos02mexxmx , 0d1sin2 xxmx).10(sind1,2dsin0 aaxeexxxxax 特别地特别地21 4.4.对数留数对数留数定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分: Czzfzfid)()(21.)(的对数留数的对数留数关于曲线关于曲线称为称为Czf,)(上解析且不为

12、零上解析且不为零在简单闭曲线在简单闭曲线如果如果Czf,以以外外也也处处处处解解析析的的内内部部除除去去有有限限个个极极点点在在C那那么么.d)()(21PNzzfzfiC 内零点的总个数内零点的总个数, P为为 f(z)在在C内极点的总个数内极点的总个数.其中其中, N为为 f(z)在在C且且C取正向取正向. 22如果如果 f(z)在简单闭曲线在简单闭曲线C上与上与C内解析内解析, 且在且在C上不等于零上不等于零, 那么那么 f(z)在在C内零点的个数内零点的个数等于等于 21乘以当乘以当z沿沿C的正向绕行一周的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量的辐角的改变量. 辐角原理辐角原理 路西定理

13、路西定理,)()(内解析内解析上和上和在简单闭曲线在简单闭曲线与与设设CCzgzf与与内内那么在那么在上满足条件上满足条件且在且在)(, )()(zfCzgzfC .)()(的的零零点点的的个个数数相相同同zgzf 23三、典型例题三、典型例题.,)(判别类型判别类型并并在扩充复平面上的奇点在扩充复平面上的奇点求下列函数求下列函数zf例1例1;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(内的洛朗展式为内的洛朗展式为在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇点的本性奇点是是的可去奇

14、点的可去奇点是是得得zfzzfz 24;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的一级极点的一级极点为为zw 又又且为本性奇点且为本性奇点仅有唯一的奇点仅有唯一的奇点而而, zew zkzz1tanlim), 1, 0(211 kkzk得得.)(wezf 则则25), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇点的本性奇点都是都是zf因为因为时时当当, zzzzezf1tanlim)(lim .)(的可去奇点的可去奇点是是故知故知zfz ,1 26例例2 2 求函数求函数 的奇点，并确的奇点，并确定类型定类型.322)1()1(sin)5()( zzz

15、zzzf解解110 z,z,z是奇点是奇点. zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因为因为),(1zgz 是单极点；是单极点；所以所以0 z1 z是二级极点是二级极点;1 z是三级极点是三级极点.27例例3 3 证明证明 是是 的六级极点的六级极点.0 z)1(1)(33 zezzf.)1(1)(033的六级极点的六级极点是是所以所以 zezzfz的六级零点，的六级零点，是是因为因为)1()(1033 zezzfz证证)1()(133 zezzf ! 3! 21296zzz,1! 2)(12333 zzz28例例4 4 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.,

16、11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz.coshsinh)4(zz解解(1)在在 内内, 10z,)1( ! 311111sin3 zzz11 ,)1sin(1Res Cz所以所以. 1 29,! 5! 3sin53 zzzz因为因为内内，所所以以在在 z0 5322! 51! 3111sinzzzzzz 3! 51! 31zzz120 ,1sinRes Czz故故.61 解解zz1sin)2(230zzsin1)3(解解), 2, 1, 0( nnz为奇点为奇点,0 n当当 时时 为一级极点，为一级极点， nzznznzsin1)(lim 因为因为)sin()1(li

17、mnzznznnz ,1) 1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是二级极点是二级极点知知 z, 1 31,1)1(,sin1Resnnzzn 所以所以 zzzzzzzsin1ddlim0 ,sin1Res20zzzzz20sincossinlim . 0 32zzzfcoshsinh)()4( 解解的一级极点为的一级极点为)(zf , 2, 1, 02 kikzkkzzkzzzzf )(coshsinh),(Res故故kzzzz sinhsinh. 1 33例例5 5 计算积分计算积分.d)()sin(28zizzizz 为一级极点，为一级极点， 为七级极点为七级极点

18、.0 ziz )(lim0),(Res0zzfzfz 80)()sin(limizizz ;sini iizizizzf )(1)()sin()(8iiziiziz 11)()sin(8 22357)(1)(11)( ! 71)( ! 51)( ! 31)(1iziiziiiziziziz解解34 izi1! 11! 31! 51! 71 ! 71! 51! 311),(Resiizf所以所以由留数定理得由留数定理得 ),(Res0),(Res2d)()sin(28izfzfizizzizz .!71! 51! 311sin2 iii35例例6 6 .d)1()5(3243213zzzzz 解

19、解248326131151)( zzzzzzf24321115111 zzz28434211125511 zzzzz在在 内内, z336)1(2d)1()5(3243213 izzzzz故故.2 i 1),(Res Czf所所以以, 1 42211511zzz,1 z37 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 计算计算 .d)1)(3(1255zzzz ),(Res3),(Res),(Res51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim3),(Res53 zzzzfz,2421 38 55511311) 1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz, 0),(Res zf所所以以 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 39例例8 8 计算计算. )0(sind02 axax解解 00222cos1dsindxaxxax 022cos1)2d(21xax,2tx 令令 2002