高考数学复习：三角函数的概念与三角公式应用

专题06三角函数的概念与三角恒等变换

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

「［角的概念）--［象/角］

L（终边相同的角］

辘oi痂

。知识点一任意角与弧度制超02根据已知角霞舞的范圉

>型03n®角与份角的象限i调

翅04扇

4■＜却长公式）

K扇形面积公式）

三角函数的定义

三角函数在各象限符号

o知识点二任意角的三角函数三正切、四余弦避01三角函统定义及应用

避02判后角函数的符号

翅03三角函艇t的应用

三角函数的概念

与三角公式应用

^^01sina,cosa,tan卸~~求二

-同角三角函数基本关系式:，--商融系：sina/cosGtana；

,知识点三同角三角函数基本关系式型02sig8sa5软式MQj切

L基4：关"的n和疑'sina=cosa.sinacosa^J^^

0与诱导公式型04利用法导公式化简求值

~I-三角函数的诱导公式〕＞~'谈禺不变、黜者象眼

型01两翩1盘虻角公式正序o逆用

__________________________________两角和与差的正弦、勉、正切球■02二倍角公式的简隼应用

知识点四三角恒等变血而）＜二倍角=）整03靖助角公式的简单应用

型04三角恒庭螃值求值

L靖助角公式

健05三角恒基蜻值求角

健06三角恒简

口双盘点・置；层扑与

知识点1任意角与弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为彳轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，

构成的角的集合是S={用W=k36（r+a,左GZ}.

2、弧度制

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

角a的弧度数公式1切=:（弧长用1表示）

①。—出山②

角度与弧度的换算11801rad—Q)

弧长公式弧长l=\a\r

r2

扇形面积公式5二夕厂=3。1

知识点2任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（无，y）,那么

定义

》叫做a的正弦，记作sinax叫做a的余弦，记作cosa利做a的正切，记作tana

I+++

II+一一

各象限符号

III一一+

IV一+一

工人

冰L0）,命为/斗（1，0）一

三角函数线

有向线段加尸为正弦线有向线段。加为余弦线有向线段AT为正切线

知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式

1、同角三角函数基本关系式

(1)平方关系：si/a+cos2a=1.

(3)商数关系：s111q=tan/+E,AGZ).

COS(X.\Xy

(3)基本关系式的几种变形

①sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacoso^o^kn+卷，k£Z).

2、三角函数的诱导公式

公式—*二三四五六

712E।

角兀尹。

2E+a/£Z)+Q~a711a2-ot

正弦sina—sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限

“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

知识点4三角恒等变换公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a-£)cos(a-j8)=cosacos£+sinasin§

C(a+£)cos((z+4)=cosacosyff-sinasin夕

S(a-份sin(a—/J)=sinoccosyff—cosasin夕

S(+j0)

asin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕

tana—tanp

tan(a—0—i+tanatan/

T(a一0

变形：tana—tanp=tan(a—0)(1+tanatan")

tan(z+tan/3

tan(a+4)一1+.〃；

T(a+为'I—tanatanp

变形：tanoc+tanA=tan(a+£)(1—tanatan0)

【注意】在公式T（g?）中a,都不等于析+/（%£Z）,即保证tana,tan夕，tan（a土夫）者B有意义.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

变形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1~sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2oc；

C2a_1+cos2a.1—cos2a

5.71^•cos9ex,2，sni9ex2

2tana

T2atan2。一2

1I—tana

3、辅助角公式

一般地，函数/（a）=4sina+bcosa{a,b为常数）可以化为y（a）=d^PPsin（a+3）（其中tan

点突破•春分•必拓

重难点01sina,cosa齐次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值.常见的结构有：

(1)sina,cosa的二次齐次式(如«sin2oc+/?sinoccosa+ccos?。)的问题常采用“切”代换法求解；

(zjein(1\

(2)sina,cosa的齐次分式如*人、。；的问题常采用分式的基本性质进行变形.

2、切化弦：利用公式tana=^，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切的时候，采用此技巧.

【典例1】(2324高三下.河南洛阳•模拟预测)己知tana=2,则：sinc+cosj()

2sin<7-cos6Z

11

AB.一cD.2

-13-1

【答案】B

5sina+cosa5tana+15x2+1=g.故选：B.

【解析】因为tana=2,所以

2sina—coscr2tana—12x2-1

【典例2】(2324IWJ三下•四川•模拟预测)已知tana=2,则siYa+cosZa=()

1111

A.—B.-C.D.-

2345

【答案】D

，冷刀w中弟•2。sir?。+cos2acos2a故选:

【角牛析】因为sina+cos2a=—；-----；—二一-J—=-.D

sin2cr+cos2crsin26Z+cos2crtan2a<+15

【典例3】(2324高三下•广东・月考)若tane=2,贝心皿2夕+理2=()

tancr

6136

A.-B.-C.--D.--

5355

【答案】A

22

.sinla.22sintzcos.2c2sincr+2cosa

sm2a+--------=sina-\--------：---------=sina+2cosa=-----------------——

【解析】tanasinasin+cosa

cosa

sinasin2a+2cos2atana+26、生

因tana=则=-z-------=—•故47r选：AA

cosasm.7a+cos2atana+15

重难点02sinaicosa与sinacosa关系的应用

对于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa这三个式子，矢口一可求二,

若令sina+cosa=t(t^[—也，也]),则sinoccosa=-2-，sina—cosa=(注意根据a的范围选取正、

负号)，体现了方程思想的应用.

【典例1】(2324高三下•吉林长春・三模)已知。£(0,兀)，且sina+cosy=2，贝Ijsin2a=.

24

【答案】

【解析】因为sina+cosa=(,

r-r-KI/•\21.22/->•24..24

所以sina+cosa=—=>sincr+cosa+2smacosa-—=>2sinacosa=-----=>sin2a=------.

1725252525

【典例2】(2324高三上•山东.开学考试)若8e(0,g),sin^-cos^=—,则tan*()

25

A.—B.2C.—D.3

23

【答案】B

【解析】由(sing+cos6)2+(sing—cos6)2=2,sin^-cos^=—,得(sinO+cos。)？==,

55

而。£(0,g),BPsin0>0,cos0>Q,解得sin6+cos6=,

25

因止匕sin。二冬5,cos6=,所以tan。=型且=2.故选：B

55cos。

(vrjr\(yrjv\1

【典例3】(2324高三下•湖南岳阳•二模)已知〃eZ,sin[f+aj+cos[f■-a1=j,则()

8

A.cos«+sina=-B.coscif+sin<7=-—C.sin2a=——D.sin2a=-

3399

【答案】C

【解析】没keZ

.(rm)(rm)

①〃二左时,sin-----\-a+cos------a=sin(2E+a)+cos(2E-a)=sina+cosa=—

4U)I2)

.11,1X1rm…兀〜兀I1

②〃=4左+1时，sinI+a+cos------a=sin2kn+—+a+cos2kn+——a=cosa+sina=—,

[2I2(23

③〃=4左+2时，sin—+orI+cosI—~aI=sin(2E+7t+a)+cos(2E+兀-a)=-sina-cosa=—,

此时coscr+sinof=——

3

Atn-4-.(rm3)(31

④小〃=4左+3时,smI—+crl+cosl--aI=sinl2kji+—7i+al+cosl2kji+-7i-a\1=-s.ma-cosa=—,

止匕时coscr+sina=——

3

综合①②③④，可以排除A、B,

(sina+cosaj=sin2a+cos2cir+2sincrcosa-sin2a+cos2a+sinla=l+sin2a=：,

0

所以sin2a=-§,故选：C.

重难点03三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看通过看三角函数式中各角之间的差别与联系，

—►

式中各角把角进行合理的拆分，从而正确使用公式

0

二看f看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，

函数名称常见的有“切化弦”

0

分析结构特征，找到变形的方向，常见的有

三看

—>>“遇到分式要通分.“整式因式分解”“二次

结特征

M式配方”等

【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降塞与升暴等.

【典例1】(2324高三下•广东・二模)tan7.5。—tan82.5。+2tan15。=()

A.-2B.-4C.-2A/3D.-4拒

【答案】D

；75°sin825°

［解析］tan7.5°-tan82.50+2tan15°=——sn--------+2tan15°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°....sin27.5°-cos27.5°....

=---------------+2tan15°=----------------+2tan15°

cos7.5°sin7.5°sin7.5°cos7.5°

__cosl5。2sinl5。_2画15。-腐15。)_一4cos30°_

—sin150cosl5°sinl50cosl50sin30°・故选：D

2Sm

2cos65°cos15°

【典例2】⑵24高三下.重庆.模拟预测）-c-nl。。的值为（）

1+73Q2+布D1+6

244

【答案】A

［解析］2cos65。3$15。_2cos65°cos215°_sin25°x(1+cos30°)+故选人

tanl50coslO°+sinlO°sin15°cos10-+sin10°cos15°sin25022

【典例3】(2324高三下.河南焦作・月考)sin80°+c°s5°°一如=()

sin252tan25

A.9B.且C.BD.正

2222

【答案】A

［铲析］sin800+cos50°A/6_sin(60°+20°)+cos(30°+20°)#cos25。

sin2502tan25。-sin2502sin25。

_sin600cos200+cos60°sin200+cos30°cos20°-sin30°sin20°46cos25°

sin2502sin25°

_6cos20。+sin20。+6cos20。-sin20。_限os25。_限os20。_辰os25。

—2sin2502sin25°-sin2502sin25。

_百cos(45。-25。)瓜cos25。_73(cos45°cos250+sin45°sin25°)指cos25。

一sin25°2sin25°-sin2502sin25。

_A/6COS25°+\/6sin25°A/6COS250_A/6故诜、

2sin25。2sin25°:'

法技巧・蔡学霸

CL

一、确定角一5eN+）终边所在象限的方法

n

or

法1分类讨论法：利用已知条件写出a的范围（用后表示），由此确定竺的范围，在对左进行分类讨论，从

n

而确定里所在象限。

n

法2几何法：先把各象限分为〃等份，再从工轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、

a

四……则a原来是第几象限的角，标号为几的区域即角-终边所在的区域。

n

a

【典例1】（2324高三下•四川绵阳•三模）已知sinatan6<0,且cos3sin6<0,则不为（）

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

【答案】C

.2Z3

【解析】由sine,tane<0,得变一<0,贝!jcos<9V。且sinMwO,又cosasinev。，

cos。

TT

因止匕cos，v0且sin6>0,0是第二象限角，即一+2kli<3<TI+2kit,keZ,

2

则：+E<g<W+E,keZ,当人为偶数时，乡是第一象限角，当上为奇数时，鸟是第三象限角,

42222

0

所以|■是第一或三象限角.故选：C

a

【典例2】（2324高三上•广东广州•二调）已知sina>0,cosa<0,则§的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因为sincz>0,cosavO,

JT

所以。为第二象限角，即一+2E<a<7i+2E,左EZ,

2

兀2Ea7i2kn,〜

所以:十丁<二<彳+丁火£2，

63333

则了的终边所在象限为■，兀所在象限,

即。的终边在第一、二、四象限.故选：D.

CLCL（1

【典例3】（2324高三上・甘肃天水・月考）设1角属于第二象限，且COS^M-COS^,则|■角属于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】（2。为第二象限角，，90。+公360。<。<180。+公360。（左€2）,

Of

...450+左480°<—<90°+^-180°()IGZ)

2

当々=2仆eZ）时，5为第一象限角；当左=2〃+l（〃eZ）时，，为第三象限角;

*为第一或第三象限角；

cos?=-cos|■，,cos^<0,■为第三象限角.故选：C.

二、扇形的弧长与面积应用

1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

_TT

【典例1】（2324高三上•黑龙江哈尔滨・月考）已知扇形弧长为圆心角为2,则该扇形面积为（）

22

A.—B.—C.-D.1

18363

【答案】B

【解析】设扇形所在圆的半径为,，

因为扇形弧长为三,圆心角为2,可得2/'=三，可得r=

336

由扇形的面积公式，可得S=』/r=」x'x«=H.故选：B.

223636

【典例2】（2324高三上•江苏徐州•月考）已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为（）

A.2B.4C.2A/3D.4指

【答案】D

【解析】设扇形的弧长为/,半径为厂，

所以扇形的面积为1小厂=3,所以＞=6,

又扇形的周长为，+2r,所以/+2r225/T^7=4石，

当且仅当1=2：,即/=2r=2班时，取等号.故选：D.

lr=6

【典例3】（2324高三下•湖南.一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾

云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外楼空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计），

3

测得各项数据（图2）：A3q8cm,AD~2cm,4。“5cm，若sin37,不兀合3.14,则璜身（即曲边四边形ABCD）

面积近似为（）

图1图2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【答案】C

【解析】显然AAOB为等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,

叫…台超3

4,sinZOAB=—,

OA5

又sin37°^|,所以/OAB“37。，于是NAO8=180。-2x37。=106。=手,

所以璜身的面积近似为:ZAO3(QV-。加卜夫邸x(5?-3?卜14.8(cm)故选：C

三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法

1、已知角a的终边上一点P的坐标，求角a的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。

2、已知角a的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未

知数，从而求解问题。

3、已知角的终边所在的直线方程=水/0),求角的三角函数值

方法：先设出终边上一点P(a,k?),a/0,求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意

a的符号，对a进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角。的三角函数值。

【典例1】(2324高三下•江西・二模)已知角a的终边经过点M(0,1),贝ljcosa=()

&B

C.V2

~'VD-T

【答案】A

【解析】根据题意r=|OM|=J(应『+F=『,

由三角函数的定义得cosa

【典例2】（2324高三下•北京朝阳•二模）在平面直角坐标系中，锐角。以。为顶点，3为始边.将a的

终边绕O逆时针旋转;后与单位圆交于点尸（尤,y）,若cosa=也，则，=（）

410

4334

A.——B.--C.-D.—

5555

【答案】D

【解析】如图，

由cosa=—，0<a<—,得sina=>/l-cos2a=------,

10210

所以y=sin(«+^)=(sintz+cos«)=-^-x^^=-^.故选：D

【典例3】（2324高三下.河南.一模）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角。，其终边落在直线，=尤

上，则有（）

A.sina=B.cosa=-C.sina+cosa=±5/2D.tana=±1

22

【答案】C

TT

【解析】因角a的终边落在直线丁=%上，故a=：+2E或a=1+2E,左£Z.

44

对于A,当a=；+2E,左dZ时，sina=—,故A项错误；

42

对于B,当c=q+2E,%eZ时，cosc=-交，故B项错误；

42

7T

对于C,当a=：+2左兀，ZeZ时，sina+cosa=75，

4

当a=~7~+2E,左£Z时，sina+cosa=-血，故B项正确;

4

对于D项，当a=2+2E,左eZ时，sina=—,cosa=—,贝！Jtana=l；

422

当a二半+2E,女EZ时，sin6z=--,coscr=--,则tana=1.故D项错误.故选：C.

422

四、对sina,cosa,tana的知一求二问题

1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2（z+cos2a=1求解

cinn

2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin。土cosa,sina・cosa建立联系，注意tana=的灵活应用

COS（X

3、知切求弦：先利用商数关系得出sina=tana-cosa或cosa=个，然后利用平方关系求解

Idll0C

【典例1】（2324高三上•河北邢台・期末）若sina=-3,且a为第三象限角，贝hanc=（）

4

A.一叵s/39C屈

B.-D.7

13IT

【答案】B

二叵

【解析】因为sina=------,且a为第三象限角，所以cosa=-.l—

4[4)

故巨，故选：B

COS6Z13

3

【典例2】（2324高三上•上海松江•期中）已知cos6=m，且sin6<0,则tan。的值为（）

【答案】A

_______4

【解析】由题意得sin6=-一cos?6=J一[I]=一;则tanO=M=9=-g，故选：A.

5

3兀

【典例3】（2324高三上•内蒙古赤峰•期中）已知tana=3,7t<a<—,贝！]coscr—sina=

2

【答案】叵

5

3兀

【解析】Qtano=3,7i<a<—f

1叵,sin«=-V^^=-3M

.二cosa=

1+tan2a1010

则c°s”sma〜巫+独^亚

10105

五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

任意负角任意正角0〜2兀的

利用诱导公式利用诱导公式一利用诱导公式二J锐角三|

的三角函的三角函角的三角

三或一~~>~或四或五~角卤数|

数数函数

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”.

.2023兀2023兀在角■的终边上