电磁场及电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理

1、1Field and Wave Electromagnetic电磁场与电磁波电磁场与电磁波2011.09.222作业情况作业情况1班：人班：人2班：人班：人合计：人合计：人情况情况:3Review1. 标量场的梯度标量场的梯度2. 矢量场的散度矢量场的散度3. 散度定理散度定理ndVGradVVadn xyzVVVVaaaxyz0limSVA dSdivAAV A=yxzAAAxyzVSdivAdVA dS 4Main topic1. 矢量场的旋度矢量场的旋度2. 旋度定理旋度定理3. 两个零恒等式两个零恒等式4. 矢量场的唯一性定理矢量场的唯一性定理5. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理561).1

2、).矢量场的环量矢量场的环量矢量场矢量场A A沿沿有向闭合有向闭合曲线曲线 l 的的线积分线积分称为矢量场称为矢量场A A沿该曲沿该曲线的环量，以线的环量，以 表示为表示为lA dl 0, 0, 0,0, =0=0如如00B dcclIJ ds内5A10A3A2A3A2A如何显示源的如何显示源的分布特性？分布特性？1. 矢量场的旋度矢量场的旋度7 S SMl le en n0limlSA dlS 称为矢量称为矢量A A对于方向对于方向e en n的环量强度的环量强度zxyzxyzxy正最大正最大次之次之零zxyzxyzxy负最大负最大零零注意：在每一点注意：在每一点P P处都有处都有无穷多无穷

3、多的方向环量，且大小可能的方向环量，且大小可能不等不等。en1en282).2).旋度旋度概念概念在某点，旋度矢量的在某点，旋度矢量的方向方向是使矢量是使矢量A A具有具有最大环量强度最大环量强度( (环环路所围面积的方向路所围面积的方向) )的方向，其大小等于对该矢量方向的的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度最大环量强度，记为，记为max0 limlnsA dlCurlAeS式中，式中，e en n为旋度方向上的单位矢量。此式表明，矢量场的旋度大小可为旋度方向上的单位矢量。此式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围以认为是包围单位面积上的闭合曲线的最大环量单位面积上的闭合曲线的最大环量

4、，代表了，代表了( (旋度旋度) )源的源的强度。强度。绕绕任意任意方向的方向环量方向的方向环量? ?旋度与该方向单位矢量的点积（投影）旋度与该方向单位矢量的点积（投影）ua CurlA其方向为当面积的取向使其方向为当面积的取向使得环量呈最大时，该得环量呈最大时，该面积面积的法线方向的法线方向（右手定则）（右手定则）dsnedl9如果矢量场如果矢量场F F每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布（矢量场每一点的旋度都有定义，则形成一个矢量的分布（矢量场) )称为称为矢量矢量F F 的旋度场的旋度场，旋度场描述矢量场在，旋度场描述矢量场在空间的变化特性空间的变化特性，空间某点，空间某点处的涡旋

5、体现该点处处的涡旋体现该点处源（涡旋源）的强度源（涡旋源）的强度，描述涡旋源的强度在空间的，描述涡旋源的强度在空间的分布。分布。旋度的计算旋度的计算1122331 23123112233 h h 1 h h uuuuuuaah acurlAhh huuuAAh A广义坐标系广义坐标系10直角坐标系直角坐标系 xyzxyzyyxxzzxyzaaaCurlAxyzAAAAAAAAACurlAaaayzxzxyA 1 rzrzaraaArrzArAA球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系2 sin 1 sin sinRRaRaRaARRARARA11旋度运算规则旋度运算规则()()()ABABCACAAA

6、A 12例例 旋度为零的矢量场称为旋度为零的矢量场称为无旋场无旋场或或保守场保守场。13()()SSlCurlA dSA dSA dl 式中，式中，S S为为L L包围的面积，包围的面积，dsds的方向与的方向与d dl的方向构成的方向构成右旋关系右旋关系。一矢量场的旋度在开放表面上的一矢量场的旋度在开放表面上的面积分面积分，等于该矢量沿包，等于该矢量沿包围该表面的围线的封闭围该表面的围线的封闭线积分线积分。将将面面积分化为积分化为线线积分，或反之。积分，或反之。从场的观点来看，它建立了从场的观点来看，它建立了区域中区域中的场与的场与区域边区域边缘上的场之间的关系。缘上的场之间的关系。2. 旋

7、度定理旋度定理max0 limlnsA dlCurlAeS14例例SCF dSF dl选择合适的坐标系选择合适的坐标系22SCdsar15解解1617 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为旋度处处为零零的的矢量场称为矢量场称为无旋场无旋场。 可以证明可以证明()0 A 上式表明，上式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。或者说，任何或者说，任何旋度旋度场一定是场一定是无无散场。因此，任散场。因此，任一一无散无散场可场可以表示为另一矢量场的以表示为另一矢量场的旋度旋度，3. 两个零恒等式两个零恒等式(无散场和无旋场无散场

8、和无旋场)ifthen0B BA 因此，任一因此，任一无散无散场可以表示为另一矢量场的场可以表示为另一矢量场的旋度旋度。推论推论18 上式表明，上式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。或。或者说，任何者说，任何梯度梯度场一定是场一定是无旋无旋场场。 因此，任一因此，任一无旋无旋场一定场一定可以表示为一个标量场的可以表示为一个标量场的梯度梯度，0)(又可证明又可证明ifthen0EEV 因此，任一因此，任一无旋无旋场一定可以表示为一个标量场的场一定可以表示为一个标量场的梯度梯度。推论推论19 位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、

9、旋度旋度以及边以及边界上场量的界上场量的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。VSF(r)ntor and & FFFF4. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理20 若矢量场若矢量场 F(r) 在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的， 且其且其导数连续有界导数连续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域V 中，则当矢量场

10、中，则当矢量场的的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 ( )( )( ) F rrA r1( )( )d4VV F rA rrr1( )( )d4VV F rrrr式中式中V zxyr Or r r F(r)5. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理21 该定理表明任一矢量场均可表示为一个该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋无旋场场与一个与一个无散场无散场之和之和。矢量场的矢量场的散度散度及及旋度旋度特性特性是研究矢量场的是研究矢量场的首要首要问题问题。 ( )( )( ) F rrA r可以证明可以证明()0 A0)(又可证明又可证明22Example

11、 Given a vector function : F=ax(3y-c1z)+ay(c2x-2z)-az(c3y+z) (a)Determine the constant c1, c2and c3 if F is irrotational(无旋场无旋场); (b)Determine the scalar potential function V whose negative gradient(负负梯度梯度) equals to F12 0 (3y-c z) (c x-2z) -xyzxyzxyzaaaaaaFxyzxyzFFF 3332121312123(c y+z) -(c y+z)(-(

12、c y+z)(c x-2z)(3y-c z) (c x-2z)(3y-c z)-c2cc30Each component of F must vanish. Hence c =0, c =3, and c =2.xyzxyzaayzxzaaaaxy23Since F isirrotational, it can be expressed as the negative gradient of a scalar function V; that is,3322Three equations are obtained:3 ;3xyzxyzVVVFVaaaayaxzayzxyzVyVyxx 1223

13、2( , );32;32( , );122( , );2132.2f y zVxzVxyzyfx zyVyzVyzzfx zzVxyzyzC ；24summary5. 矢量场的旋度矢量场的旋度6. 旋度定理旋度定理0max1limnsCAaA dlS CurlA()()SSCCurlAdSAdSA dl257. 两个零恒等式两个零恒等式8. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理()0V ifthen0EEV ()0 Aifthen0B BA 9. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理( )( )( ) F rrA rVSF(r)ntor and & FFFF26位置矢量位置矢量: :111xyzo

14、px ay az a 111( ,)p x y zxxyyzzAA aA aA a xxyyzzA BA BA BA B 222xyyAA AAAA 任意矢量任意矢量 A:A:点积点积: :叉积叉积: : = xyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzxyzA BaA BABaABA BaA BA BaaaAAABBB 微分长度微分长度 : :xxyyzzxyzdldl adl adl adxadyadza微分体积微分体积 : :dvdxdydz微分面积微分面积: : sxxyyzzxyzdsdsaa dsa dsa dsa dydza dxdza dxdy1. 矢量及其运算、坐标系矢量及其运算、坐标系272. 标量场的梯度标量