微分中值定理与导数的应用

1、返回返回上页上页下页下页第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、一、 罗尔定理罗尔定理定理定理1 (罗尔罗尔(Rolle)定理定理) 如果函数如果函数f(x)满足：满足： (1) 在在a,b上连续上连续, (2) 在在(a,b)内可导内可导, (3) f(a)=f(b),则至少存在一点则至少存在一点 (a,b),使得使得f ( )=0 返回返回上页上页下页下页证证 因为因为f(x)在在a,b上连续上连续,f(x)在在a,b上必取得最大值上必取得最大值M和和最小值最小值m (1) 如果如果M=m, 则则f(x)在在a,b上恒等于常数上恒等于常数M, 因此因此,对一切对一切x(a,b),都有都有

2、 f (x)=0.于是定理自然成立于是定理自然成立. (2) 若若Mm,由于由于f(a)=f(b),因此因此M和和m中至少有一个不等中至少有一个不等于于f(a).设设Mf(a),则则f(x)应在应在(a,b)内的某一点内的某一点 处达到最大处达到最大值值,即即f( )=M,下面证明下面证明f ( )=0 xfxfxfxffxx )()(lim)()(lim )(00 返回返回上页上页下页下页因因f(x)在在 达到最大值达到最大值,所以不论所以不论 x是正的还是负的是正的还是负的, 总有总有 f( + x)-f( )0 当当 x0时时, 0)()( xfxf 0)()(lim )(0 xfxff

3、x 当当 x0时时, 0)()( xfxf 0)()(lim )(0 xfxffx 从而必须有从而必须有f ( )=0.返回返回上页上页下页下页例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数f(x)= x2-2x+3在区间在区间-1,3上的正上的正确性确性注注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结定理的结论将不一定成立论将不一定成立. 显然函数显然函数f(x)= -2x+3在在-1,3上满足罗尔定理的三上满足罗尔定理的三个条件个条件,解解由由f (x)=2x-2=2(x-1),可知可知f (1)=0,因此存在因此存在 =1(-1,3),使使f (1) =

4、0 返回返回上页上页下页下页例例2 2.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 ,0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 ,0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 ,0(,0 x矛盾矛盾,.为为唯

5、唯一一实实根根返回返回上页上页下页下页0 x0 x0 x)由连续函数介值定理知至少存在一点由连续函数介值定理知至少存在一点 在在0,1上有且仅有一个上有且仅有一个0f(x)1,且对于且对于(0,1)内所有内所有x，有有f(x)1，求证，求证例例 设设f(x)在在0,1上可导，当上可导，当0 x1时，时，使，使f(证证 令令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0 0 x0 x0,1,使得使得F(0 x0 x0 x，下面证明在，下面证明在0，1上上) 即即f(仅有一点仅有一点，使，使F(0 x) 0 1x1x假设另有一点假设另有一点)0 0 x1x，则由罗尔定理可

6、知，则由罗尔定理可知,在在 , 上至少有上至少有0 x1x一点一点 ，使，使这与原题设矛盾这就证明了在这与原题设矛盾这就证明了在0，1 0 x0 x0 x内有且仅有内有且仅有) 一个一个，使，使f()0， 0,1,使得使得F(不妨设不妨设F()=0,即f()=1,返回返回上页上页下页下页二、二、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理2 若函数若函数y=f(x)满足下列条件满足下列条件: (1) 在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续； (2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导则至少存在一点则至少存在一点 (a,b),使得使得abafbff )()( )( 证证 作辅助函数作辅助函数xa

7、bafbfxfxF )()( )()(F(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且 返回返回上页上页下页下页aabafbfafaF )()( )()(babafbfbfbF )()( )()()()(, 0)()(aFbFaFbF所以因为故故 F(x)满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点从而至少存在一点 (a,b),使得使得F ( )=0,即即 0)()( )()( abafbffF abafbff )()( )( 因此得因此得返回返回上页上页下页下页 拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写

8、成此公式也可以写成f(b)-f(a)= f ( )(b-a) (a b) 另外，由于另外，由于 是是(a,b)中的一个点中的一个点,它还可以表示成它还可以表示成 =a+ (b-a)(0 1),于是，拉格朗日中值公式又可写成于是，拉格朗日中值公式又可写成 f(b)-f(a)=(b-a)f a+ (b-a) (0 1) 要注意的是，在公式中，无论要注意的是，在公式中，无论ab或或ab，公式总是成，公式总是成立的，其中立的，其中是介于是介于a与与b之间的某个数之间的某个数注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量增量与函数在这区间内某点处的与函数在这区

9、间内某点处的导数导数之间之间的关系的关系.返回返回上页上页下页下页例例4)(arctanarctan211212xxxxxx 其其中中证证明明不不等等式式证证)()(11arctanarctan,.arctan)(211221221xxxxxxxxxxf 有有在在设设.arctanarctan, 11112122xxxx 所所以以 返回返回上页上页下页下页1xx例例5 证明不等式证明不等式对一切对一切x0成立成立.ln(1+x)x1 ),证证 由于由于f(x)=ln(1+x)在，在，）上连续、可导，）上连续、可导，对任何对任何x0，在，在0, x上运用微分中值公式上运用微分中值公式,得得 1x

10、x(0 1)即 ln(1+x)=1xx1xx 由于由于 x,因此当因此当x0时，有时，有1xxf(x)-f(0)=f(x)x, (0ln(1+x)x 返回返回上页上页下页下页推论推论1 如果如果f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,且且f (x)0,则在则在(a,b)内内,f(x)恒为一个常数恒为一个常数证证 在在(a,b)内任取两点内任取两点x1, x2, 设设x1 x2 ,显然显然f(x)在在x1,x2上满上满足拉格朗日中值定理的条件足拉格朗日中值定理的条件)()( )()()(211212xxxxfxfxf因为因为 f (x)0,所以所以 f ( )=0 .从而从而 f(x2)

11、=f(x1) .返回返回上页上页下页下页例例4).1(2arccosarcsinxxx试证)1 , 1(, 01111)( ,arccosarcsin)(22 xxxxfxxxf则则令令证证1 , 1,2arccosarcsin)( ,2)1(,2)0()1 , 1(,)( xxxxfffxCxf 故故且且又因又因得得返回返回上页上页下页下页推论推论2 若若f(x)及及g(x)在在(a,b)内可导内可导,且对任意且对任意x(a,b),有有f (x)=g (x),则在则在(a,b)内内,f(x)=g(x)+C(C为常数为常数). 证证 因因f(x)-g(x) =f (x)-g (x)=0, 由推

12、论由推论1,有有f(x)-g(x)=C,即即f(x)=g(x)+C,x(a,b)返回返回上页上页下页下页三、三、 柯西中值定理柯西中值定理定理定理3 (柯西中值定理柯西中值定理) 若函数若函数f(x)和和g(x)满足以下条件满足以下条件: (1) 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, (2) 在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,且且g (x)0,那么在那么在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得)()()()()()( gfagbgafbf 证证 若若g(a)=g(b),则由罗尔定理则由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点 1(a,b),使使g ( 1)=0,这与定理的假设矛盾这

13、与定理的假设矛盾.故故g(a)g(b).返回返回上页上页下页下页作辅助函数作辅助函数)()()()()( )()(xgagbgafbfxfxF F(x)满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件,于是在于是在(a,b)内至少存在内至少存在一点一点 ,使得使得 0)()()()()( )()( gagbgafbffF从而有从而有)()()()()()( gfagbgafbf 返回返回上页上页下页下页例例5.)()()(- )( ),(:,),(,)(,0 abbafabfffbababaxfba使得至少存在一点试证内可导在上连续在函数设,1)(,)()(.11)()(柯柯西西中中值值定定理理的

14、的条条件件上上满满足足它它们们在在令令原原式式右右边边可可写写成成baxxGxxfxFabaafbbf 证证返回返回上页上页下页下页abaafbbfaGbGaFbFGF )()()()()()()( )( 且且有有abbafabfffxGxxfxfxF )()()(- )(1)( ,)()()( 22 代代入入得得将将返回返回上页上页下页下页四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxg)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；的关系；注意定理成立的条件；注意定理成

15、立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式注意利用中值定理证明等式与不等式.返回返回上页上页下页下页练练 习习 题题34153 (1,2),(2,3),(3,4) 前者是后者的特殊情形前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可即可 增量增量 导数导数 恒为零恒为零 返回返回上页上页下页下页练习题答案练习题答案返回返回上页上页下页下页第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 一、一、 型未定式型未定式 00定理定理1 设设f(x),g(x)满足下列条件：满足下列条件： (1) f(x)=0, g(x)=0； (2) f(x),g(x)在在 内可导内可导,且且g (x)0； (3) 存在存在 (或

16、为或为)则则0limxx)(0oxU)()(lim0 xgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 0limxx返回返回上页上页下页下页证证 由条件由条件(1),设设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件由条件(1)和和(2)知知f(x)与与g(x)在在U(x0)内连续内连续 设设x ,则则f(x)与与g(x)在在x0,x或或x, x0 上满足柯西上满足柯西定理的条件定理的条件, )(0oxU)()()()()()()()()(000之之间间与与在在xxgfxgxgxfxfxgxf 当当xx0时时,显然有显然有 x0,由条件由条件(3)得得)()(lim)()(li

17、m)()(lim000 xgxfgfxgxfxxxxxx 返回返回上页上页下页下页例例23466lim443123lim8421612lim22222332 xxxxxxxxxxxxx.8421612lim2332 xxxxxx求求解解如果如果 仍为仍为 型未定式型未定式,且且f (x),g (x)满足满足)()(lim0 xgxfxx 00定理条件，则可继续使用洛必达法则定理条件，则可继续使用洛必达法则.注意注意:返回返回上页上页下页下页例例2.cossinsinlim420 xxxxxx求解解313sinlim3sincoscoslimcossinlimsinlimcossinlimcos

18、sinsinlim 02030030420 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回返回上页上页下页下页推论推论1 设设f(x)与与g(x)满足满足 (1) f(x)=0, g(x)=0; (2) 存在存在X0,当当xX时时,f(x)和和g(x)可导可导,且且g (x)0; (3) 存在存在(或为或为)则则 xlim xlim)()(limxgxfx )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 证证 令令x=1/t,则则x时时,t0 )()(lim1)1(1)1(lim)1()1(lim)()(lim2200 xgxfttgttftgtfxgxfxttx 返回返回上页

19、上页下页下页例例3.1)1ln(limxxax 求求解解axaaxxaxaxxaxxx 1lim 1)()1(lim1)1ln(lim21返回返回上页上页下页下页二、二、 型未定式型未定式 定理定理2 设设f(x),g(x)满足下列条件：满足下列条件： (1) f(x)=, g(x)=； (2) f(x)和和g(x)在在 内可导内可导,且且g (x)0； (3) 存在存在(或为或为)则则 0limxx0limxx)(0oxU)()(lim0 xgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 返回返回上页上页下页下页推论推论2 设设f(x)与与g(x)满足满足 (1) f

20、(x)= , g(x)= ; (2) 存在存在X0,当当xX时时,f(x)和和g(x)可导可导,且且g (x)0; (3) 存在存在(或为或为)则则 xlim xlim)()(limxgxfx )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 返回返回上页上页下页下页例例401lim 1limlnlim1 axaxaxaxaxxxx .0lnlim axxax求求解解返回返回上页上页下页下页3262cos26cos6lim sincos63sin3cos6lim cos33coslim3cos3cos1lim3tantanlim222222222 xxxxxxxxxxxxxxxxx .3tan

21、tanlim2xxx 解解例例5返回返回上页上页下页下页三、三、 其它未定式其它未定式 若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)0且且g(x),则称则称limf(x)g(x)为为0型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)且且g(x),则称则称limf(x)-g(x)为为-型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)且且g(x),则称则称limf(x)g(x)为为00型型未定式未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)1且且g(x),则称则称limf(x)g(x)为为1 型型未定式未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f(x)且且g(x)0,则称则称limf(x)

22、g(x)为为 0型未定式型未定式 返回返回上页上页下页下页型未定式解法00,1 ,0 ,0例例6 6解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其化为洛必达法则可解决的类型将其化为洛必达法则可解决的类型 . 型0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或返回返回上页上页下页下页例例70lim21 21limlnlimlnlim20302020 xxxxxxxxxxx.lnlim20 xxx 求求解解返回返回上页上页下页下页例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinli

23、m0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:返回返回上页上页下页下页步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取取对对数数.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 返回返回上页上页下页下页例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原原式式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(co

24、tln1ln1xxxex因为)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原原式式返回返回上页上页下页下页例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原原式式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件返回返回上页上页下页下页例例13解解31tanlim31tanlimcos1lim316tansec2lim3sec1limtanlimsintanlim),0(sin,

25、0020202203020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx则则有有由由换换先先进进行行等等价价无无穷穷小小的的代代.sintanlim20 xxxxx 求求返回返回上页上页下页下页一一、 填填空空题题：1 1、 洛洛必必达达法法则则除除了了可可用用于于求求“00” ，及及“ ”两两种种类类 型型 的的未未 定定 式式的的 极极限限 外外 ，也也 可可 通通 过过 变变 换换 解解 决决_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _

26、_ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，等等型型的的未未定定式式的的求求极极限限的的问问题题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页三三、 讨讨论论函函数数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点点0 x的的连连续续性性. .返回返回上页上页下页下页练习题答案练习题答案返回返回上页上页

27、下页下页)(0 xy)()(000 xxxxxf第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 回顾微分概念回顾微分概念: 若若 在点在点 的某邻域内可导，则有的某邻域内可导，则有f(x)=f(x)0 xf+)()(000 xxxxxff(x)即即从而在点从而在点 的某邻域内，的某邻域内，0 xf)(0 x+)(00 xxxf上式表明，如果我们用关于上式表明，如果我们用关于 的一次多项式作为的一次多项式作为 的函数值，则其误差是关于的函数值，则其误差是关于 的一个高阶无穷小的一个高阶无穷小.0 xx0 xxf(x)近似公式有两点不足近似公式有两点不足:(1) 精度不高；精度不高； (2) 没有误差估计式没有误

28、差估计式.返回返回上页上页下页下页于是，设想用一个关于于是，设想用一个关于 的的n次多项式次多项式与一个关于与一个关于 的高阶无穷小来表达函数的高阶无穷小来表达函数 ，即使，即使0 xxnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 nxx)(0f(x)f(x)=nnnxxxxaxxaxxaa)()()()(00202010英国数学家泰勒提出并证明了上述设想的正确性英国数学家泰勒提出并证明了上述设想的正确性.显然显然)(00 xfa )(,01xfa! 2)(,02xfa 如此下去，有如此下去，有, 2 , 1 , 0!)(0)( kkxfakk返回返回上页上页下页下页nnnxx

29、nxfxxxfxxxfxfxp)(!)( )(!2)()(! 1)()()(00)(200000 从而有从而有返回返回上页上页下页下页)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 返回返回上页上页下页下页)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 为函数为函数 在点在点 处的处的n阶泰勒公式阶泰勒公式.f(x)0 xx 10(1)!nMxxn 00( )lim()nnxxR xxx0 xnR0()nxxnR0()nxx而且而且从而当从而当x时，时，(x)是关于是关于的高阶

30、无穷小，的高阶无穷小， (x)o( ）,称这种形式的余项为称这种形式的余项为皮亚诺余项皮亚诺余项np( )作为作为 的近似值，的近似值，由此可见，如果我们用由此可见，如果我们用x则其误差有估计式则其误差有估计式f(x)( )nRx称称=0，于是余项又可以表示为于是余项又可以表示为返回返回上页上页下页下页称为称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项)()(!1)()(010)1(之间与在余项xxxxnfxRnnn特别地，当0 x0时的泰勒公式，又称为马克劳林公式：(0)2!f2x( )(0)!nnfxn(1)1( )(1)!nnfxn + (在0与 之间)，+ xxx(0)2!f2x( )(0)!nnf

31、xnnx+o()xxf( )=f(0)+f(0) +或 f( )=f(0)+f(0) +返回返回上页上页下页下页0()2!fx2x( )(0)!nnfxn(1)1()(1)!nnfxxn具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成： + (01) f(x)= f(0)+f(0)x+二、二、 函数的泰勒展开式举例函数的泰勒展开式举例返回返回上页上页下页下页exe例例1 写出函数写出函数的的n阶马克劳林公式，并利用阶马克劳林公式，并利用的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差f(x)=三阶马克劳林多项式计算三阶马克劳林多项式计算ex( )nfex(1)( )nfxex解解 由由,， ， ,得得f（x)

32、=(x)=( )nf(1)nf ()f(0)=1,f（0)=1,，e于是得于是得ex的马克劳林公式为的马克劳林公式为ex22!x!nxn1e(1)!nxn + （0)=1, =1+x+(在在0与与x之间之间)，ex22!x!nxn+，1+x+误差为因此1e( )(1)!xnnR xxn返回返回上页上页下页下页12,n 3,则则取取x=e1213!21( )213!31( )2 1+16458，其误差其误差1122444341e1e1311.8 1( )( )( )( )24! 24! 24! 24! 2R0.00470.0055310返回返回上页上页下页下页 例例2 写出函数写出函数f(x)=

33、sinx的的n阶马克劳林公式阶马克劳林公式返回返回上页上页下页下页(1) x2(1)ax( )nf ( ( -1)，（x） ，例例3 求函数求函数f(x)= 为任意实数为任意实数)在在x=0点的泰勒公式点的泰勒公式1)1)(1() 1(xn于是有于是有 ( (1)(n+1),，f(0)=1, f(0)= ,f(0)=(0)= (1) x从而得从而得f(x)= 在在x=0点的泰勒公式为点的泰勒公式为(1) x(1)2! 2x(1)(1)!nn nx 1+o()x+nx(1)nx2(1)2!n nx1nnxnx特别地，当特别地，当n(正整数正整数)时，有时，有+. =1+nx+1(1) x解解 由

34、于由于f(x)= ，f(x)= -1),，( )nf返回返回上页上页下页下页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 返回返回上页上页下页下页xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减

35、减少少在在那那末末函函数数，内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA一、单调性的判别法一、单调性的判别法第四节第四节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 返回返回上页上页下页下页证证 对任意对任意x1 , x2 a,b, 设设x10, x(- /2, /2),所以所以y=sinx在在- /2, /2上严格单调增加上严格单调增加.例例1 证明证明y=sinx 在在- /2, /2上严格单调增加上严格单调增加.返回返回上页上页下页下页例例2 2解解.1

36、的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函函数数单单调调减减少少；,), 0(内内在在 , 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(: D又又返回返回上页上页下页下页上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分分界点界点方法方法: :.,)()(0)

37、(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 二、单调区间求法二、单调区间求法返回返回上页上页下页下页例例3 3解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,( 时时，当当21 x, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在2 , 1时时，当当 x2, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在),

38、2 单调递增区间为单调递增区间为，1 ,( ，2 , 1)., 2 单调递减区间为单调递减区间为返回返回上页上页下页下页例例4 4解解.)(32的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 0 时时，当当 x0, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在0 ,( 单调递减区间为单调递减区间为，0 ,( )., 0 32xy 单调递增区间为单调递增区间为返回返回上页上页下页下页例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xx

39、xf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上上单单调调增增加加；在在), 0 , 0)0( f时时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上上单单调调增增加加但但在在 返回返回上页上页下页下页单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用要应用.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数

40、和证明不等式.三、小结三、小结返回返回上页上页下页下页二、二、 函数的极值函数的极值 定义定义1 设设f(x)在在x0的某邻域的某邻域U(x0)内有定义内有定义.若对任意若对任意x (x0), 有有 f(x)f(x0)f(x)f(x0),则称则称f(x)在点在点x0处取得处取得极大值极大值(极小值极小值)f(x0),称为称为极大值点极大值点(极小值点极小值点) U极大值和极小值统称为极极大值和极小值统称为极值值,极大值点和极小值点统极大值点和极小值点统称为称为极值点极值点 返回返回上页上页下页下页. 0)( ,)( ,)( 000 xfxfxIxf则则必必有有存存在在且且处处取取极极值值在在该

41、该区区间间的的内内点点内内有有定定义义在在某某区区间间设设函函数数)(2定定理理费费马马定定理理Fermat0)()(lim)( 0)()( ,),(,)(0000000000 xxxfxfxfxxxfxfxxxUxxfxx故有时当对任意则由定义为极大值不妨设证返回返回上页上页下页下页0)( 0)()(lim)(0)()(,00000000 xfxxxfxfxfxxxfxfxxxx从从而而得得到到有有时时当当通常称通常称f (x)=0的根为的根为函数函数f(x)的驻点的驻点.可见，可见，可导函数的极值点一定是驻点可导函数的极值点一定是驻点但要注意的是但要注意的是:驻点不一定是极值点驻点不一定是

42、极值点.返回返回上页上页下页下页3定理定理.)(, 0)( ),(, 0)( ),()2(;)(, 0)( ),(, 0)( ),()1 (,)(,)( 0000000000000取得极小值在则对任意若对任意取得极大值在则对任意若对任意内可导在处连续在设xxfxfxUxxfxUxxxfxfxUxxfxUxxUxxf从几何直观看，定理的结论很明显从几何直观看，定理的结论很明显: 返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页.)(),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),()(, 0)( , 0)( .),)( )()( ),(,),1(002200200001010

43、1000取取极极大大值值在在从从而而故故得得由由有有对对任任意意同同理理故故得得由由有有对对任任意意由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理只只证证证证xxfxfxffxfxxxxfxfxfxUxxfxffxfxxxxfxfxfxUx 返回返回上页上页下页下页例例1.22)3(,10)1()(;0)( ,),3(;0)( ,)3, 1(;0)( ,)1,(,3, 1,0)( )3)(1(3963)( 212 ffxfxfxxfxxfxxxxfxxxxxf极极小小值值为为的的极极大大值值为为故故得得时时当当时时当当时时当当得得驻驻点点令令.593)(23的的极极值值求求 xxxxf解解返回返回上页上

44、页下页下页4定定理理.)(,0)()2( ;)(,0)()1( ,0)(,0)(,)()( 0000000取取极极小小值值在在时时当当取取极极大大值值在在时时当当则则且且内内具具有有二二阶阶导导数数在在设设xxfxfxxfxfxfxfxUxf ).)()(!2)()()(,0)( )(20200000 xxoxxxfxfxfxfxxf 得得并并注注意意到到处处展展开开为为二二阶阶泰泰勒勒公公式式在在将将证证返回返回上页上页下页下页,),(),(),(,)()(,0000020200第第一一项项上上式式右右端端的的正正负负取取决决于于时时使使当当所所以以的的无无穷穷小小量量高高阶阶是是比比时时因

45、因为为 xUxxUxUxxxxoxx ;)(),()(),(,0)(;)(),()(),(,0)(0000000000为为极极大大值值即即有有对对任任意意时时当当为为极极小小值值即即有有对对任任意意时时故故当当xfxfxfxUxxfxfxfxfxUxxf 返回返回上页上页下页下页.2)1(,06)1( ;2)1(,06)1( , 10)( 6)( )1)(1(333)( 2为为极极小小值值所所以以为为极极大大值值所所以以由由于于得得令令 ffffxxfxxfxxxxf.3)(3的的极极值值求求xxxf 例例2解解返回返回上页上页下页下页一一、 填填空空题题：1 1、 函函数数7186223 x

46、xxy单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 函函数数212xxy 在在区区间间 - -1 1, ,1 1 上上单单调调_ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上单单调调减减. .3 3、函函数数22ln xxy 的的单单调调区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 单单减减区区间间为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题返回返回上页上页下页下页练习题答案练习题答案返回返回上页上页下页下页而如果而如果 在

47、在(a,b)内只有有限个驻点或导数不存在的点，内只有有限个驻点或导数不存在的点，不妨设为不妨设为 ，)(),(),(),()(max )(),(),(, )(max)(max ,)(, 1,1,bfxfxfafmixxfbfxfxfafxfbaxfnbaxnbax上的最值为在于是第五节第五节 最优化问题最优化问题求一个函数求一个函数(称为目标函数称为目标函数)的最大值或最小值问题的最大值或最小值问题 称为最优化问题称为最优化问题.nxxx, 21)( xf)( xf)( xf我们已经知道，若我们已经知道，若 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, 则则 在在a,b上必取得最大值与最小值上必取得最

48、大值与最小值.如果最值在如果最值在(a,b)内取得，则它一定是极值；内取得，则它一定是极值；最值也可能在区间端点最值也可能在区间端点x=a或或x=b取得；取得；返回返回上页上页下页下页.3 , 128)( 24最最小小值值上上的的最最大大值值和和在在求求 xxxf.14)2()(min ,11)3()(max,3, 1.11)3(,14)2( ,2)0(,5)1().3, 1( ,2,0,0)2)(2(4)( 3,13,1321 fxffxfffffxxxxxxxfxx上上故故在在计计算算出出舍舍去去得得驻驻点点由由例例1解解返回返回上页上页下页下页.)(,)(,)(;)(,)(,)()2(.

49、)(,)(,)()(,),(),()()1(0为为最最小小值值为为最最大大值值则则上上单单调调减减少少在在若若为为最最大大值值为为最最小小值值则则上上单单调调增增加加在在若若值值小小上上的的最最大大在在它它就就是是值值时时小小为为极极大大则则当当一一个个极极值值点点内内也也只只有有唯唯一一且且在在若若bfafbaxfbfafbaxfbaxfxfbabaCxf 注注:返回返回上页上页下页下页ex，求它在定义域上的最大值和最小值，求它在定义域上的最大值和最小值例例2 设设f(x)=x解解 ex(x+1)f (x)=令令 0,得驻点得驻点x=-1 f (x)=当当x(-，-1)时，时， 0；当；当x

50、(-1，+)时时,故故x=-1为极小值点为极小值点 f (x)0，f (x)从而从而f( 1) 1e为为f(x)的最小值的最小值.limxlimxf(x)=+， 又又 f(x)=0, 所以所以 f(x)无最大值无最大值 返回返回上页上页下页下页一、一、 最大利润与最小成本问题最大利润与最小成本问题 设某种产品的总成本函数为设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为总收益函数为R(Q) (Q为产量为产量),则总利润则总利润L可表示为可表示为 L(Q) R(Q)- C(Q)要使利润最大要使利润最大,必须使产量必须使产量Q满足条件满足条件L (Q)=0,即即 R (Q)=C (Q) (1)此式表

51、明当产出的此式表明当产出的边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本 时，利润最大时，利润最大.L (Q)=R (Q)-C (Q)0,即即 R (Q) C (Q) (2)经济学中称经济学中称(1)和和(2)为为“最大利润原则最大利润原则”或或“亏损最小原则亏损最小原则” 假如假如L(Q)在在(0,+)内二阶可导，则还要求内二阶可导，则还要求返回返回上页上页下页下页单位成本单位成本(即平均成本即平均成本)最小的问题最小的问题 设某种产品的总成本为设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为则生产的平均成本为 QQCQC)()( 最小最小,必须使产量必须使产量Q满足条件满足条件 )(QC0 )(

52、 QC)()(QCQC 此式表明当此式表明当产出的边际成本等于平均成本产出的边际成本等于平均成本 时，平均时，平均成本最小成本最小.返回返回上页上页下页下页?,60001. 030601000 32获获最最大大利利润润问问每每日日产产量量为为多多少少时时可可元元产产品品单单价价为为成成本本函函数数为为设设每每日日生生产产某某产产品品的的总总QQ.Q-C(Q) 例例3解解总收益总收益 R(Q)=PQ=60Q, 总利润总利润 L(Q) R(Q) C(Q)0(001. 030100032 QQQ.令令L (Q)=0,得唯一驻点得唯一驻点Q0=200,又又L (Q0)=L (200)=-0.60，所以

53、当日产量为所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润单位时可获最大利润. 最大利润为最大利润为 L(200) =3000(元元) 返回返回上页上页下页下页例例4 设某产品的总成本函数为设某产品的总成本函数为2Q试求平均成本最小时的产量水平试求平均成本最小时的产量水平. C(Q)=54+18Q+6 ，解解 因因C(Q)=18+12Q，( )C Q54Q+18+6Q， ( )C Q令令C(Q)=得得Q=3 (Q已舍已舍)，所以当产量，所以当产量Q=3时可使平均时可使平均成本最小成本最小.返回返回上页上页下页下页例例5 5某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租

54、金定为每月每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月元时，公寓会全部租出去当租金每月增加增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费20元的整修维护费试问元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x返回返回上页上页下页下页 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯

55、一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 返回返回上页上页下页下页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例6 6形面积最大所围成的三角及线处的切线与直使曲线在该点上求一点，曲边成一个曲边三角形，在围及抛物线，由直线808022xyxyxyxy返回返回上页上页下页下页解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则则切切线线 PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB ),0,8(CTxyoPABC)16)(21

56、8(212000 xxxSABC )80(0 x返回返回上页上页下页下页, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(为为极极大大值值 s.274096)316(最最大大者者为为所所有有三三角角形形中中面面积积的的故故 s返回返回上页上页下页下页二、二、 库存问题库存问题 假定计划期内货物的总需求为假定计划期内货物的总需求为R,考虑分考虑分n次均匀进货次均匀进货且不允许缺货的进货模型且不允许缺货的进货模型. 设计划期为设计划期为T天天,待求的进货次数为待求的进货次数为n,那么每次进货的那么每次进货的批

57、量为批量为q= ,进货周期为进货周期为t= ,再设每件物品贮存一天再设每件物品贮存一天的费用为的费用为c1,每次进货的费用为每次进货的费用为c2,在计划期在计划期(T天天)内总费用内总费用E由两部分组成由两部分组成 nRnT返回返回上页上页下页下页(1) 进货费进货费 (2) 贮存费贮存费 qRcncE221 TcqE122 于是总费用于是总费用E可表示为批量可表示为批量q的函数的函数qTcqRcEEE122121 最优批量最优批量q*应使一元函数应使一元函数E=f(q)达到最小值达到最小值,021dd122 TcqRcqETcRcq122* 返回返回上页上页下页下页最优进货次数为最优进货次数

58、为 212*cTRcqRn 最优进货周期最优进货周期 RcTcnTt122* 最小总费用最小总费用 TRccTcRcTcRcTcRcE2112121222212* 返回返回上页上页下页下页三、三、 复利问题复利问题例例7 设林场的林木价值是时间设林场的林木价值是时间t的增函数的增函数V= ,又设在又设在树木生长期间保养费用为零树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间试求最佳伐木出售的时间 t2解解 考虑到资金的时间因素考虑到资金的时间因素, 晚砍伐所得收益与早砍伐晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比所得收益不能简单相比,而应折成现值而应折成现值 设年利率为设年利率为r,则在时刻则

59、在时刻t伐木所得收益伐木所得收益V(t)= 的的现值现值,按连续复利计算应为按连续复利计算应为t2-rte2e)()(trttVtA返回返回上页上页下页下页)22ln)(e22eln22)(rttArttArttrtt2)22ln(, 0)(rttA 得得驻驻点点令令)22ln)()22ln)( )22ln)()( rttArttArttAtA0)( tA.,)22ln(2将将树树木木砍砍伐伐出出售售最最有有利利时时当当rt -rte2e)()(trttVtA返回返回上页上页下页下页四、四、 其他优化问题其他优化问题例例8 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一

60、份工作,她的第她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流可使车流量最大量最大.经观测经观测,她找到了一个很好的描述平均车速她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量与车流量f(v)(辆辆/秒秒)关系的数学模型关系的数学模型 试问试问:平均车速多大时平均车速多大时,车流量最大车流量最大?最大车流量是多少最大车流量是多少?1 .31226 . 135)(2 vvvvf返回返回上页上页下页下页1 .31226 . 135)(2 vvvvf解解0)1 .31226 . 1(32351 .3135)(222 vvvvf令令得唯一驻点得唯一驻点