A05 第二章极限与连续(二)

1、上页下页铃结束返回首页补充例题下页0(1).(2).xxx 1、数列的极限xx 00 xxxx2、函数的极限收敛数列,发散数列; 收敛数列一定是有界数列.无界的数列一定是发散的.有界数列不一定是收敛数列.有界数列,无界数列上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 一、无穷大量oxyxxf1)(xxf1)(函数当x无限趋于0时,x1 就无限的增大.数列2 n当n无限增大时, 也无限增大.2n变量在各自的变化过程中都是无限增大的无穷大量.上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 一、无穷大量变量在各自的变化过程中都是无限增大的无穷大量.定义:在变量y的变

2、化过程中,如果|y|可以无限增大,则称变量y是无穷大量(简称无穷大).ylim xxf1)(函数xlimx1 0数列2 n2 nlimn上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 一、无穷大量定义:在变量y的变化过程中,如果|y|可以无限增大,则称变量y是无穷大量(简称无穷大).ylim ylim 变量y是正无穷大ylim 变量y是负无穷大xxf1)(函数xlimx1 0 xlimx1 0上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 一、无穷大量定义:在变量y的变化过程中,如果|y|可以无限增大,则称变量y是无穷大量(简称无穷大).ylim ylim 变量

3、y是正无穷大ylim 变量y是负无穷大xlimxtan 2 )(1 log 0axlimax11 1xlimx上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 二、无穷小量定义:极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).03 3)(x-limx0 0sinxlimx01 nlimn0 0tanxlimx0 2cosxlimx 无穷小量是一个极限为零的,不是很小的数(0.00001).无穷大量是一个无限增大的,不是很大的数(1000000).上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 二、无穷小量定义:极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).性质1:有限个无穷

4、小量的代数和还是无穷小量.性质2:有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.01sinxxlimxsinxlimxxxsinxlimx求推论1:常数与无穷小量的乘积是无穷小量.推论2:有限个无穷小量的乘积还是无穷小量.上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 二、无穷小量定义:极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).数列 的极限是1.1nnnnnnna 11111011nlimlimnnn an可表示为它的极限与一个无穷小量之和的形式.定理:变量y以A为极限的充分必要条件是变量y可以表示为常数A与一个无穷小量之和.上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量

5、 三、无穷大量与无穷小量的关系定理:在变量y的变化过程中(1) 如果y是无穷大量,则 是无穷小量.y1(2) 如果y(0)是无穷小量,则 是无穷大量.y1xxy221xxy0 20 xxlimx20 xxlimx上页下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 四、无穷小量的比较 h0.50.10.010.001-2h10.20.020.002-h20.250.010.0001 0.000001-设、都是无穷小量.如果 ,我们就说是比的无穷小;0 lim如果 ,我们就说与是无穷小,记作.1 lim如果 ,我们就说与是无穷小;0 clim 如果 ,我们就说是比的无穷小; lim上页

6、下页铃结束返回首页补充例题 下页2.3 无穷大量与无穷小量 四、无穷小量的比较设、都是无穷小量.如果 ,我们就说是比的无穷小;0 lim如果 ,我们就说与是无穷小,记作.1 lim如果 ,我们就说与是无穷小;0 clim 如果 ,我们就说是比的无穷小; lim0 020 xlimxxlimxx33 0 xxlimx上页下页铃结束返回首页补充例题下页总 结一、无穷大量23lim2xx 当x无限趋于2时,32x 变量 为无穷大量.二、无穷小量0lim3 sin0 xx当x无限趋于0时,3 sin x 变量 为无穷小量.性质1:有限个无穷小量的代数和还是无穷小量.性质2:有界变量与无穷小量的乘积是无

7、穷小量.定理:变量y以A为极限的充分必要条件是变量y可以表示为常数A与一个无穷小量之和.上页下页铃结束返回首页补充例题设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031机动 目录 上页 下页 返回 结束 则,limlim且.时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2上页下页铃结束返回首页补充例题(3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanl