学案5空间中的垂直关系

1、2空间中的垂空间中的垂直关系直关系以立体几何的定义、公理和定理以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理面垂直的有关性质与判定定理. .3 1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力. 2.考查线面角、面面角的方法，考查作图、证明、考查线面角、面面角的方法，考查作图、证明、计算空间想像能力和推理论证能力。计算空间想像能力和推理论证能力。 3.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这近年来开放型问题不断在高考试题

2、中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向标高考命题的一个热点考向.4 1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 如果直线如果直线l与平面与平面内的任意一条直线都垂直，我们内的任意一条直线都垂直，我们就说直线就说直线l与平面与平面互相垂直，记作互相垂直，记作 .直线直线l叫做叫做平面平面的垂线，平面的垂线，平面叫做直线叫做直

3、线l的垂面的垂面.直线与平面垂直时直线与平面垂直时,它们唯一的公共点它们唯一的公共点P叫做垂足叫做垂足. 根据定义，过一点根据定义，过一点 直线与已知平面直线与已知平面垂直；过一点垂直；过一点 与已知直线垂直与已知直线垂直.l 有且只有一条有且只有一条 有且只有一个平面有且只有一个平面 5 2.判定定理和性质定理 （1）判定定理：判定定理： ，则，则该直线与此平面垂直该直线与此平面垂直. （2）性质定理：性质定理： . 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行 6n nm mO On nm m

4、n na am ma a, , , ,=a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, ,/ / /a ab ba a, ,b bb ba a, ,a aa aa aa aa ab bb ba ab ba a/ / /7 3. 3.直线和平面所成的角直线和平面所成的角 一条直线一条直线PA和一个平面和一个平面相相交，交， ，这条直线叫做这个平面的斜，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点线，斜线和平面的交点A叫做斜足叫做斜足.过斜线上斜足以外的过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线一点向平面引垂线PO，过垂足，过垂足O和斜足和斜足A的直线的直线AO叫做叫做斜线在这个平面上的射影斜线在

5、这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上平面的一条斜线和它在平面上的的 ，叫做这条直线和这个平面所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是是 ；一条直线和平面平行；一条直线和平面平行,或在平面内，我们或在平面内，我们说它们所成的角是说它们所成的角是 的角的角. 4.二面角二面角但不和这个平面垂直但不和这个平面垂直 射影所成的锐角射影所成的锐角 直角直角 0 8 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面以二面角的棱上任

6、意一点为端点，在两个面内内 ，这两条射线所成的角，这两条射线所成的角叫二面角的平面角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角. 5.两个平面垂直的定义 一般地一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角两个平面相交，如果它们所成的二面角是是 ，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直.记作记作 . 6.两个平面垂直的判定与性质 （1）判定定理）判定定理 ，则这两个平面垂直则这两个平面垂直.分别作垂直于棱的两条射线分别作垂直于棱的两条射线 直二面角直二面角 一个平面过另一个平面的垂线一个平面过另一个平面的垂线 9（2）性质定理性质定理两个平面垂直，则一个

7、平面内两个平面垂直，则一个平面内 与另一个平面垂直与另一个平面垂直.垂直于交线的直线垂直于交线的直线 10a aa aa aa aa aa al la aa aa aa a, ,l la al la aa aa a, , ,=a a=, ,11如图如图,AB为圆为圆O的直径的直径,C为圆周为圆周上异于上异于AB的任一点的任一点,PA面面ABC,问问:图中共有多少个图中共有多少个Rt?找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直也就是找出图中的线线垂直.12PA面面ABC,PAAC,PABC,PAAB.AB为圆为圆O的直径的直径,ACBC.又又ACBC,PABC,PAAC=A,BC面面

8、PAC.PC平面平面PAC,BCPC.故图中有四个直角三角故图中有四个直角三角形形:PAC,PBC,PAB,ABC.13 线线垂直可由线面垂直的性质推得线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平直线和平面垂直面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线这是寻找线线垂直的重要依据线垂直的重要依据.14如图如图,已知矩形已知矩形ABCD,过过A作作SA平面平面AC,再过再过A作作AESB交交SB于于E,过过E作作EFSC交交SC于于F.(1)求证求证:AFSC;(2)若平面若平面AEF交交SD于于G,求证求证:AGSD.15 (1)SA平面平面AC,BC平面平面A

9、C,SABC,四边形四边形ABCD为矩形为矩形,ABBC,BC平面平面SAB,BCAE,又又SBAE,AE平面平面SBC,AESC,又又EFSC,SC平面平面AEF,AFSC.(2)SA平面平面AC,SADC,又又ADDC,DC平面平面SAD,DCAG,又由又由(1)有有SC平面平面AEF,AG平面平面AEF,SCAG,AG平面平面SDC,AGSD.16如图所示，已知如图所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分别分别是是AB，PC的中点的中点.（1）求证：）求证：MNCD；（2）若）若PDA= ，求证：求证：MN 平面平面PCD.4 45 5（1）因）因M为为AB中点，只要证

10、中点，只要证ANB为等腰为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得三角形，则利用等腰三角形的性质可得MNAB. （2）已知）已知MNCD，只需再证，只需再证MNPC，易看出，易看出PMC为等腰三角形，利用为等腰三角形，利用N为为PC的中点，可得的中点，可得MNPC.17 (1)如图如图,连接连接AC，AN，BN，PA平面平面ABCD，PAAC，在在RtPAC中，中，N为为PC中点，中点，AN= PC.PA平面平面ABCD，PABC，又，又BCAB， PAAB=A,BC平面平面PAB，BCPB，从而在从而在RtPBC中，中，BN为斜边为斜边PC上的中线，上的中线，BN= PC.AN=BN,ABN为

11、等腰三角形为等腰三角形,又又M为底边的中点为底边的中点,MNAB,又又ABCD,MNCD.2 21 12 21 118(2)连接连接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形四边形ABCD为矩形为矩形,AD=BC，PA=BC.又又M为为AB的中点，的中点，AM=BM.而而PAM=CBM=90,PM=CM.又又N为为PC的中点，的中点，MNPC.由（由（1）知，）知，MNCD，PCCD=C,MN平面平面PCD.19垂直问题的证明，其一般规律是垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想由已知想性质，由求证想判定性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去，也就是说，根据已知条件去思考有关

12、的性质定理；根据要求证的结论去思考有关思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.2021【证明】【证明】 222324如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD为等腰为等腰梯形，图梯形，图ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱分别是棱AD,AA1的中点的中点.（1）设）设F是棱是棱AB的中点，证明：的中点，证明：直线直线EE1平面平面FCC1;（2）证明：平面）证明：平面D1AC平面平面BB1C1C.25【证明】【证明】（1）证法一：

13、取）证法一：取A1B1的中点为的中点为F1.连结连结FF1,C1F1.由于由于FF1BB1CC1,所以所以F1平面平面FCC1,因此平面因此平面FCC1即为平面即为平面C1CFF1.连结连结A1D,F1C, 由于由于A1F1 D1C1 CD,所以四边形所以四边形A1DCF1为平行四边形，为平行四边形，因此因此A1DF1C.又又EE1A1D,得得EE1F1C.而而EE1平面平面FCC1，F1C平面平面FCC1，故故EE1平面平面FCC1.【分析】【分析】证明线面平行，可转化为证线线平行或面面证明线面平行，可转化为证线线平行或面面平行，故由条件寻求转化的关系；而证明面面垂直，平行，故由条件寻求转化

14、的关系；而证明面面垂直，一般用判定定理证明一般用判定定理证明.26证法二：因为证法二：因为F为为AB的中点，的中点，CD=2,AB=4,ABCD,所以所以CD AF，因此四边形，因此四边形AFCD为平行四边形，所以为平行四边形，所以ADFC.又又CC1DD1,FCCC1=C,FC平面平面FCC1,CC1平面平面 FCC1,ADDD1=D,AD平面平面ADD1A1,DD1平面平面ADD1A1,所以平面所以平面ADD1A1平面平面FCC1.又又EE1平面平面ADD1A1，所以所以EE1平面平面FCC1.故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.27(2)连结连结AC，在，在FBC中，中，FC=BC=FB,又又F为为AB的中点，所以的中点，所以AF=FC=FB.因此因此ACB=90,即即ACBC.又又ACCC1，且，且CC1BC=C,所以所以AC平面平面BB1