华中科技大学材料力学课件(李国清)

1、版权所有, 2000,2002 (c) 华中理工大学力学系华中科技大学华中科技大学 力学系力学系李 国 清copyright, 2000,2002 (c) Dept. Mech., HUST , China面向面向21世纪课程教材世纪课程教材第三章第三章 梁的弯曲梁的弯曲3.1 3.1 梁的内力梁的内力3.2 3.2 平面弯曲梁的正应力平面弯曲梁的正应力3.3 3.3 梁的弯曲剪应力梁的弯曲剪应力3.4 3.4 梁的强度计算梁的强度计算3.5 3.5 梁的合理强度设计梁的合理强度设计3.6 3.6 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲3.7 3.7 梁的变形梁的变形3.6 3.6 梁的弹塑性弯曲梁的弹

2、塑性弯曲分析：只有当整个截面上的材料都进入了屈服阶段，梁才分析：只有当整个截面上的材料都进入了屈服阶段，梁才能丧失承载能力。梁可能承受的最大载荷称为极限载荷。能丧失承载能力。梁可能承受的最大载荷称为极限载荷。 理想弹塑性简化理想弹塑性简化 此时梁的变形仍为弹性变形，故有 Ms称为梁的屈服弯矩。 zszssWyIMmax Mu称为梁的极限弯矩，也称为塑性弯矩。也可改写为 )()(12122121AAsAAssudAyydAdAyydAM)(21SSspsuWMWp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量 3.6 3.6 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲Ms称为梁的屈服弯矩zszssWyIMmax)()(

3、12122121AAsAAssudAyydAdAyydAM)(21SSspsuWMWp=S1+S2称为梁的塑性抗弯截面模量 弹性阶段，(My/Iz) e(y/r)临界状态1弹塑性阶段，弹性区A1 ( yy1)塑性区A2 (y1 yh/2)Mu称为梁的极限弯矩,也称为塑性弯矩3.6 3.6 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲理想弹塑性简化理想弹塑性简化 eO理想弹塑性应力理想弹塑性应力- -应变关系应变关系3.6 3.6 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲Ms称为梁的屈服弯矩zszssWyIMmax)()(12122121AAsAAssudAyydAdAyydAM)(21SSspsuWMWp=S1+S2称为

4、梁的塑性抗弯截面模量 弹性阶段，(My/Iz) e(y/r)临界状态1弹塑性阶段，弹性区A1 ( yy1)塑性区A2 (y1 y4)横力弯曲近似适用纯弯曲公司小变形条件：1)1 (2/32 y梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？梁的挠曲线的其它形式梁的挠曲线的其它形式)(xMyEI EIxMdxyd)(22)(xQyEI )( xqEIy 梁的（2阶）弯矩方程梁的（3阶）剪力方程梁的（4阶）弯矩方程)(xMyEI 梁的（2阶）挠曲线方程梁的转角方程梁的挠度方程1)(CdxxMEI21)(CxCdxxMEIy求解以上微分方程分别需要几个边界

5、条件？求解以上微分方程分别需要几个边界条件？梁的边界条件梁的边界条件固定端固定端自由端自由端滑动固定端滑动固定端固定铰支座和可动铰支座固定铰支座和可动铰支座自由端自由端固定和可动铰支座固定和可动铰支座y=0=Q= M=0固定端固定端y=0=0Q= M= 滑动固定端滑动固定端y= =0Q=0M= 自由端自由端y= = Q=0M=0位移条件静力条件梁的连续条件梁的连续条件相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件与转角，即满足连续、光滑条件位移的连续条件位移的连续条件)()(2211xMyEIxMyEI a)()()()()

6、()(212121ayayaaayay或位移的连续条件位移的连续条件)()()(21axPxRxMxRxMAA在梁的各部分挠曲线在梁的各部分挠曲线y连续，挠度连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）连续一阶导数连续（光滑）积分法求梁的变形积分法求梁的变形 对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为)( xMEly 对此方程连续积分两次，可得对此方程连续积分两次，可得1)()(cdxxMxEly21)()(cxcdxdxxMxEly利用边界条件确定上面二式中的积分常数利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程，即可得梁的挠度

7、方程和转角方程例例3.11 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端求自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。梁内弯矩方程梁内弯矩方程:222121)(qlqlxqxxM22 2121)(qlqlxqxxEly连续积分两次得连续积分两次得1223212161)(cxqlqlxqxxEly2122344161241)(cxcxqlqlxqxxEly利用两个边界条件利用两个边界条件:000 xxy自由端的挠度和转角最大自由端的挠度和转角最大)64(24)(222llxxELqxxy)33(6)(222llxxELqxx求得求得c1、c2都为零

8、。将其代入挠曲线方程和转角方程都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:)(8)(4max向下EIqllyy顺时针）(6)(3maxEIqll 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得两个支反力LpaRLpbRBA 显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分APBLCRAyxRBbaAC段CB段axxLpbxRxMA0 )(1LxaaxpxRxMA )()(2LpbxxMvEIz)(11)(2axpLpbxvEIz1212CLpbxvEIz22222)(2Cax

9、pLpbxvEIz11316DxCLpbxvEIz6)(6332axpLpbxvEIz22DxC0 01vx0 2vLx21 vvax21 vvax支承条件 连续条件 光滑条件APBLCyxba利用边界条件解得)(62221bLLPbCC021 DDaxxbLLEIPbz0 )3(6222Lxa x-abLxbLLEIPbz )(3 )3(62222vaxxbLLEIPbxz0 )(6222Lxa x-abLxbLxLEIPbz )( )(3222最大转度，显然在支座处)(6)0(bLEIPabzA)(6)(aLEIPabLzBBbamax Abamax 从AB， 中间必经过0。)( 0 0

10、0为极值令xvxdxdvba 设3 220bLx则3220max)(3)(bLLEIqPbxvfz当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时LLLx5 . 0 577. 0310接近简支梁无论P作用在何处用%65. 2最大误差max )2(fLf代替叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于各载荷单独作用下所引起的此量的代数和各载荷单独作用下所引起的此量的代数和叠加原理叠加原理小变性条件（几何线性）小变性条件（几何线性）材料遵循胡克定律（物理线性材料遵循胡克定律（物理线性）适用条件适用条件P

11、1P2小变性条件：计算小变性条件：计算P2的作用时，的作用时，忽略忽略P1的作用对几何尺寸的影响。的作用对几何尺寸的影响。例例3.13 试用叠加法求图（试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠的挠度度由于梁的抗弯刚度由于梁的抗弯刚度EI在在B处不连续，若由挠处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。量较大。可用叠加法求解。假定假定AB段刚化，研究自由端段刚化，研究自由端C对截面对截面B的相对的相对挠度，即考虑图（挠度，即考虑图（b）)(243)2(331EIPlEIlPyc解除

12、解除AB段的刚化并令段的刚化并令BC段刚化考虑图（段刚化考虑图（c）)(96522)2(2123)2(3232EIPlEIlplEIlPyBEIPlEIlPlEIlPB163222122)2(222由梁的变形连续条件，直线由梁的变形连续条件，直线BC因因AB段的弯曲变段的弯曲变形而移位，使形而移位，使C点有相应的挠度点有相应的挠度)(48723222EIPllyyBBc将图将图3.46（b）和（）和（c）两种情况的变形叠加）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端后，即可求得自由端C的挠度的挠度)(1634872433321EIPlEIPlEIPlyyyccc这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。这种分

13、析方法叫做梁的逐段刚化法。梁的刚度条件梁的刚度条件 在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即 maxmaxyy此两式称为此两式称为梁的刚度条件梁的刚度条件。式中式中y、 分别为构件的许可挠度和许可转角，分别为构件的许可挠度和许可转角，对不同构件有不同的要求，如：对不同构件有不同的要求，如：吊车梁:y=(1/4001/750)l，（l为跨长）；机械中的一般轴，y=（0.00030.0005）l；机械中的精密轴，y=（0.00010.0002）l； 轴上齿

14、轮，=（0.0010.002）rad（弧度）。 已知: q=10kN/m ，L=3m，bhLfGpaE2 , 2501 , 200试设计截面。ABLqhb, 120Mpa解：(1) 按强度条件设计最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面强度条件maxzWM maxMWzmNqLM3232max104531010212132646332bbbhWz)2(bh 代入强度条件：63310120104532bcmmb25. 81025. 8101202104532363cmbh5 .162 (2) 按刚度条件设计刚度条件为maxLfLfzzEIqLLfEIqLf8 83max4max3212)2(124

15、33bbbbhIz250132102008310104933b代入刚度条件可得cmb92. 821020082503101034933cmbh84.172 综合考虑强度和刚度条件，可取cmbcmh9 18所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除与荷载大小有关外，还与Ln成正比，与EIz成反比。因此，在不改变荷载的情况下，要减小梁的变形可采用以下两方面的措施。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形在几个载荷共同作用下引起的在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于各载荷单独作某一力学量等于各载荷单独作用下所引起的此量的代数和用下所引起的此量的代数和叠加原理叠加原理运用条件小

16、变性条件材料遵循胡克定律例例3.13 试用叠加法求图（试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠的挠度度由于梁的抗弯刚度由于梁的抗弯刚度EI在在B处不连续，若由挠处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。量较大。可用叠加法求解。假定假定AB段刚化，研究自由端段刚化，研究自由端C对截面对截面B的相对的相对挠度，即考虑图（挠度，即考虑图（b）)(243)2(331EIPlEIlPyc解除解除AB段的刚化并令段的刚化并令BC段刚化考虑图（段刚化考虑图（C）)(96522)2(2123)2(3232EIPlEIlplEIlPyBEIPlEIlPlEIlPB163222122)2(222由梁的变形连续条件，直线由梁的变形连续条件，直线BC因因AB段的弯曲变段的弯曲变形而移位到形而移位到 的位置，使的位置，使C点有相应的挠度点有相应的挠度