定积分及其应用精讲精练

1、第5章定积分及其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质.掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念，定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用本章将从实例岀发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理，最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用5.1定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中，我们已经学会计算多

2、边形和圆的面积，至于任意曲边所围成的平面图形的面积，只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决所谓曲边梯形，就是在直角坐标系中，由直线x=a,x=b,y=O及曲线y=f(x)所围成的图形，如图f(f(0时现在求x5.1(a),(b),(c)/在连续区间a,”上:围的曲梯形的面积A:如图Iy5.1(a),(b)所示)，用以往的知b为了求得它的面积，我们按F述步骤来计算(1)分割一一将曲边梯形分割成小曲边梯形(a)在区间a,b内任意插入n-1个分点：识没有办法i解决.(b)ax0x：x2:图5.1?xn=b，把区间a,b分成n个小区间：Xo，X1】,X1，X2,Xi,Xi,，Xn，X

3、n，第i个小区间的长度为小区间：Xo，X1】,X1，X2,Xi,Xi,，Xn，Xn，第i个小区间的长度为Xi二Xi-X匸(i=1,n)，过每个分点作垂直于x轴的直线段，它们把曲边梯形分成每个分点作垂直于x轴的直线段，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形(图5.2)，小曲边梯形的面积记为Ai(i=1,2,n).(3)求和求n个小矩形面积之禾图5.2n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A，即n=送f(q)也i取极限令二max：x当分点n无限增多且，0时，和式f(1)厶Xj的极限便是曲边梯形的面积A,即1第nA=limf(i).：Xi.i42变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t的连

4、续函数V=V(t),求物体在时刻t到t=T2间所经过的路程S.我们知道，匀速直线运动的路程公式是：s=vt，现设物体运动的速度V是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1) 分割一一把整个运动时间分成n个时间段在时间间隔匚兀内任意插入n1个分点：=t:ti：tn：tn=T2，把兀分成n个小区间：如占,匕,t2,tj占,；tnJn】，第i个小区间的长度为也1=tj-ti=1,2,n),第i个时间段内对应的路程记作.Si(i=1,2,n).(2) 近似一一在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间tti上任取一点(i=1,2,n),用速

5、度v(i)近似代替物体在时间吊上上各个时刻的速度，则有Si：v(J迸(i=1,2；n).(3) 求和一一求n个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即n二6v(ipti.i吕(4) 取极限n令二max：%当分点的个数n无限增多且；0时，和式avi“ti的极限便是所求的路程s.即id从上面两个实例可以看岀，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引岀了定积分的概念.定积

6、分的概念定义5.1设函数f(x)在区间a,b上有定义，任取分点a=冷x0时，此极限为0型不定式，两次利用洛必塔法则有0xJln(1+t)dtI叫乞Jn(1t)dt=Hm2x=lim=-x：022dx22求(t21)dt.dx1=Iim4)xQ2x解注意，此处的变上限积分的上限是x2，若记u=x2x22，则函数(t21)dt可以看成是由L1u讨二J(t21)dt与u2=x复合而成，根据复合函数的求导法则得,oesintdt=esintdt=esinx.dx2du2du2厂(t21)dt=-.i(t21)dt丁=(u21)2xdx1du1dx=(x41)2x=2x52x.一般地有，如果g(x)可导

7、，则dg(x)g(x)af(t)dt=af(t)dtx二fg(x)g(X).dxaa上式可作为公式直接使用.例求极限limx2osintdt因为limx4=0，x_0limx_04xx20sintdtsintdt=0，所以这个极限是-0-00型的未定式，利用洛必塔法则0x2sintdt0limx一0厂=啊4x322sinx2xsinx=limx刃2x22sinx=limtxqx2微积分基本公式定理5.3如果函数f(x)在区间a,b上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么bf(x)dx二F(b)-F(a).ax证由定理5.2知，：(x)f(t)dt是f(x)在区间a,b的一个原函数，则

8、a:(x)与F(x)相差一个常数C，即xf(t)dt=F(x)C.aa又因为0二Jf(t)dF(a)C，所以C-F(a).于是有ax(t)dt=F(x)-F(a).所以bf(x)dx二F(b)-F(a)成立.a为方便起见，通常把F(b)-F(a)简记为F(x)：或F(x)；，所以公式可改写为上述公式称为牛顿一莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式，又称为微积分基本公式定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题f(x)在区间a,b上的一个原函数F(x)，然f(x)在区间a,b上的一个原函数F(x)，然确切地说，要求连续函数f(x)在a,b

9、上的定积分，只需要求岀后计算F(b)-F(a)就可以了例525因为x2dx3C，所以1x2dx=1x303=1J03=1033312计算x2dx-07dx.xe1exdx=j：g=in(2)1ex=ln(1e)-1n(1e)=1.求匚2xdx.解根据定积分性质，得312-323-xdx=2-x|dx亠ij2-x|dx(2-x)dx亠i(x-2)dx1212=(2-x2)+(加2-2x)212331=5.222例求极限lim-n_C333(12333卷卷n3)4n解根据定积分定义阅读材料牛顿与莱布尼兹牛顿(Newton,Isaac,16431727)英国物理学家，数学家，天文学家理学理论体系的建

10、立者.莱布尼兹(GottfriendWilhelmLeibniz,1646-1716)世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.经典物是17、18他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在1684年10月发表的教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在1687年岀版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰岀的几何学家G、W莱布尼

11、兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.”(但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了.)因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从物理学岀发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技

12、巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，/表示积分，等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713年，莱布尼兹发表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性.你知道为什么称为牛顿莱布尼兹公式了吧！习题5.21. 求下列函数的导数:x15F(x)=.t21dtF(x)=1t2edtx2.求下列函数的极限：cos2tdt(1)xarctantdtlim-2x*x2(4)F(x)F(x)二xmlimx)0sint*ax2dtcos2tdtx1t(1)dt(x-1)2x0(1t-1-t)dtx2x3.求函数F(x)二.

13、t(t-2)dt在区间-1,3上的最大值和最小值24.求由曲线y-x2x与直线x=0,x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积5.求下列定积分的值：22(1)Xx-1)dx2x2dx01x2(5)cosxdx5.求下列定积分的值：22(1)Xx-1)dx2x2dx01x2(5)cosxdxj；(2x+x2)dx12Idxx2-e2dx05.3定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.定积分的换元积分法定理5.4设函数f(x)在区间a,b上连续，并且满足下列条件：(1) x二(

14、t)，且a二G)，b=C-)；(2) :(t)在区间,上单调且有连续的导数(t)；(3) 当t从变到时，:(t)从a单调地变到b.则有上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用x二(t)把原积分变量x换成新变量;:(t)，积分限也必须由原来的积分限a和b相应地换为新变量t的积分限和，而不必代回原来的变量x，这与不定积分的第二换元法是完全不同的从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法(即凑微分法).一般不用设岀新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求岀被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿

15、一莱布尼兹公式求岀定积分的值.例3x求dx.解令.1x=t，则x=t2-1,dx=2tdt，当x=0时，t=1，当x=3时，t=2,于是f=L=dx=0.1x1t222tdt=21(t2-1)dt=21t3一讥=833ji例532求2cos3xsinxdx.0解法一n设t=cosx，则dt二-sinxdx，当x二0时，t=1;当x=时，t=0，于是201112cos3xsinxdx=t3(-dt)=t3dt=t40=-010404解法二匹迟1-102cos3xsinxdx一02cos3xdcosx=蔦cos4x0=7解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变In2例求.e

16、-1dx.J0rsi解令,ex-1二t,则x二ln(1t2)，dx二2dt，当x=0时，t=0；当x=In2时，t=1，于1+t2是!-ex-1dx=0!-f(=x，用x,x-dx表示a,b内的任一小区间，并取小区间的左端点X为，则的近似值就是以dx为底，f(x)为高的小矩形的面积(如图5.7阴影部分)，即卩4f(x)dx.通常称f(x)dx为面积元素，记为dA二f(x)dx.阴影部分)，即卩4f(x)dx.通常称f(x)dx为面积元素，记为dA二f(x)dx.y1/0aXX+dxbxb将(3),两步合并，即将这些面积元素在a,b上“无限累加”，图就得到面积A.即A=Jf(x)dx.La一般说

17、来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：(1) 确定积分变量X，并求岀相应的积分区间a,b；(2) 在区间a,b上任取一个小区间x,xdx，并在小区间上找岀所求量F的微元dF二f(x)dx；b(3) 写岀所求量F的积分表达式Ff(x)dx，然后计算它的值.a利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注能够用微元法求岀结果的量F般应满足以下两个条件： F是与变量x的变化范围a,b有关的量； F对于a,b具有可加性，即如果把区间a,b分成若干个部分区间，则F相应地分成若干个分量542定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1) 由曲线y二f(x)和直线x=a,x

18、二b,y二0所围边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述(如图5.8所示)F面用微元法求面积A.图5.8取x为积分变量，Xa,b.在区间a,b上任取一小区间x,xdx，该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高f(x)-为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素g(x)，底边dA=f(x)-g(x)dx.写岀积分表达式，即bA二f(x)-g(x)dx.a求由两条曲线x-*(y),x二(y)，：(y)_(y)及直线y二c,y二d所围成平面图形(如图5.9)的面积.这里取y为积分变量，yc,d，用类似(2)的方法可以推岀：dA二c(y-(y)dy.例求由曲线y=x2与y=2x_x2所围图形的面积.

19、解先画岀所围的图形(如图5.10)由方程组2y=xy=2x-x2得两条曲线的交点为0(0,0),A(1,1)，取x为积分变量，x0,1.由公式得1A(2xx2x2)dx二x2-|x30=3例由方程组丿得两条曲线的交点坐标为的图形(如1图5.11).解出所围y克y2声X2与y=x-4所围图形的面;o12xA(2,-2),-2(2,-2)B(8,y=x-4，取y为积分变量，y2,4y2=2x.将两曲线方(2) 求由两条曲线y=f(x),y=g(x)，(f(x)_g(x)及直线x=a,x=：b所围成平面的面积A图5.10图5.1112程分别改写为xy及x=y-4得所求面积为2；-18.注本题若以x为

20、积分变量，由于图形在0,2和2,8两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为:34.22x2312x4x21-18.显然，对于例选取x作为积分变量，不如选取使计算简化.y作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可例求曲线y=cosx与y=sinx在区间0,兀上所围平面图形的面积解如图5.12所示，曲线y=cosx与y=sinx的交点坐标为（一，？），选取x作为42积分变量，X0,二1,于是，所求面积为=(sinxcosx)=(sinxcosx)(-cosx-sinx)2：=22.42.极坐标系下面积的计算y二sinx法求它的面积A.设曲边扇形由极坐标方程0=CL户-（：

21、）所围成（如图5.13所示）.下面用微元x以极角日为积分变量，它的变化区间是拠，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为：十），中心角为dr的圆扇形的面积，从而得面积微元为5.12dA=丄：L）2dr2P12A二丄（旳2.2于是，所求曲边扇形的面积为图5.13例面积（如图5.1解此图形部分图形面积量，r0,二，由3=a2_H+2sin+丄sin2日2图5.144这个结果就是本节前面问题积，如果知道凸轮的厚度，可进一步求出它的体积，这里不、j两倍.1述公式得:：?=a(1cosj(a所求图形的面积寸于极轴上方部分图形，取0）所围图形的A是极轴上方-为积分变兀320=丁a.21提到的凸轮横截面的面再赘

22、述3. 定积分求体积（1）旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴设旋转体是由连续曲线y二f(x)(f(x)_0)和直线x二a,x二b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成(如图5.15).取x为积分变量，它的变化区间为a,b，在a,b上任取一小区间x,x+dx，相应薄片的体积近似于以f(x)为底面圆半径，dx为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dV-二f(x)2dx，于是，所求旋转体体积为b2Vx二:af(x)dx.类似地,y*二乡=(y)和直线y=c,y=d及y轴所图5.16),旋转体的体积为x+dxiVyxf(y)2dy.泊勺曲边梯形绕

23、y轴旋转一周而成(如例545求由椭圆图5.152x+2ayox*c|_12与=1绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积.b图5.16b,解(1)绕x轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆y=pra2_x2与x轴围成的平a面图形绕x轴旋转而成.取x为积分变量，_a,a,由公式所求椭球体的体积为=二ab2(2)绕y轴旋转的椭球体，可看作右半椭圆x=ab2-y2与y轴围成的平面图形绕b、y轴旋转而成(如图5.18所示)，取y为积分变量，*-b,b,由公式所求椭球体体积为VyVyV：b2分b2y丄:3b2=4二a2b.343图5.18当a二b二R时,上述结果为V=4-R3,这就是大家所熟悉的球体

24、的体积公式3(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积A(x)是x的已知连续函数，求该物体介于x二a和x=b(ab)之间的体积(如图5.19)取x为积分变量，它的变化区间为a,b，在微小区间x,xdx上A(x)近似不变，即把x,dx上的立体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱片，从而得到体积元素dV=A(x)dx.于是该物体的体积为bVA(x)dx.*a例平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角a，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.(如图5.20)解取这平面与圆柱体的底面交线为x轴图5

25、.20图5.20y=-R3tan：.3建立如图5.20的直角坐标系，则底面圆的方程为x2yR2.立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分别为y,ytan：,即.R2x2,R2x2tan：.因而截面面积为122A(x)(R-x)tan：.2故所求立体体积为R1221一23_RV(R-x)tan：dxtan上Rx-x24. 定积分在物理上的应用举例(1)变力作功由物理学知道，物体在常力F的作用下，沿力的方向作直线运动，当物体发生了位移S时,力F对物体所作的功是W=FS.但在实际问题中，物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的，这就需要考虑变力作功的问题.由于所求的功是一个整

26、体量，且对于区间具有可加性，所以可以用微元法来求这个量.设物体在变力F=f(x)的作用下,沿x轴由点a移动到点b,如图5.21所示，且变力方向与x轴方向一致.取x为积分变量，F(x)11fIIaxx+dxbx图5.21xa,b.在区间a,b上任取一小区间x,xdx,该区间上各点处的力可以用点x处的力F(x)近似代替.因此功的微元为dW=F(x)dx,因此,从a到b这一段位移上变力F(x)所作的功为bWF(x)dx.知弹簧拉长0.01m时,需力10N,要使弹簧伸长0.05m,计算外力所做的功解由题设,0.01m时,F=10N.代入F=kx,得k=1000Nm.从而变力为F=1000x,由上述公式

27、所求的功为0.05W=(1000xdx=500x20.05=1.25(J).(2)液体的压力由物理学知道，在液面下深度为h处的压强为p=：、gh,其中是液体的密度，g是重力加速度如果有一面积为A的薄板水平地置于深度为h处，那么薄板一侧所受的液体压力F二pA.但在实际问题中，往往要计算薄板竖直放置在液体中(如前面问题2中的闸门)时，其一侧所受到的压力.由于压强p随液体的深度而变化，所以薄板一侧所受的液体压力就不能用上述方法计算，但可以用定积分的微元法来加以解决.设薄板形状是曲边梯形,为了计算方便建立如图5.22所示的坐标系，曲边方程为y=f(x).取液体深度x为积分变量，xa,b,在a,b上取一

28、小区间x,xdx,该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为y,宽为dx的小矩形水平地放在距液体表面深度为x的位置上时，一侧所受的压力因此所求的压力微元为：dF-:?ghf(x)dx.于是，整个平板一侧所受压力为bF=ghf(x)dx.a下面我们来看本节前面冋题2的答案.例修建一道梯形闸门，它的两条底边各长一侧所受水的压力.6m和4m,高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门解根据题设条件.建立如图5.23所示的1坐标系，AB的方程为y-丄x3.取x为6积分变量，x0,6,在x0,6上任一小区间x,xdx的压力微元为31dF=2:?gxyd29.810x-x3)dx,从而所求的压力为QB(

29、D,3)團5.238.23105N.5. 定积分在经济中应用举例在第3章我们研究了导数在经济问题的应用，可以对经济函数进行边际分析和弹性分析，但在实际中往往还要涉及到已知边际函数或弹性函数，来求原函数的问题，就需要利用定积分或不定积分来完成，根据导数与积分的关系有：已知边际成本MC(Q)，求总成本C(Q).Q有C(Q)二MC(x)dxC(0)，其中C(0)是固定成本，一般不为零已知边际收益MR(Q)，求总成本R(Q).意指当销售量为0QQ有R(Q)MR(x)dxR(0)MR(x)dx.其中R(0)=0被称为自然条件,时，自然收益为0.下面通过实例说明定积分在经济方面的应用549549已知某产品

30、边际成本函数MC(Q)二Q24且固定成本为1000元，求总成本函数C(Q).QC(Q)=oMC(x)dxC(0)-_Q(x24)dx=lx224x0一20Jq224Q.2Jq224Q.2某工厂生产某产品Q(百台)的边际成本为MC(Q)=2(万元/百台)设固定成本为0，边际收益为MR(Q)=7-2Q(万元/百台).收益为MR(Q)=7-2Q(万元/百台).求:(1) 生产量为多少时，总利润L最大？最大总利润是多少？(2) 在利润最大的生产量的基础上又生产了50台，总利润减少多少?QQ解(1)因C(Q)=jMC(x)dxC(0)=j2dx=2Q，所以利润函数L(Q)二R(Q)-C(Q)=5Q-Q2

31、，则L(Q)=5-2Q，令L(Q)=0，得唯一驻点Q=2.5，且有L(Q5：0.故Q=2.5，即产量为2.5百台时，有最大利润，最大利润为L(2.5)=52.5-(2.5)2=6.25万元(2)在2.5百台的基础上又生产了50台，即生产3百台，此时利润为L(3)=53-32=6万元.即利润减少了0.25万元.习题5.41.求下列曲线围成平面图形的面积(i)y=x2,y=；x(2)y二丄，y二x,y=2x2(4)y=4-X,y=0(5)y2=4x,X2y=422(6)y=x,y=(x2),y=02.求由直线丫=0与曲线(1,1)处的法线所围成图形的面积3.求下列平面图形分别绕x轴，y轴旋转所产生的立体的体积(1)y2x=1,x=0及y-2x,x=1,x(3) y=sinx,y=cosx,x=0,x=0.03m时力所做的功.4. 有一弹簧，用10N的力可以把它拉长0.005m,求把弹簧拉长5. 有一圆柱形贮水桶，高2m,底圆半径为0.8m,桶内装1m深的水，