第三章线性系统的时域分析

1、2022-3-28 二二 、 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析1. 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型位置控制系统如下图所示。(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。位置控制系统原理图2022-3-28该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置， 由控制输入信号确定,

2、角位置rr就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置， 由输出轴的位置确定。 c2022-3-28电位差()srceK ee就是误差信号。 :sK桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为 的放大器放大， 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）AKAK放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 2022-3-28(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：m aMC i ( )( )maM sC Is:mC电动机的转矩系数:ai为电枢电流

3、对于电枢电路aaa abAsdidLR iKK K edtdt()( )( )( )aaaASbL SRIsK K E sK Ss:aaLR电动机电枢绕组的电感和电阻。:bK电动机的反电势常数，:电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：22maddJfMCid td t2() ( )( )JSfSsMs (1)(2)(3)J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。1ci1( )( )cssi(4)2022-3-28据方程(1) (2) (3) (4)可画出系统方框图如下:( )( )( )( )cs H

4、sG sE s222111()()1()()maaSAmSAmbaambaaCL SRJSfSK K CiK KCK SiL SRJSfSC K SL SRJSfS(5)开环传递函数：2022-3-28( )( )( )( )cs H sG sE s222111()()1()()maaSAmSAmbaambaaCL SRJSfSK K CiK KCK SiL SRJSfSC K SL SRJSfS(5)如略去电枢电感aL111( )()(1)()SAmambaK K CiRKKK FG sC KJS JSFSSS JSfFFR 令令(1)mKS T S(6)1SAmaKK K CiR增益mba

5、C KFfR阻尼系数，由于电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。()bK1KKF开环增益mTJ F机电时间常数2022-3-28不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：()(1 )mKGsSTS(7)相应的闭环传递函数 2( )( )( )( )1( )crmsG sKssG sT SSK222212mnnnmmKTKSSSSTT 为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（7）表示为如下标准形式222( )( )( )2nnnC ssR sSS（9）2nmKTnmKT12nmT12mT Kn自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）(8)2022-3-28 2 2、 二阶系统的

6、时域分析二阶系统的时域分析(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。2022-3-282220nnSS(10)21,21nnS (11)标准二阶系统的动态特性，可以用 和 加以描述,二阶系统的特征方程： n2022-3-28 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(Unit-Step Response of Second-Order Systems)两个正实部的特征根 ,发散,负阻尼01 ，共扼复根，位于左半

7、S平面，欠阻尼系统1两个相等的负根，临界阻尼1，两个不相等的负实根，过阻尼0，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡， 无阻尼02022-3-28(1)过阻尼( )111A 221(1)nAS 322121(1)A 2222121( )()()(1)(1)nnnnC sS S S SSSSS 31222(1)(1)nnAAASS 21,21nS2022-3-28(3)过阻尼( )122(1)22(1)221( )121(1)1021(1)nntth teet （16）22(1)(1)222()()111102111nntthtcteet 2022-3-28响应曲线：响应曲线： 1时的近似处理：此时时的近

8、似处理：此时可近似地等效为具有时间常数可近似地等效为具有时间常数为为 的一阶系统。时域响应式为：的一阶系统。时域响应式为：调节时间为：调节时间为：响应特点：单调上升，无振荡和超调响应特点：单调上升，无振荡和超调2022-3-2811( )1( ),()r ttRsS222111( )()()nnnnnC sSSSSS临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应应称为临界阻尼响应( )11(1)0nnntttnnh teteett （15）(2)临界阻尼( )12022-3-2811当当 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为时，二阶系统的单位阶跃响应

9、是稳态值为1的的无超调单调上升过程，无超调单调上升过程， 响应曲线响应曲线 如右图：如右图： 响应过程单调上升，与过响应过程单调上升，与过阻尼一样，无超调，但它是阻尼一样，无超调，但它是这一类响应中最快的这一类响应中最快的，调节，调节时间为时间为 ：(2)临界阻尼( )12022-3-280121,21nnSj令n 衰减系数dj 21dn阻尼振荡频率1( )RsS，由式（9）得222( )( )( )2nnnC ssR sS 2221( )( )( )2nnnC ss R sSSS22221()()nnndndSSSS2211nnddddn(3)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应1图3-172

10、12022-3-2801对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为：2( ) 1cossin1ntddhtett 211sin()01ntdett 瞬态分量稳态分量21arccosarctg(3)欠阻尼( )二阶系统的单位阶跃响应121图3-172022-3-28稳态分量为稳态分量为1，表明图系统在单位阶跃函数作用下，不，表明图系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为振荡频率为d响应特点：振荡响应特点：振荡衰减，必有超调衰减，必有超调2022-3-28包络线包络线211nte

11、决定收敛速度决定收敛速度这是一条由欠阻尼系统的各个峰值联络而成的这是一条由欠阻尼系统的各个峰值联络而成的指数曲线指数曲线2022-3-28（4）零阻尼（零阻尼（ =0）单位阶跃响应拉氏变换：单位阶跃响应拉氏变换：时域响应式：时域响应式： 系统处于系统处于无阻尼振荡状态无阻尼振荡状态，暂态响，暂态响应为恒定振幅的周期函数，频率为应为恒定振幅的周期函数，频率为 n(也也称为称为无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率)。 2022-3-28 取不同值（取不同值（ 0）时二阶系统的位阶跃响应的曲线）时二阶系统的位阶跃响应的曲线 2022-3-28响应曲线的特征：响应曲线的特征：1、 =0时，等幅振荡

12、；时，等幅振荡； 2、0 1时，时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢；越大，曲线单调上升过程越缓慢； 5、-1 0时，振荡发散，系统不稳定。时，振荡发散，系统不稳定。 6、 -1时，单调发散，系统不稳定。时，单调发散，系统不稳定。2022-3-28不同不同 时典型二阶系统特征方程根、特征根在时典型二阶系统特征方程根、特征根在S平面上的位置及单位阶跃响应曲线。平面上的位置及单位阶跃响应曲线。2022-3-283、 二阶系统欠阻尼情况的阶跃响应性能指标在控制工程中，在控制工程中，除了那些不容许除了那些不容许产生振荡响应的产生振荡响应的系统外，通常都系统外，通常都希望控制系统具希望控制系统具有适度的阻

13、尼、有适度的阻尼、快速的响应速度快速的响应速度和较短的调节时和较短的调节时间。间。 二阶系统一般取二阶系统一般取0.4 0.8 , 0.72022-3-28欠阻尼系统的阶跃响应欠阻尼系统的阶跃响应21( )1sin(),01ntdh tett 令21( )0.5 ,arccosdh tarctg222 sin(1arccos)1ln1ndndtt在较大的在较大的 值范围内，近似有值范围内，近似有 210.60.2dnt（17）01 时，亦可用1 0.7dnt（18） （1）延迟时间 dt2022-3-28 ()1rh t 求得求得： 21sin()01ntd retd rt21rdnt（19）

14、一定，即一定，nrt , ,响应速度越快响应速度越快 （2）上升时间21( )1sin(),01ntdh tett （12）rt2022-3-28sin()cos() 0nnttndddetet21()dtgt 21tg因为0, ,2 ,d pt)(峰值时间pt对式（对式（12）求导，并令其为零，求得）求导，并令其为零，求得21( )1sin(),01ntdh tett（12） （3）pt2022-3-28 根据峰值时间定义，应取根据峰值时间定义，应取d pt （3）峰值时间（20）pt（闭环极点离负实轴的距离越远）（闭环极点离负实轴的距离越远）一定时，一定时，n21pdnt响应速度越快pt2

15、022-3-28（4 4）超调量）超调量Mp （ % % ） 将将tp带入二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应表达式，带入二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应表达式，可得：可得：超调量超调量Mp仅与仅与 有关。有关。2100100Mpeoo( )( )( ) 1( )ppc tcMpc tc2022-3-28（4 4）超调量超调量2022-3-28（5 5）调节时间调节时间t ts s 根据根据t ts s的定义，并借助二阶系统欠阻尼衰的定义，并借助二阶系统欠阻尼衰减正弦包络线图进行近似计算，可得：减正弦包络线图进行近似计算，可得：当当0 0.8时，通常使用以下近似式：时，通常使用以下近似式：3(5%)snt 2022-3-28例题9例例9:设控制系统的方框图如设控制系统的方框图如3-26图所示，当有单位阶跃信号作图所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标用于系统时，试求系统的暂态性能指标tr、tp、ts和和 %。2022-3-28解解 求出系统的闭环传递函数为：求出系统的闭环传递函数为： 因此有因此有 上升时间上升时间tr： 峰值时间峰值时间tp ： 超调量超调量 % ：调节时间调节时间ts ：2022-3-28例例10解解 （1）求出系统闭环传递函数）求出系统闭环传递函数为：为：因此有：因此有：如如3-273