第一章 无穷小的比较

1、无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 观察各极限观察各极限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大致相同大致相同与与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不存在不存在不可比不可比.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设);(, 0lim)1( o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果;)

2、,0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCCk 例例1 1.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 x

3、xxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有)( o 同理也有同理也有一

4、般地有一般地有)( o 即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 补充补充高阶无穷小的运算规律高阶无穷小的运算规律,min)()()().1(nmkxoxoxoknm 其中其中)()()().2(nmnmxoxoxo )()().3(nmnmxoxox 为有界为有界其中其中)()()()().4(xxoxoxnn 二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 意义意义 求两个无穷小之比

5、的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别

6、替换. .等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传递性例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 错错解解,0时时当当 x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)

7、(3)(21)(5lim20 .35 例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原式原式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原式原式 )1cossin(cos11lim0 xxxxxx21 解三解三 xxxxxxxxIx1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxxxxx解解1 xu令令ux 1则则得得由由uu 1)1( 130)11()11)(11(lim n

8、nuuuuuI1013121lim nuuunuu!1n 关于关于1 1型极限的求法型极限的求法)()(limxgxf )(lim, 1)(limxgxf)()(limxgxf)(ln)(limxfxge )(ln)(limxfxge )(1)1)(1lnlim)(ln)(limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两