同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较

1、1无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较2一、无穷小的比较一、无穷小的比较3无穷小无穷小+ +无穷小无穷小= =无穷小无穷小无穷小无穷小- -无穷小无穷小= =无穷小无穷小无穷小无穷小无穷小无穷小= =无穷小无穷小但：但： = =？无穷小无穷小无穷小无穷小xxx20limxxxsinlim020limxxx, 0 , 1 如如, ,0时时当当 x是无穷小是无穷小., x,2xxsin如何比较两个无穷小？如何比较两个无穷小？4x2x0.010.00010.10.010.0010.000001xxx20lim;002要快得多要

2、快得多比比 xx, 0 例例 考察考察 时，时， 趋于零的快慢趋于零的快慢0 xx2xxxxsinlim0;00sin快快慢慢相相仿仿与与 xx, 1 定义定义,lim)2( 如果如果, 0lim)1( 如如果果 是是比比就就说说);( o 记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;低阶的无穷小低阶的无穷小; ,设设. 0 且且 是比是比就说就说无穷小的比较无穷小的比较),0(lim)3( CC 如如果果是是与与就就说说 同阶无穷小同阶无穷小;6定义定义是是与与则称则称 . 记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,等价无穷小等价无穷小

3、, ,设设. 0 且且无穷小的比较无穷小的比较Ck lim)4(如如果果的的是是关关于于就就说说 ),0, 0( kC k 阶无穷小阶无穷小., 1lim)5( 如如果果7所以当所以当x 0时，时，3x 2是比是比x 高阶的无穷小，高阶的无穷小，即即3x 2 o(x)( ( x 0) ) 因为03lim20 xxx，例例 比较无穷小：比较无穷小：)(112 nnn， 因为211limnnn，所以当 n 时，所以当 n 时，n1是比21n低阶的无穷小所以当所以当x 0时，时，1- -cos x 与与x2 的同阶无穷小。的同阶无穷小。 因为21cos1lim20-xxx，当当x 0时，时，1- -

4、cos x 是是x 的二阶无穷小。的二阶无穷小。910111 12)1)(1(1lim211 - - - - - -tttttnnntnn1 1 1314二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极限定理定理1 1 ).( o 即即 两个等价无穷小的差一定是一个更高两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然。阶的无穷小，反之亦然。 原因？原因？他们太接近了，所以它们的差远远小于他们太接近了，所以它们的差远远小于它们之中的任何一个。它们之中的任何一个。定理定理1 1 ).( o 15定理定理1 1证证, - -lim - - 1lim lim ,0 ).( o 即即),( o

5、 lim. )(limo )(1limo, 1 因此因此设设则则1- -因此因此 - - ),( o设设则则 ).( o 16例例 xsin - -xcos1,0时时当当 x,sinxx,tanxx,21cos12xx- -所以所以时有时有当当0 x xtan所以所以时有时有当当0 x所以所以时有时有当当0 x),(xox ),(xox ).(2122xox 所以所以时有时有当当0 x,arcsinxx xarcsin),(xox 17定理定理2 2, 设设证证 lim lim( lim).(lim 或或A ),(lim 或或且且A lim则则 ) lim lim ).(lim 或或A ( (

6、等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )定理定理2 2, 设设),(lim 或或且且A lim则则 ).(lim 或或A ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ) limlim替换意义？替换意义？复杂复杂简单简单19将常用的等阶无穷小列举如下: xx sinxx tan2cos12xx-xx )1ln( mxxm11-211xx -nxxn1)1 (-xex1-axaxln1-2sintan3xxx -xx arcsinxx arctan 当 x 0 时 , , , 0 .mnNa其中20例例2 2.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0时时当当 x 原式原式,22tanxx,

7、55sinxx xxx52lim0.5221231x221x-.1cos1)1 (lim3120-xxx解解: :,0时当x1)1 (312- x231x1cos-x221x-0limx原式32-例例3 求求223221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx练习练习解解23例例4 4xxxx2sinsintanlim30- -求求解解 原原式式. 0 解解,0时时当当 x - -xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 错错 ,0时时当当 x,tanxx,sinxx30)2(limxxxx- -)cos1(tanxx- -330)2(21

8、limxxx注：注：加、减项加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换的无穷小不要用等价无穷小代换.24例例5.) cos1(2sin lim20 xxarcx- -求求解解 ) cos1(2sin lim20 xxarcx- -) cos1(2lim20 sin arcxxxxx- - ) cos)(1 cos1(2lim0 xxxx - - xxxxx cos11lim) cos1(2lim00 - - ) cos1lim(1lim020 x cos1221xxxxxx - -25xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例例6 6解26000coslim11 coslimlimxxxxxexxexxx-0coslimxxexx-求1例例7 7解27练习练习.cos12tanlim20 xxx- -求求解解,0时时当当 x 原式原式. 8 ,21cos12xx- -.22tanxx22021)2(limxxx281. 无穷小的比较无穷小的比较2. 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注