行列式在高中几何中的应用——三阶行列式的应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上行列式在高中几何中的应用三阶行列式的应用 向量作为沟通代数与几何的桥梁被引入高中数学，大大简化了几何问题运算量；在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。行列式在求法向量时比较简洁，明快，并且三阶行列式还可以求点到平面的距离，四面体，平行六面体的体积一、行列式的定义阶行列式的定义：符号第1行第2行第行第1列第2列第列叫做阶行列式其中表示行列式中第行第列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示列数如表示第行第列上的元素这里只介绍三阶行列式的运算规定以及应用二阶行列式的定义：符号 三阶行列式的定义：符号叫做三阶行列式（等号右边是运算结果

2、）下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用二、利用三阶行列式求法向量1定义：设平面内不共线的两个的向量的坐标为，则行列式叫平面的一个法向量，记为例：直棱柱中，为棱的中点求平面的一个法向量如图，建立空间直角坐标系，则，取面内两个不共线向量，则平面的一个法向量为：；2应用举例（1）证明线面平行：平面的一个非零法向量是，平面外一条直线的一个非零方向向量是，则平面的充要条件是（2）求二面角：面面，面的一个非零法向量是，面的一个非零法向量是，则二面角的大小为：或【例1】正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，是的中点（I）证明：平面；（）求二面角的余弦值解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：，则：， 则，平

3、面的一个法向量为：即，所以平面（）面的一个法向量为：，面的一个法向量为：，则，因此二面角的余弦值为（3）求异面直线的公共法向量：与是异面直线， 向量是直线的方向向量，是直线的方向向量，则异面直线与的一个公共法向量是：法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线和，且他们的一个法向量为，因为直线，记垂足为，记垂足为，则线段的长就是异面直线和的距离，如图，记法向量与的夹角为，则，即，故其中、分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上【例2】已知正方体的棱长为求异面直线与的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是异面直线与的一个法向量为分别在异面直线与各取一点、，异面

4、直线与的距离为三、利用三阶行列式求平面方程定理：过三点、的平面的方程为：定理：若平面的方程为：，则平面外一点到平面的距离为： 【例3】已知正方形的边长为，平面，、分别是、的中点，求点到平面的距离解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：，则：， 则平面的方程为：即：亦即：所以到平面的距离为： 四、利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体的一个顶点引出的三边所对应的向量、，则平行六面体的体积为：说明：定理中的三向量只要是平行六面体的同一顶点引出的都可以，如、等都行定理：记四面体的一个定点引出的三边所对应的向量坐标分别为：、，则四面体的体积为：说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如、等都行2.事实上，所以 【例4】已知正四棱柱，点是棱上的中点，截面与底面所成的角为，求三棱锥的体积解：记与交点为，由正方形性质知是中点且，是棱上的点，易知，则，所以 ，所以，建立如图所示的空间直角