高中数学311两角差的余弦公式课件必修4

1、第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式两角差的余弦公式1.1.公式公式:cos(-)=_.:cos(-)=_.2.2.简记符号简记符号:_.:_.3.3.使用条件使用条件:,:,都是都是_._. coscos+sinsincoscos+sinsinC C(-)(-)任意角任意角判断：判断：( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)在在cos(-)=cos cos +sin sin cos(-)=cos cos +sin sin 等式中，等式中，是任意的角是任意的角.( ).( )(2)cos 15(

2、2)cos 15的值与的值与cos 45cos 45cos 30cos 30+sin 45+sin 45sin 30sin 30的的值相等值相等.( ).( )(3)(3)化简化简cos 75cos 75cos 15cos 15+sin 75+sin 75sin 15sin 15可得为可得为 ( )( )1.2提示：提示： (1)(1)正确正确.，不仅是任意的角，而且还可以是个不仅是任意的角，而且还可以是个“团体团体”. .(2)(2)正确正确.cos 15.cos 15=cos(45=cos(45-30-30) )=cos 45=cos 45cos 30cos 30+sin 45+sin 4

3、5sin 30sin 30. .(3)(3)正确正确.cos 75.cos 75cos 15cos 15+sin 75+sin 75sin 15sin 15=cos(75=cos(75-15-15)=cos 60)=cos 60= =答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)1.2【知识点拨知识点拨】对公式对公式C C(-)(-)的两点理解的两点理解(1)(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦, ,右边的式子右边的式子是含有同名函数之积的和式是含有同名函数之积的和式, ,可用口诀可用口诀“余余正正号相反余余正正号相反”记记忆公式忆公式.

4、 .(2)(2)公式的适用条件公式的适用条件. .公式中的公式中的,不仅可以是任意具体的角不仅可以是任意具体的角, ,也可以是一个也可以是一个“团团体体”, ,如如 中的中的“ ”相当于公式中的角相当于公式中的角,“ ”相当于公式中的角相当于公式中的角 . . cos()2222类型类型 一一 两角差的余弦公式的简单应用两角差的余弦公式的简单应用 【典型例题典型例题】1.cos 501.cos 50cos 20cos 20+sin 50+sin 50sin 20sin 20的值为的值为( )( )2.cos(-152.cos(-15) )的值为的值为( )( )3.3.化简化简cos(+45c

5、os(+45)cos +sin(+45)cos +sin(+45)sin =_.)sin =_.1133A. B. C. D.232326626262A. B. C. D.4444【解题探究解题探究】1.1.两角差的余弦公式的逆用形式怎样？两角差的余弦公式的逆用形式怎样？2.-152.-15可以看成哪两个特殊角的差？可以看成哪两个特殊角的差？3.3.运用两角差的余弦公式的关键点是什么？运用两角差的余弦公式的关键点是什么？探究提示：探究提示：1.cos cos +sin sin =cos(-).1.cos cos +sin sin =cos(-).2.2.可以看成可以看成3030-45-45，或

6、者看成，或者看成4545-60-60. .3.3.熟记特殊角的三角函数值并灵活构造两角差的余弦公式的熟记特殊角的三角函数值并灵活构造两角差的余弦公式的结构形式结构形式. .【解析解析】1.1.选选C.cos 50C.cos 50cos 20cos 20+sin 50+sin 50sin 20sin 20=cos(50=cos(50-20-20)=cos 30)=cos 30= =2.2.选选C.cos(-15C.cos(-15)=cos 15)=cos 15=cos(45=cos(45-30-30) )=cos 45=cos 45cos 30cos 30+sin 45+sin 45sin 30

7、sin 30= =3.cos(+453.cos(+45)cos +sin(+45)cos +sin(+45)sin )sin =cos(+45=cos(+45-)=-)=答案：答案：3.2232162.222242.222【拓展提升拓展提升】应用两角差的余弦公式的三个注意点应用两角差的余弦公式的三个注意点(1)(1)在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是既可以是单角，也可以是复角复角. .(2)(2)要注意诱导公式的应用要注意诱导公式的应用. .(3)(3)公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择式形式

8、的选择. .【变式训练变式训练】cos 80cos 80cos 20cos 20+sin 80+sin 80sin 160sin 160的值是的值是 ( )( )A.0 B. C. D.A.0 B. C. D.【解析解析】选选B.B.原式原式cos 80cos 80cos 20cos 20+sin 80+sin 80sin 20sin 20=cos(80=cos(80-20-20)=)=1232121.2类型类型 二二 给值给值( (式式) )求值求值 【典型例题典型例题】1.1.已知已知cos(+)= cos(-)= cos(+)= cos(-)= 则则cos cos cos cos 的的值

9、为值为( )( )A.0 B. C.0A.0 B. C.0或或 D.0D.0或或2.2.已知已知sin = ( )sin = ( )且且cos = ( )cos = ( )，求求cos(-)cos(-)的值的值. .45，45 ，4545452,33,234，0,2【解题探究解题探究】1.cos(+)= 1.cos(+)= 应如何利用两角差的余弦公式应如何利用两角差的余弦公式展开？展开？2.2.欲求欲求cos(-)cos(-)的值，由已知，还必须先求得哪些量的值？的值，由已知，还必须先求得哪些量的值？探究提示：探究提示：1.+1.+可以看成可以看成-(-)-(-)，利用两角差的余弦公式展开即可

10、，利用两角差的余弦公式展开即可. .2.2.欲求欲求cos(-)cos(-)的值必须求出的值必须求出cos cos 的值和的值和sin sin 的值的值. .45【解析解析】1.1.选选A.A.由条件得，由条件得， cos(-)=cos cos +sin sin =cos(-)=cos cos +sin sin =左右两边分别相加可得左右两边分别相加可得cos cos =0.cos cos =0.2. 2. 得得又又cos = (0, )cos = (0, )，得，得sin =sin =所以所以cos(-)=cos cos +sin sin =cos(-)=cos cos +sin sin =

11、4coscoscos cos sin sin ,5 45 ，23sin ,( ,),32 5cos .3 34，274，3 52 7.12【互动探究互动探究】在题在题2 2中若没有中若没有( )( )这一条件，又如何这一条件，又如何求求cos(-)cos(-)的值？的值？【解析解析】若没有若没有( )( )，则则cos = cos = 或或cos =-cos =-又又cos = ( ), cos = ( ), 得得sin =sin =所以所以 或或3,23,25353，34，0,274，3 52 7cos12 3 52 7cos.12 【拓展提升拓展提升】给值求值的解题策略给值求值的解题策略(

12、1)(1)已知某些角的三角函数值已知某些角的三角函数值, ,求另外一些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值, ,要要注意观察已知角与所求表达式中角的关系注意观察已知角与所求表达式中角的关系, ,即拆角与凑角即拆角与凑角. .(2)(2)解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. .常常见角的变换有：见角的变换有：=(-)+=(-)+；2=(+)+(-)2=(+)+(-)；2=(+)-(-).2=(+)-(-).22 ；【变式训练变式训练】若若，均为锐角，均为锐角，则则cos cos 等于等于( )( )A. B. C. A. B. C. 或

13、或 D.D.【解题指南解题指南】cos cos 可化为可化为coscos(+)-(+)-，需求出需求出cos cos 和和cos(+)cos(+)的值，由的值，由sin = sin = sin(+)= sin(+)= 的值，确定出的值，确定出+的范围的范围. .2 53sin sin55 ，2 552 5252 5252 552 5252 55，35【解析解析】选选B. B. 因为因为，均为锐角，均为锐角，且且所以所以+为钝角，为钝角，又由又由sin(+)= sin(+)= 得得cos(+)=cos(+)=由由sin = sin = 得得cos =cos =所以所以cos cos coscos

14、(+)-(+)-cos(+)cos+sin(+)sin =cos(+)cos+sin(+)sin =2 53sin sin55 ，3545 ，2 5555，2 5.25类型类型 三三 利用三角函数值求角利用三角函数值求角 【典型例题典型例题】1.1.已知已知 且且，为锐角，则为锐角，则+的的值是值是( )( )2.2.a=(cos ,sin )=(cos ,sin )，b=(cos ,sin )=(cos ,sin )，00且且ab= = 求证：求证：-=-=510sin sin ,510 ，37A. B. C. D.4442212，.3【解题探究解题探究】1.1.要求角需要求什么？要求角需要

15、求什么？2.2.若若a=(x=(x1 1,y,y1 1) )，b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，则，则ab会得到什么结果？会得到什么结果？探究提示：探究提示：1.1.要求角需要求该角的一种三角函数值要求角需要求该角的一种三角函数值. .2.2.ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2. .【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为 且且,为锐角，为锐角，所以所以则则cos(+)=coscos(+)=cos-(-)-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=cos cos -sin sin =cos cos -sin s

16、in =又因为又因为0+0+，所以，所以+=+=2.2.ab=cos cos +sin sin =cos(-)=cos cos +sin sin =cos(-)=又又0 0 所以所以0- 0- 故故-=-=510sin ,sin ,510 2 53 10cos cos .510 ，22，.412，2，2，.3【拓展提升拓展提升】已知三角函数值求角的解题步骤已知三角函数值求角的解题步骤(1)(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. .(2)(2)求所求角的某种三角函数值求所求角的某种三角函数值. .为防止增解最好选取在上述为防止增解最好选取在上述范围内

17、单调的三角函数范围内单调的三角函数. .(3)(3)结合三角函数值及角的范围求角结合三角函数值及角的范围求角. .【变式训练变式训练】已知已知，为锐角，为锐角，cos = sin(+)cos = sin(+)= = 求求.【解析解析】因为因为为锐角，且为锐角，且cos =cos =所以所以 又又，为锐角，为锐角，所以所以+（ ），），17，5314，17，24 3sin 1cos7 ，54 3sin3sin 147 ，,2所以所以所以所以cos =coscos =cos(+)-(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =cos(+)cos +sin(+)sin = =又又为锐角，故为

18、锐角，故2511cos(13)1414 ，1115 34 31()1471472，.3 【易错误区易错误区】忽略角的范围致误忽略角的范围致误 【典例典例】已知已知，均为锐角，且均为锐角，且则则-=_.-=_.2 510cos cos ,510 ，【解析解析】因为因为，均为锐角，所以均为锐角，所以所以所以cos(-)=cos cos +sin sin cos(-)=cos cos +sin sin = =又又sin sin sin sin ，所以所以00 所以所以 -0-0,sin -sin =sin 0,cos -cos =cos 0,cos -cos =cos 0,则则(sin -sin )

19、(sin -sin )2 2+(cos -cos )+(cos -cos )2 2=1=1，且，且.即即cos(-)= (0 ),cos(-)= (0 ),则则-=-=答案：答案：02，122.331.cos 661.cos 66cos 36cos 36+cos 24+cos 24cos 54cos 54的值为的值为( )( )【解析解析】选选C.cos 66C.cos 66cos 36cos 36+cos 24+cos 24cos 54cos 54=cos 66=cos 66cos 36cos 36+sin 66+sin 66sin 36sin 36=cos(66=cos(66-36-36)=cos 30)=cos 30= =131A.0 B. C. D.2223.22.2.若若a=(cos 60=(cos 60,sin 60,sin 60) )，b=(cos 15=(cos 15,sin 15,sin 15) )，则则ab=( )=( )【解析解析】选选A.A. ab=cos 60=cos 60cos 15cos 15+sin 60+sin 60sin 15sin 15=cos(60=cos(60-15-1