浙江省杭州市2025届高三下学期二模试题 数学 含答案

2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知向量，，，则（）A．2 B．0 C． D．3．若等比数列满足，，则数列的公比等于（）A．或 B．或 C． D．4．已知数据，，…，的方差，则（）A． B． C． D．5．已知，为任意正数，若恒成立，则（）A． B． C． D．6．定义“真指数”（e自然对数的底数），则（）A． B．C． D．7．设函数是奇函数．若函数，，则（）A．27 B．28 C．29 D．308．若，，则（）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知复数（i是虚数单位），则（）A． B． C． D．10．设函数，则（）A．是偶函数 B．C．在区间上单调递增 D．为的极小值点11．设曲线，直线与曲线C的交点的可能个数的集合记为，则（）A． B．C． D．若，则且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线在点处的切线方程是__________．13．已知是单位圆，正三角形的顶点A，B在上，则的最大值为__________．14．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合A，B，C，记中元素的个数为m，则的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列表：新能源汽车A款新能源汽车B款总计男性5010x女性251540总计y25100（1）求x，y；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望．附：，．0.100.050.0100.005k2.7063.8416.6357.87916．（15分）已知函数．（1）若，求的极小值；（2）当时，求的单调递增区间；（3）当时，设的极大值为，求证：．17．（15分）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点．（1）设，（i）证明：平面；（ii）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．18．（17分）已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2，点，过F的直线交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点M，N．（1）求的方程；（2）记M，N的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；（3）设E为x轴上一点，记，分别为直线，的斜率．若为定值，求点E的坐标．19．（17分）设，，…，是1，2，…n（且）的一个排列．数列满足为，，的中位数，规定，．将中的所有取值构成的集合记为．（1）当时，求和；（2）求中所有元素之和的最大值；（3）求中元素个数的最小值．2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．12345678BCCDACBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．ABC 10．BD 11．ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13．2 14．四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．（13分）（1），；（2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联．根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；（3）随机抽取1人购买B款车的概率为：，X的可能取值有0，1，2，3，依题意X服从，．因此，．16．（15分）由题意知．（1）若，则，所以．令，得．所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于．（2）因为，所以，由，即，解得或．故的单调增区间为和．（3）当时，的极大值等于；当时，，无极大值；当时，由题意得，的极大值等于，令，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，所以故，综上所述，．17．（15分）（1）（ⅰ）因为，，所以，所以．又因为，所以平面BPD．（ⅱ）．（2）如图，建立以B为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，．所以．平面ABD的法向量为．设直线AP与平面ABD所成角为，则，设，设，所以，（当且仅当，即时取等号），即．直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值为．18．（17分）（1）由题意知，所以抛物线方程为．（2）设直线AB的方程为，，，则，，．所以，得，所以，．所以直线的方程为：，与直线AB的方程联立，解得，同理．所以．所以．所以直线AB的斜率为．（3）设，因为．因为，．所以，当时，为定值．所以．19．（17分）（1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故．当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位数只能为2或3，所以．（2）显然，不存在i使得或，故中所有元素的和，且当时，有此时成立．（3）注意到对于任意，，记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，．考虑的情形：对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数．①若此时中位数为，，不妨，则，．所以三元组将产生新的中位数，所以；②若此时的中位数为，，则，，．若，则三元组产生新的中位数；若，则三元组产生新的中位数．所以．③同理可知，若此时中位数为，；，也有；所以，，．下面证明：．比较下面两个数列：（ⅰ），，…，，，．（ⅱ），，…，，，，，，．其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序．因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同．因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组，，，，．因为，数列（ⅱ）中至少增加1个