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文档简介
1、.用待定系数法求三角函数最值用均值不等式求三角函数最值时,“各数相等”及“和(或积)为定值”是两个需要刻意凑出的条件,从何处入手,怎样拆项,如何凑出定值且使等号成立,又能使解答过程简捷明快,这确实既“活”又“巧”,对此问题,现利用待定系数法探析。例1. 设x(0,),求函数的最小值。分析:拿到此题,很容易想到下面的解法。因为sinx0,所以。故ymin=2。显然,这种解法是错误的!错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2,这样的x不存在,故为错解。事实上,此题是可以用均值不等式来解答的,但需要拆项,如何拆,既能使其积为定值,又能使“=”号成立,这确实是一个难点,笔者认为,待定系
2、数法就能很好地解决这个问题,为此,先引入一个待定系数(02,使。由均值不等式及正弦函数的有界性,得。当且仅当且sinx=1,即=时,上式等号成立。将=代入,得ymin=。另解:y=。令sinx=t(0t1,易证在(0,1上单调递减,所以。例2. 当x(0,)时,求函数的最小值。分析:因为x(0,),所以sinx0,cosx0,引入大于零的待定系数k,则函数可变形为+kcos2xk3+k=12,等号成立当且仅当,时成立。由sin2x+cos2x=1,。得,即k2=64,又k0,所以k=8。故函数y的最小值为,此时x=。例3. 设x(0,),求函数y=sinx+的最小值。分析:因为x(0,),所以sinx0,y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但,故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。解:因为x(0,),所以sinx0。因为故,等号当且仅当且sinx=1,即k=时等号同时成立。从而,故函数y=sinx+的最小值为2。例4. 求函数y=sin2x·cos2x+的最小值。分析:易得,由均值不等式得。但,故上式不能取等号。于是引入待定正实数,且+=4,则有=。当且仅当
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