第二章2.1等式性质与不等式性质第2课时

1、第2课时等式性质与不等式性质【学习目标】1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.知识梳理梳理敝材夯实基础%知识点一等式的基本性质(1)如果a=b,那么b= a.(2)如果 a=b, b=c,那么 a= c.(3)如果 a=b,那么 aic= bic.(4)如果 a=b,那么 ac= bc.(5)如果 a=b, cw0,那么 a = b. c c知识点二不等式的性质性质别名性质内容注思1对称性a>b? b<a?2传递性a>b, b>c? a>c不可逆3可加性a>b? a+ c>b+c可逆4可乘性a>b'&

2、quot;ac>bcc>0, 一c的符号a>b“? ac<bcc<0j 一5同向可加性a>b"1? a+ c>b + d c>dj一同向6同向同止可乘性a>b>0'? ac>bdc>d>0, 一同向7PJ乘方性a>b>0? an>bn(n N, n>2)同正思考辨析判断正误1 .若 a>b,贝U a c>b c.( V )a _2 .g>1? a>b.( x )3 . a>b? a+c>b+ c.( V )4?a "? a+ c&

3、gt;b+d.( x )kc>d题型探究探究贵点素养提升N一、利用不等式的性质判断或证明例1 (1)给出下列命题：若 ab>0, a>b,则1<1; a b若 a>b, c>d,贝U a c>b d;一一一、“，, a a + m对于正数a, b, m,右a<b,则b<bq7m.其中真命题的序号是答案解析 对于，若ab>0,则2>0 ,ab '1 1，所以徜所以正确;对于，若 a = 7, b=6, c= 0, d=- 10,贝U 7-0<6-(-10),错误；对于，对于正数 a, b, m,若 a<b,贝U

4、 am<bm,所以 am+ab<bm+ab,所以 0<a(b+m)<b(a+m),1，a a + m 人又加>0,所以b<j，正确.综上，真命题的序号是.(2)已知 a>b>0, c<d<0.求证:证明 因为c<d<0,所以一c> - d>0.所以 0< 1< 1. c d又因为a>b>0,所以一a> - b>0.反思感悟(1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算.(2)应用不等式的性质证明时，应

5、注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导.跟踪训练1若1<1<0,有下面四个不等式： a b|a|>|b|,a<b, a + b<ab, a3>b3.则不正确的不等式的个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案 C解析 由1<1<0可得b<a<0,从而|a|<|b|,均不正确；a+b<0, ab>0,则a + b<ab成立, a b正确；a3>b3,正确.故不正确的不等式的个数为2.二、利用性质比较大小例2 若P=qo，6 +7a+7, Q = V”与+ 听T8(a>5),则

6、P, Q的大小关系为()A. P<QB. P=QC. P>QD.不能确定答案 C解析 P2=2a+13+2'/(a+6(a+7 )Q2=2a+ 13+2A/(a+5 j(a+8 )因为(a+6)(a+7) (a+ 5)(a+ 8)=a2+ 13a + 42-(a2+ 13a+40) = 2>0 ,所以也+6 j(a+7 H(a+5ja+8 )所以P2>Q2,所以P>Q.反思感悟比较大小的两种方法作商比较法乘力比较法依据一 a a>0, b>0,且 b>1? a>b;a a>0, b>0,且 b<1 ? a<b

7、a2>b2 且 a>0, b>0? a>b应用范围问号两数比较大小或指数式之间比较大小要比较白勺两数(式)中有根号步骤作商变形判断商值与1的大小下结论乘方用作差比较法或作商比较法跟踪训练2下列命题中一定正确的是（）A.若 a>b,且1>1 则 a>。, b<0 a baB .右 a>b, bw 0,则->1 bC.若 a>b,且 a+c>b+d,贝U c>dD.若 a>b,且 ac>bd,贝U c>d答案 A解析一一一 1 1 b-a对于A'a>，F>0,又 a>b,ba&

8、lt;0,ab<0 ,a>0, b<0,故 A 正确； 对于B,当a>0, b<0时，有：<1,故B错；对于 C,当 a=10, b=2 时，有 10+1>2+3,但 1<3,故C错；对于 D,当 a=- 1, b= 2 时，有(一1)X(1)>( 2)X3,但一1<3,故 D 错.三、利用不等式的性质求范围例3 已知12<a<60,15<b<36.求a b和a的取值范围.b解 ,-15<b<36,-36<-b<-15, . 12 36<ab<60 15,即一24<a

9、b<45.36 b 15'12 a 60 Bn1 a<-<, 即一<一4.36b 15'3 b1 a .故24<a b<45, 3Vb<4.延伸探究已知1WabW2且2Wa+ b<4,求4a2b的取值范围.解令 a+b= jj, ab= v,贝U 2w 四04,1 w yC2.a+ b=由|a b= v,解得|1+ Ya = 2 ，叶 Y (1 Y1 1 4a 2b = 4 2一 2 . 2 = 2 叶 2 v叶 v=叶 3 v而2W乒4,3< 3慰6,则5<叶3庭10,5<4a-2b< 10.反思感悟同向

10、不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.跟踪训练3 已知0<a+b<2, 1<b a<1,贝U 2ab的取值范围是 .35答案 2<2a b<2解析 因为 0<a+b<2, 1< a+b<1,且 2ab=2(a+b) 2( a+b),结合不等式的性质可得，35-2<2a-b<2.随堂演练葩础巩固学以致用N1.已知a+b>0, b<0,那么a, b, a, 一 b的大小关系是()A. a>b>b> aB. a>

11、b> a>bC. a> b>b> aD. a>b> a> b答案 C解析 由 a+b>0 知，a> b, . 一a<b<0.又 b<0, b>0, - a> b>b> a.2.已知a, b, cC R,则下列命题正确的是 ()A . a>b? ac2>bc2Ba>% a>bc ca>b 1 1ab>0 o 1 1C. ab<0 ? a>bD. a>b ? a>8答案 C解析 当c= 0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab&

12、lt;0时，a>b?号<，即1>1, Cab ab'a b'成立.同理可证 D不成立.3.若a>b>0, c<d<0,则一定有（a bA.d>ca bB.d<ca b c.->-c da b D. <c d答案解析因为 c<d<0,所以一c> - d>0 ,1 即,>>0.一 d 一 ca b 从而有d<c.4.若a>b>c,则下列不等式成立的是11不 >brcD. ac<bcC. ac>bc答案解析a>b>c,a c>b

13、c>0,1 1a c b c故选B.115.若a, 3满足一2<a<华，则 l 3的取值范围是 .答案 一1< a体0一一 11斛析 :一 2<a<2，11一2<一伊， 一 1< 民 一 3<1.又（X< 氏.=（X 3<0 5 b, 1< 民-户0.课堂小结1 .知识清单：（1）等式的性质.（2）不等式的性质及其应用.2 .方法归纳：作商比较法，乘方比较法.3 .常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.课时对点练注更双感强化落实%.叶基础巩固1.如果 a<0, b>0,那么下列不等

14、式中正确的是（）1 1 A.a<bB. <VbD. ai>|b|答案 A解析a<0, b>0,111 1a<。，b>。，式、故选 A.且a>b,则下列不等式一定成立的是（）A . a+ c> b c2cC口 >0B. ac>bc-2、D. (a-b)c >0答案 D解析 aAb, .,.a-b>0,(a- b)c2>0,故选 D.11 ,3已知a>b>c，则工十二的值是（）B.负数D.非负数A.正数C.非正数答案 A解析c a+ b c,+= "：= T ：，b c c a （bcjc a

15、） （bcjc a ja>b>c,b c>0, c a<0, b a<0,.11-+>0,故选 A.b c c a4 .若x>1>y,下列不等式不一定成立的是（）A . xy>1yB. x- 1>y1C. x- 1>1 - yD. 1 -x>y-x答案 C解析 利用性质可得 A, B, D均正确，故选C.5 .已知a<0, b<- 1,则下列不等式成立的是 （）A- a>a>b2BMb"C.a>a> 信D-h>ia2>ab bb b答案 D解析 a<0, b&

16、lt;-1, .<>0, b2>1, b，0<土<1, .o>1a2>* a a1 1 一6 .不等式a>b和一>工同时成立的条件是 .a b答案 a>0>b解析若a, b同号，贝U a>b? -<1. a b7 .给出下列命题：a>b? ac2>bc2; a>|b|? a2>b2; a>b? a3>b3; |a|>b? a2>b2 其中正确命题的序号是答案解析 当c2 = 0时不成立；一定成立;当 a>b 时，a3-b3=(a- b)(a2 + ab+b2)=

17、(ab) " + ? j + 4b2 >0 成立；当b<0时，不一定成立.如：|2|>3,但22<(-3)2.8 .设 a>b>c>0, x=Ra2+(b+cj, y=b2+(c+ a j, z= .c2+(a+bj,贝U x, y, z的大小顺 序是.答案 z>y>x解析a>b>c>0,y2 x2= b2+ (c+ a)2 a2 (b + c)2= 2ac 2bc= 2c(a-b)>0, y2>x2,即 y>x.同理可得 z>y,故z>y>x.9.判断下列各命题的真假，并说明

18、理由.(1)若 a<b, c<0,贝U c<c； a b(2),<授,则 a>b; c c(3)若 a>b,且 kC N*,贝U ak>bk;(4)若 a>b, b>c,贝U a b>b c.解 假命题.a<b,不一定有ab>0,推不出 我, .,.是假命题.(2)假命题.当c>0时，c 3>0 ,则a<b,，是假命题.(3)假命题.当a= 1, b=2, k=2时，显然命题不成立，.是假命题.(4)假命题.当a=2, b=0, c=3时，满足a>b, b>c这两个条件，但是 a- b = 2

19、<b- c= 3,.是假命题.10.若1<a+b<3,2<ab<4,求 2a+3b 的取值范围.解 设 2a+3b= x(a+b)+y(ab),x+ y=2, 则fx y=3,5 x=1 y=-2-5 5151因为一5<（a+13）<5，-2< -（a- b）< -1,9 5113所以a<5（a+b） 5（ab）<w，913所以-<2a+3b<y.11.下列命题正确的是（）A.若 ac>bc,则 a>b1 1C.若£>S，则 a<b答案 DB.若 a2>b2,贝U a>b

20、D.若近贝U a<b解析 对于A,若c<0,其不成立；对于B,若a, b均小于。或a<0,其不成立；对于 C,若a>0, b<0,其不成立；对于D,其中a>0, b>0,平方后显然有 a<b.12.已知x>y>z, x+y+ z= 0,则下列不等式中一定成立的是（）A. xy>yzB. xz>yzC. xy>xzD. x|y|>z|y|答案 C解析 因为 x>y>z, x+ y+ z= 0,所以 3x>x+ y+ z= 0,3z<x+ y+ z= 0,所以 x>0, z<0.

21、x>0, 所以由5 可得xy>xz.ly>z,13.若a, b, c R, a>b,则下列不等式成立的是 （）1 12 2A.-<-B. a >ba b a bC.百D. a|c|>b|c|答案 C解析 对于A,若a>0>b,则1>o, ；<o, a b，1 1 一一此时->工，.A不成立； a b对于B,若a=1, b= 2,则a2<b2, B不成立；对于 C, ,c + 1 > 1,且 a> b,a b ,1>恒成立，C成立；对于D,当c=0时，a|c|=b|c|,D不成立.14.有外表一样，重量不同的四个小球