立体几何中的夹角、距离、向量归纳

1、精选优质文档-倾情为你奉上空间中的夹角问题一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是。（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决（3）具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；DBAC证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角2、直线与平面所成的角（1）直线与平面所成的角的范围是。（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。（3）具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在

2、平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。3、二面角（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。（2）作二面角的平面角常有三种方法 图一 图二 图三棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示空间

3、中的距离问题1、点到直线的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离。在直角三角形中求出的长即可。例1、在ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A到BC的距离。ABCDD解：作，垂足为D，又 AB=2，BC=3，AC=4， 点A到BC的距离为2、点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法 例2、如图，在长方体中，E在

4、AD上，且AE=1，F在AB上，且AF=3，（1）求点到直线EF的距离；（2）求点C到平面的距离。解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=，, 设到EF的距离为，则 （2）设C到平面的距离为 又 3、异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。例3、三角形ABC是边长为2的正三角形， 平面ABC，P点在平面ABC内的射影为O，并且PA = PB = PC =。求异面

5、直线PO与BC间的距离。分析：过点P作平面ABC的垂线段PO，但是必须了解垂足O的性质，否则计算无法进行。为此连结OA，OB，OC（如图）则由PAPBPC可得OAOBOC，即O是正三角形ABC的中心于是可以在直角三角形PAO中由PA=,OA= ，得PO=。有了以上基础，只要延长AO，交BC于D，则可证明OD即为异面直线PO与BC间的距离，为。4、直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。例4、已知：正方体，E为棱的中点。求到平面ADE的距离。解： 到平面ADE的距离即为点到平面ADE的距离设点到平面ADE的距离为d，可以用等体积法求出d的值。5、平面与平面间的

6、距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。空间向量在立体几何中的应用一、平行关系：1、线线平行用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则即2、线面平行：用向量方法：或（为内任意一向量.）3、面面平行：用向量方法：二、垂直关系：1、线线垂直：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则。即：2、线面垂直：用向量法：或（为内任意不相交的两直线直线c，d的方向量.）3、面面垂直： 用向量法：三、夹角问题。1、异面直线所成的角向量法。转化为向量的夹角的余弦值的绝对值： 2、线面角向量法(为平面的一个法向量)。 3、二面角及其平面角：面面夹角：的夹角为，四、距离问题。异面直线之间的距离：，其中。直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。两平行平面之间的距离