专题14 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题14思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略

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目录

【典型例题】....................................................................................................................................................1

【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】..................................................................................................1

【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】......................................................................................................4

【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】.........................................................................8

【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】...........................................................................12

【过关检测】.............................................................................................................................................17

【典型例题】

【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】

例题：（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有AB、CD两根木条，长度分别为24cm、18cm，将它们的一

端重合且放在同一条直线上，此时AB、CD两根木条中点之间的距离为cm．

【答案】3或21

【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①BC不在AB上时，MNBMBN，②BC在AB

上时，MNBMBN，分别代入数据进行计算即可得解．

【详解】解：假设端点B和端点D重合

如图，

设较长的木条为AB24cm，较短的木条为BC18cm，

∵M、N分别为AB、BC的中点，

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∴BM12cm，BN9cm，

①如图1，BC不在AB上时，MNBMBN12921（cm），

②如图2，BC在AB上时，MNBMBN1293（cm），

综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm，

故答案为：3或21．

【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出

图形更形象直观．

【变式训练】

1．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）已知线段AB6cm，点C为线段AB的中点，点D是直线AB上的

一点，且CD2cm，则线段BD的长是（）

A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．4cm或5cm

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，由于点D的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．

【详解】解：∵线段AB6cm，C为AB的中点，

∴当点D如图1所示时，

1

ACBCAB3cm，

2

BDBCCD325cm；

当点D如图2所示时，

BDBCCD321cm

∴线段BD的长为1cm或5cm.

故选：C．

【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

2．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，

在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，

放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是．

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【答案】25cm或105cm

【分析】分两种情况画出图形求解即可．

【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，

11

MNCNAMCDAB

22

654025（厘米）；

（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，

11

MNCNBMCDAB

22

6540105（厘米）．

所以两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或105cm．

故答案为：25cm或105cm．

【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的

严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．

3．（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB8,BC3,CD5，

则AD的长为．

【答案】6或10或16

【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左

侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．

【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：

AB8，BC3，CD5，

ADABBCCD8356，

II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：

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ADABBCCD83516，

III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：

ADABBCCD8350，点A、D重合，不合题意，

IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：

ADABBCCD83510，点A、D重合，不合题意，

综上所述：AD的长为6或10或16

故答案为：6或10或16．

【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和

差关系得到AD的长度．

【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】

例题：（2023秋·七年级课时练习）已知AOB80，BOC20，OP平分BOC，则AOP等于．

【答案】70或90

【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解．

【详解】解：当如图所示时：

OP平分BOC，AOB80，BOC20，

1

AOPAOBBOC70，

2

当如图所示时：

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OP平分BOC，AOB80，BOC20，

1

AOPAOBBOC90．

2

故答案为：70或90.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．

【变式训练】

1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）已知AOB18，AOC3AOB，则BOC的度数是．

【答案】36或72

【分析】分两种情况讨论：①当OB在AOC的内部时；②当OB在AOC的外部时，分别求解即可得到

答案．

【详解】解：①如图，当OB在AOC的内部时，

AOB18，AOC3AOB，

AOC54，

BOCAOCAOB541836；

②如图，当OB在AOC的外部时，

AOB18，AOC3AOB，

AOC54，

BOCAOCAOB541872；

综上可知，BOC的度数为36或72，

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故答案为：36或72．

【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．

2．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知AOB80，OC平分AOB，射线OM与OC所形成的

角度是10，那么AOM的度数是

【答案】30或50/50或30

【分析】分两种情况：射线OM在OC的上方和射线OM在OC的下方，根据角平分线的定义和角的和差分

别计算即可．

【详解】解：如图1，

∵AOB80，OC平分AOB，

11

∴AOCBOCAOB8040，

22

∵射线OM与OC所形成的角度是10，

∴COM10，

∴AOMAOCCOM401030；

如图2，

∵AOB80，OC平分AOB，

11

∴AOCBOCAOB8040，

22

∵射线OM与OC所形成的角度是10，

∴COM10，

∴AOMAOCCOM401050；

综上可知AOM的度数是30或50．

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故答案为：30或50．

【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键．

3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知射线OC是AOB的三等分线，射线OD为AOB的平

分线，若AOC40，则COD．

【答案】20或10

12

【分析】根据三等分线的定义可得AOCAOB或AOCAOB，画出图形，进行分类讨论即可．

33

【详解】解：∵射线OC是AOB的三等分线，

12

∴AOCAOB或AOCAOB，

33

1

当AOCAOB时，如图：

3

1

∵AOC40，AOCAOB，

3

∴AOB120，

∵射线OD为AOB的平分线，

1

∴AODAOB60，

2

∴CODAODAOC20；

2

当AOCAOB时，如图：

3

2

∵AOC40，AOCAOB，

3

∴AOB60，

∵射线OD为AOB的平分线，

1

∴AODAOB30，

2

∴CODAODAOC10；

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故答案为：20或10．

【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．

【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】

例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段AB，点C是线段AB上一点，点M、N分

别是线段AC，BC的中点．

①若ACBC4，则线段MN的长度是_________；

②若ACa，BCb，求线段MN的长度(结果用含a、b的代数式表示)；

（2）在（1）中，把点C是线段AB上一点改为：点C是直线AB上一点，ACa，BCb．其它条件不

变，则线段MN的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）

1111

【答案】（1）①4，②ab，（2）ab或ba或ab

2222

11

【分析】（1）①根据线段中点的定义可得MCAC2,NCBC2，即可求解；

22

1a1b

②MCAC,NCBC，即可求解；

2222

（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段AB上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边

时．

【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，ACBC4，

11

∴MCAC2,NCBC2，

22

∴MNMCNC224，

故答案为：4；

②∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，ACBC4，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNMCNCab；

2

（2）当点C在线段AB上时，

1

由（1）可得：MNMCNCab；

2

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当点C在A左边时，

，

∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，ACa，BCb，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNNCMCba；

2

当点C在点B右边时，

∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，ACa，BCb，

1a1b

∴MCAC,NCBC，

2222

1

∴MNMCNCab；

2

111

综上：MNab或ba或ab．

222

111

故答案为：ab或ba或ab．

222

【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分

类讨论的思想．

【变式训练】

1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．

2

(1)若线段AC15，BCAC，则线段MN的长为

5

(2)若B为线段AC上任一点，满足ACBCm，其它条件不变，求MN的长；

(3)若原题中改为点B在直线AC上，满足ACa，BCb，ab，其它条件不变，求MN的长．

9

【答案】(1)

2

1

(2)m

2

1

(3)ba

2

1151

【分析】（1）先求出BC6，再由点M、N分别是AC、BC的中点，可得CMAC，CNBC3，

222

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再由MNCMCN，即可求解；

11

（2）由点M、N分别是AC、BC的中点，可得CMAC，CNBC，再由MNCMCN，即可求

22

解；

（3）分三种情况讨论：当点B在线段AC上时，当点B在AC的延长线上时，当点B在CA的延长线上时，

即可求解．

2

【详解】（1）解：AC15，BCAC，

5

BC6，

又点M、N分别是AC、BC的中点，

1151

CMAC，CNBC3，

222

159

MNCMCN3；

22

9

故答案为：；

2

（2）解：点M、N分别是AC、BC的中点，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBCACBCm；

2222

（3）解：当点B在线段AC上时，

点M、N分别是AC、BC的中点，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBC(ACBC)(ab)；

2222

当点B在AC的延长线上时，

点M、N分别是AC、BC的中点，

11

CMAC，CNBC，

22

1111

MNCMCNACBC(ACBC)(ab)；

2222

当点B在CA的延长线上时，

点M、N分别是AC、BC的中点，

11

CMAC，CNBC，

22

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1111

MNCNCMBCACBCACba．

2222

【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键．

2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段AB上，M，N

分别是AC，BC的中点,若AB12，AC8，求MN的长．

（2）设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）．

①如图2，当M，N分别是AC，BC的中点时，MN的长是___________；

11

②如图3，若M，N分别是AC，BC的三等分点，即AMAC，BNBC，请直接写出线段MN的长．

33

12

【答案】（1）6（2）①a②a

23

【分析】（1）由AB12,AC8，得BCABAC4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得

11

CMAC4，CNBC2，故MNCMCN6；

22

11111

（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CMAC,CNBC，即得MNACBCAB，

22222

1

故MNa；

2

1122222

②由AMAC,BNBC，知CMAC,CNBC，即得MNCMCNACBCAB,故

3333333

2

MNa；

3

【详解】解：（1）AB12,AC8

BCABAC4

M，N分别是AC，BC的中点

11

CMAC4,CNBC2

22

MNCMCN6

故答案为：6

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（2）①M，N分别是AC，BC的中点

11

CMAC,CNBC

22

111

MNACBCAB

222

ABa

1

MNa

2

1

故答案为：a

2

11

②AMAC,BNBC

33

22

CMAC,CNBC

33

222

MNCMCNACBCAB

333

ABa

2

MNa

3

2

故答案为：a

3

【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．

【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】

例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，OC在AOB的内部，OM平分

AOBAOB180，ON平分BOC．

(1)当AOC90，BOC60时，MON___________；

(2)当AOC80，BOC60时，MON___________；

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(3)当AOC80，BOC50时，MON___________；

(4)猜想：不论AOC和BOC的度数是多少，MON的度数总等于________的度数的一半．

【答案】(1)45

(2)40

(3)40

(4)AOC

【分析】（1）（2）（3）利用角平分线的定义求得AOM和NOC的度数，再求得MOC，进一步计算即

可求解；

（4）由（1）（2）（3）可得出结论；

【详解】（1）解：∵AOC90，BOC60，

∴AOB9060150，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB75，

2

∴MOC907515，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC30，

2

∴MONMOCNOC153045，

故答案为：45；

（2）解：∵AOC80，BOC60，

∴AOB8060140，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB70，

2

∴MOC807010，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC30，

2

∴MONMOCNOC103040，

故答案为：40；

（3）解：∵AOC80，BOC50，

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∴AOB8050130，

∵OM平分AOB，

1

∴AOMAOB65，

2

∴MOC806515，

又∵ON平分BOC，

1

∴NOCBOC25，

2

∴MONMOCNOC152540，

故答案为：40；

1

（4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论MONAOC，

2

即不论AOC和BOC的度数是多少，MON的度数总等于AOC的度数的一半．

故答案为：AOC．

【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转

化求解．

【变式训练】

1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在

点O处．射线OC平分MOB．

(1)如图1，若AOM40，求CON的度数；

(2)在图1中，若AOM，直接写出CON的度数（用含的代数式表示）；

(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，当AOC3BON时，求AOM的度

数．

【答案】(1)20°

1

(2)CON

2

(3)144°

【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；

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（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；

（3）设BOCx，依次表示出COMx，AOM1802x，BON902x，AOC180x，

最后根据AOC3BON列方程即可得到结论．

【详解】（1）因为O为直线AB上一点，且AOM40，MON90

所以BOM140°，BON50

因为射线OC平分MOB

1

所以BOCBOM70

2

因为CONBOCBON

所以CON705020

（2）因为O为直线AB上一点，且AOM，MON90

所以BOM180，BON90

因为射线OC平分MOB

11

所以BOCBOM90°

22

因为CONBOCBON

11

所以CON90°90°

22

（3）设BOCx，则COMx，AOM1802x，BON902x

因为AOCAOMCOM

所以AOC1802xx180x

因为AOC3BON

所以180x3902x解得x18

因为AOM1802x

所以AOM180218144.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键．

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2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题

如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB，AOC和BOC，若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“巧分线”．

(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．

(2)如图2，若MPN60，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ（表示出所有可能的结果探索

新知）．

(3)如图3，若MPN，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ（用含α的代数式表示出所有可能

的结果）．

【答案】(1)是

(2)30°，20°或40°

112

(3)或或

233

【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解

答；

(2)根据“巧分线”定义，分MPN2MPQ1、NPQ22MPQ2、MPQ32NPQ3三种情况求解即可；

(3)根据“巧分线”定义，分MPN2MPQ1、NPQ22MPQ2、MPQ32NPQ3三种情况求解即可．

【详解】（1）解：如图1：∵OC平分AOB，

∴AOB2AOC2BOC,

∴根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线”．

故答案为：是．

11

（2）解：如图3：①当MPN2MPQ时，则MPQMPN6030；

1122

②当NPQ22MPQ2，则MPNMPQ2NPQ23MPQ260，解得：MPQ220；

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3

③当MPQ2NPQ，则MPNMPQNPQMPQ60，解得：MPQ40．

3333233

综上，MPQ可以为30，20，40．

11

（3）解：如图3：①当MPN2MPQ时，则MPQMPN；

11222

1

②当NPQ2MPQ，则MPNMPQNPQ3MPQ，解得：MPQ；

2222223

32

③当MPQ2NPQ，则MPNMPQNPQMPQ，解得：MPQ．

33332333

12

综上，MPQ可以为，，．

233

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解

题的关键．

【过关检测】

一、单选题

1．（2023秋·河北廊坊·七年级统考期末）已知线段AB16cm，点C是直线AB上一点，BC6cm，若M

是AC的中点，则线段MB的长度为（）

A．5cmB．11cmC．5cm或11cmD．以上都不对

【答案】C

【分析】分点C在B点的左边和B点的右边两种情况，分别画出图形，结合线段中点的性质即可求解．

【详解】解：点C在B点的右边时，如图所示，

∵AB16，BC6

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∴ACABBC22，

∵M是AC的中点，

1

∴CMAC11，

2

∴BMCMBC1165，

点C在B点的左边时，如图所示，

∵AB16，BC6

∴ACABBC10，

∵M是AC的中点，

1

∴CMAC5，

2

∴BMCMBC5611，

故选：C．

【点睛】本题考查了线段的和差关系，线段的中点的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．

2．（2023春·六年级单元测试）已知AOB30，OD平分AOB，BOC50，则DOC的度数为（）

A．20B．35

C．20或80D．35或65

【答案】D

【分析】分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形求出DOC的度数即可．

【详解】解：当AOB在BOC的外部时，如图所示：

∵AOB30，OD平分AOB，

1

∴BODAOB15，

2

∵BOC50，

∴DOCBODBOC65；

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当AOB在BOC的内部时，如图所示：

∵AOB30，OD平分AOB，

1

∴BODAOB15，

2

∵BOC50，

∴DOCBODBOC35；

综上分析可知，DOC的度数为35或65，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考出了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意

分类讨论．

3．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在AOB的内部作射线OC，射线OC把AOB分成两个角，分

11

别为AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，则称射线OC为AOB的三等分线．若

33

AOB60，射线OC为AOB的三等分线，则AOC的度数为（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

【答案】C

【分析】根据题意得出AOC20或BOC20，再根据角之间的数量关系，得出AOC40，综合即

可得出答案．

【详解】解：∵AOB60，射线OC为AOB的三等分线．

11

∴AOCAOB20或BOCAOB20，

33

∴AOCAOBBOC602040，

∴AOC的度数为20或40．

故选：C．

【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．

二、填空题

4．（2023秋·七年级课时练习）已知线段AB4，在直线AB上作线段BC，使得BC2，若D是线段AC的

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中点，则线段AD的长为．

【答案】1或3

【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，

即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答

案．

【详解】解：根据题意分两种情况，

①如图1，

∵AB4，BC2，

∴ACABBC2，

∵D是线段AC的中点，

11

∴ADAC21；

22

②如图2，

∵AB4，BC2，

∴ACABBC6，

∵D是线段AC的中点，

11

∴ADAC63．

22

∴线段AD的长为1或3．

故答案为：1或3．

【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．

5．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段AB18cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三

等分点，则线段的BD长为．

【答案】15cm或12cm

【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．

【详解】解：C是线段AB的中点，AB18cm，

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11

ACBCAB189(cm)，

22

点D是线段AC的三等分点，

1

①当ADAC时，如图，

3

2

BDBCCDBCAC9615(cm)；

3

2

②当ADAC时，如图，

3

1

BDBCCDBCAC9312(cm)．

3

所以线段BD的长为15cm或12cm．

故答案为：15cm或12cm．

【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．

6．（2022秋·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫

做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，AOB2BOC，则OB是AOC的一条三分线．

（1）如图1，若AOC57，则BOC；

（2）如图2，若AOB120，OC，OD是AOB的两条三分线，且BOCAOC．

①则COD；

②若以点O为中心，将COD顺时针旋转n（0n90）得到COD，当OA恰好是COD的三分线时，

n的值为．

160200

【答案】19/19度40/40度或

33

【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；

（2）①根据三分线的定义计算即可；

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②根据三分线的定义可得BOCCODAOD40，由旋转得CODCOD40，然后分两种情

况：当OA是COD的三分线，且AODAOC时；当OA是COD的三分线，且AODAOC

时，分别求出COC和DOD的值即可．

【详解】（1）解：∵AOC57，则OB是AOC的一条三分线．

∵AOB2BOC

1

∴BOCAOC19,

3

故答案为：19

（2）①∵OC，OD是AOB的两条三分线，AOB120，

1

∴CODAOB40，

3

故答案为：40；

②∵AOB120，OC，OD是AOB的两条三分线，

∴BOCCODAOD30，

由旋转得：CODCOD30，

分两种情况：

140

当OA是COD的三分线，且AODAOC时，可得AOCCOD，

33

4080

∴DOC40，

33

80200200

∴COC40，即n；

333

140

当OA是COD的三分线，且AODAOC时，可得AODCOD，

33

40160160

∴DOD40，即n；

333

160200

故答案为：或．

33

【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，

解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．

三、解答题

7．（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）如图，B,C是线段AD上的两点，且AB:BC:CD2:3:4,M是AD

的中点，若MC1．

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(1)求线段AD的长度．

1

(2)若N是线段AD上一点，满足CNDB，求线段DN的长度．

7

【答案】(1)18

(2)6或10

1

【分析】（1）设AB2x，则BC3x,CD4x，则AD9x，根据中点可得MDAD，根据MCMDCD，

2

列出方程求解即可；

（2）先求出DB14，CN2．再分以下种情况：①当点N在线段CD上时，②当点N在线段CB上时．

【详解】（1）解：设AB2x，则BC3x,CD4x．

AD2x3x4x9x.

M是AD的中点，

19

MDADx．

22

91

MCMDCDx4xx，

22

1

由题意得x1，

2

解得x2，

AD9x18．

341

（2）解：由（1）可知DB1814,CNDB，

2347

1

CN142．

7

分以下两种情况：

①当点N在线段CD上时，DNCDCN826；

②当点N在线段CB上时，DNCDCN8210．

综上所述，线段DN的长度为6或10．

【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段之间的和差关系，解题的关键是根据图形和题目所给数量

关系，得出AD18．

8．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线AB上一点，COD90，OE是

AOD的平分线．

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(1)如图1，若COE55，求BOD的度数；

(2)如图2，OF是BOC的平分线，求EOF的度数；

(3)在（2）的条件下，OP是BOD的一条三等分线，若AOCDOFEOF，求FOP的度数．

【答案】(1)110

(2)45

(3)35或55

【分析】（1）由互余得DOE度数，进而由角平分线得到AOD度数，根据BOD180AOD可得BOD度

数；

111

（2）由角平分线得出AOEAOD(AOC90)，BOF(BOD90)，继而由

222

EOF180AOEBOF得出结论．

1

（3）DOF45BOD，结合已知AOCDOFEOF和AOCBOD90可求BOD60，

2

再由FOPDOFDOP，再根据OP是BOD的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．

【详解】（1）解：COD90，COE55，

DOECODCOE35，

OE是AOD的平分线，

AOD2DOE70，

BOD180AOD18070110；

答：BOD的度数为110．

（2）解：OE是AOD的平分线．

11

AOEAOD(AOC90)，

22

OF是BOC的平分线，

11

BOFCOFBOC(BOD90)，

22

1

EOF180AOEBOF180(AOCBOD)90

2

AOCBOD1809090，

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EOF45，

答：EOF的度数为45．

（3）解：由（2）得EOF45

AOCDOFEOF45，

DOF45AOC，

11

又DOFCODCOF90(BOD90)45BOD，

22

1

45AOC45BOD，

2

1

AOCBOD，

2

AOCBOD90，

AOC30，BOD60，

DOF453015，

1

当DOPBOD，

3

DOP20，

FOPDOFDOP152035；