1.2平面的方程ppt课件

1、第二章 平面与直线 平面与直线是空间中最简单的曲面与曲线，这一章我们将向量法和坐标法结合使用，一方面导出平面与空间直线在直角坐标系下的方程；另一方面研究点、直线、平面之间的相互位置关系与有关的度量关系。1.1平面的点法式方程1 平面的方程平面的方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平一平面，这向量就叫做该平面的法向量法矢）面的法向量法矢）法向量的特征：法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量知知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn,0000zzyyxx

2、MM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足此方程，不在平面上的平面上的点都满足此方程，不在平面上的点都不满足此方程，此方程称为平面的方程，点都不满足此方程，此方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点0000(,).Mxyz121121. 2, 1,26, 3,4.PPPPP 例已知两点 ()和 (),求通过点 且与直线垂直的平面 的方程1122, 1,2PPP 分析:平面的方程1)一个点: ()2)法向量:1.2平面的点位式方程00,PabPa bab 在空间 确定一个平面的几何条

3、件是多种多样的.若给定空间一点 与不共线的向量 和则通过点 且与向量平行的平面也唯一确定.与平面 平行的任意一对不共线的向量 与 称为平面 的一对方位向量.12. 1, 1, 52,3, 1.PPzOx 例2 求通过点 ()和 ()且垂直坐标平面的平面 的方程111122223333. ,.M x y zMxyzM xy z例3 已知不共线的三点(),(),(),求通过这三点的平面的方程即即111212121313131,0,ijkxx yy zzxxyyzzxxyyzz1112121213131310.xxyyzzxxyyzzxxyyzz平面的三平面的三点式方程点式方程. 作为三点式的特例，

4、若已知平面与x, y, z轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点，oyPxzQR平面的截距式方程平面的截距式方程. 000 cabazyax则平面的方程为abcabzacybcx有0,abc 当时 有1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴上截距轴上截距y轴上截距轴上截距z轴上截距轴上截距. 6,0,1,: :3:2:1.Mxyza b c例4 求通过点 ()且在 轴轴 轴上的截距之比为()的平面的方程由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByA

5、x平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 1.3平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设0 A，那，那么么 000 zCyBADxA，为一平面，为一平面.2.1.1, ,;, ,x y zx y z定理 空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数的一次方程 反过来,每一个关于变数的一次方程都表示一个平面.平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程oxyz, 0)2( A , 0, 0DD平面通

6、过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；xoxyz平面垂直于平面垂直于 坐标面。坐标面。yOz0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.oxyzoxyzoxyzoxyz, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy., 0面面即即有有xoyz , 0, 0DD与与z轴垂直轴垂直oxyzoxyz类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA(1)过原点的平面方程是A x + B y + C z = 0(2)平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax

7、 + By + D = 0.特别： D = 0时, 平面过坐标轴。(3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.(即z = k)(即y = k)(即x = k)特别： D = 0时, 平面就是坐标面。12. 2, 1,23, 2,1.PPz例5 求通过两点 ()和 ()且平行于 轴的平面 的方程小结1 1平面的方程平面的方程1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程2.2.平面的点位式方程平面的点位式方程3.3.平面的三点式方程平面的三点式方程4.4.平面的截距式方程平面的截距式

8、方程5.5.平面的一般式方程平面的一般式方程6.6.平面一般式方程的几种特殊情况平面一般式方程的几种特殊情况练习P70 4，2(2)(4)作业P70 2(1)(3) ， 5例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 7 7 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 8 8 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程. 设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向