1.2第一讲、FH定理及应用级ppt课件

1、第第 一一 讲讲 F-HF-H定理和维里定理及其应定理和维里定理及其应用用物理学专业物理学专业2019级级 2019-2-21一一. .费曼费曼海尔曼定理海尔曼定理Feynman-HellmannFeynman-Hellmann定理）定理）()0nHE |n-=即即proveprove：nEnHn费曼费曼海尔曼定理海尔曼定理（F-HF-H定理）定理） 设量子体系的哈密顿算符设量子体系的哈密顿算符 中含有参数中含有参数 ， 的束的束缚本征函数为缚本征函数为 ，相应的本征值为，相应的本征值为 ，那么，那么HnnEH()0nnEHnnn H En0nnEHnHEn对对 求导数，得求导数，得nH|nE

2、 |n=的本征方程的本征方程H=取取应用举例：应用举例： 21nEnsolvesolve：0nEHnnnEHnn|()|()|0nnnn H Enn EEn 求一维谐振子求一维谐振子 nxn|2npn|2，知知22222122dHxdx，nEHnn21|2n xnn|( |)(|)|nnn HH nE nn E nEHx ,n骣=+桫抖212h另取另取 21|Hnnn pnn pnn 212222Hdpdx nEHnn21|2n xnn12nEn二二. .维里定理维里定理VirialVirial定理）定理） ,iiiVnVxxx xy xzx31231设粒子的势能设粒子的势能 是是 的的 次齐

3、次函数，那么次齐次函数，那么 其中，其中， 为动能平均值，为动能平均值， 为位能平均值为位能平均值VnT 2TV, ,V x y z, ,x y zn 数学中将满足以下关系数学中将满足以下关系 的函数的函数 称为称为 的的 次齐次函数，次齐次函数，并有欧勒定理并有欧勒定理),(),(11kmkxxfxxf1,kxx1( ,)kf xxmproveprove：iiifxmfx因因 是是 的的 次齐次函数，所以有次齐次函数，所以有, ,V x y z, ,x y zn)(),(1)(tHtAidttAd海森堡方程：海森堡方程：1 ,iiipxx Hi1 ,iiiVpp Hix由此得到：由此得到：

4、233112iiiiipVTnVxx31)(iiiiipxpx|1,2,3mH mEmm2|(2)|T nVmT nV m31| )( |iiiiimpxpxm设设 是是 的本征函数的本征函数VTHm31|iiiiilm x ll p mm x ll p m 11| ,|()|iiiim x lm x Hlmx HH xlii 1()|lmiEEm x li11| ,. |()|iiiil p mlp HmlpH Hpmii()mliEEl| p |mi=-1h31|)(12iliimlmpllxmEEiVnTmpllxmEEiiilm|)(10VnT 2特特 例：例：VT 2221xV2n（

5、1 1谐振子谐振子 （2库仑场库仑场 ()Vrxyz-=+1212221nTV= -2TVn2()nn/Vcrc xyz=+2222（3 3） 次中心势场次中心势场nEx1: Ex1: solvesolve：nlmnlmr21nlmnlmr1nlmnlmr31，neEnlm|T|nlmnlmnlmr骣= +-桫2 （2） （1）nlm|T |nlmenlmnlmr =2121. 因因 ，由维里定理有，由维里定理有 TV= -2eV(r)r= -2eTr= 22即即nlm|H |nlmnlm|TV |nlm = 又又（1 1代入代入2 2）, , 消消掉掉 , , 即得：即得：nlm|T |nl

6、m设设 是氢原子力学量完全集是氢原子力学量完全集 的共同的共同本征函数，本征函数， 是半径，求以下各平均值是半径，求以下各平均值z H,L ,L2rnlmnenlmnlmEr-=22en 4222enlmnlmrn=2221h2. 求求nlmnlmr21nreEnnln= -=+ +42212hrerlldrdrdrdrH22222) 1(12由由Hll r骣=+桫22112hnEeln=423h有有根据费曼根据费曼海尔曼定理，有海尔曼定理，有nEHnlmnlmll=抖24234320111122enlmnlmrnlnla0)() 1(2122222rRrllreEmdrdRrdrdr氢原子的

7、径向方程氢原子的径向方程将以结果代入，得到将以结果代入，得到3. 求求nlmnlmr31( (玻尔半径玻尔半径) )ae=022h令令 2222(1)( )( )( ),mel lu rrR rF rErr 乘以上式，并积分( )u r( )( ) ( )0urF r u r则径向方程变为则径向方程变为 000)()()(drrururFdruu00220)()(drudrdrFdrudrd0020220)()(drudrdFdrrurFdrddrudrd其中其中 0020220|RrRudrudrd边界条件边界条件 0,0ru r 00220)()()()(rurFdrrurFdrd0022

8、0)()(drrrRdrdFrRdrudrdF3222) 1(212)(rllrmedrrdF因因()dF rdr= 0即平均值即平均值( )()dF rmel ldrrr= -+=2223211210h所以所以 3232201111(1)2(1)mel llnarl lr 一维束缚运动的粒子的哈密顿算符一维束缚运动的粒子的哈密顿算符其能量本征值记为其能量本征值记为 ，现加上一阻力作用，现加上一阻力作用， 变为变为 202pHV xm0nE0H 22pHV xpm求能级发生的变化。求能级发生的变化。Ex2: Ex2: SolveSolve： 设设 的本征值为的本征值为 ，由，由F-H定理定理 HnE而另一方面，在而另一方面，在 的本征态中，有：的本征态中，有：H 20,2pin x H nn xV