1.2高等数学经典讲义ppt课件

1、上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxn

2、xfxf)(!)()(000)(?定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定. 0, 00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .定定理理

3、3 3 设设)(xf在在)(0 xU上上有有定定义义, ,0 M, ,对对),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00RxRx 内内可可展展开开成成点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收例例1解解.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nx

4、xnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成

5、成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 )()1(xsx 22221(1)(1)(2)2!(1)!nnxxxn )(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()

6、0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1!)!2(!)!12()1(6425314231

7、2111132 nnxnnxxxx2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等方逐项积分等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(313