离散变量分布与应用

1、主要内容 二项分布的概率及定义 二项分布的性质 二项分布的应用 率的区间估计 两个样本率的比较 样本率与总体率的比较组合（组合（Combination）:从个从个n元素元素中抽取中抽取x个元素组成一组（不考虑其个元素组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为顺序）的组合方式个数记为!()!nnkk nk 10100 33!(3)(2)(1)322!(32)!(2)(1)(1) 1010!(10)(9)(8)(7)(6)5!25255!(105)!5!(5)(4)(3)(2)(1)knnCk或二项展开式二项展开式2222)(bababa3223333)(babbaaba.?)(nba 01122

2、0121 1010().nnnnnnnnnnnnnnnkn kkkaba ba ba baba ba b二项分布的概念二项分布的概念 在医学卫生领域中的许多试验(或观察)中人们感兴趣的是某事件是否发生。 例如: 用白鼠作某药物的毒性试验，感兴趣的是白鼠是否死亡； 某新疗法临床试验，感兴趣的是患者是否治愈； 某指标的化验，感兴趣的是其结果是否呈阳性。 若称感兴趣的事件A出现为“成功”，不出现为“失败”，相应的这类试验就称为“成败型”试验或称为Bernoulli试验。 Bernoulli试验序列试验序列 三个条件 (1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一(A或非A)。(2)每次试验的条件不变。

3、即每次试验中，结果A发生的概率不变，均为 。(3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关。 二项分布（二项分布（binomial distribution）是指在只）是指在只会产生两种可能结果如会产生两种可能结果如“阳性阳性”或或“阴性阴性”之一之一的的n次独立重复试验（称为次独立重复试验（称为n重重Bernoulli试验）中试验）中，当每次试验的，当每次试验的“阳性阳性”概率保持不变时，出现概率保持不变时，出现“阳性阳性”的次数的次数X=0，1，2，n的一种概率分的一种概率分布。布。二项分布的概念概率分布 一般地构成Bernoulli试验序列的n次试验中事件A出现的次

4、数X有概率分布 二项分布的两个参数 不同的n，不同的有不同的二项分布。 knknkkXp)1 ()()(n二项分布的性质二项分布的性质 二项分布的均数与方差二项分布的均数与方差 平均数为: n 标准差为：n(1-) 二项分布的概念所有可能结果每种结果的概率死亡数 生存数不同死亡数的概率甲 乙 丙 n-生 生 生0.20.20.2030.008生 生 死 0.20.20.8生 死 生0.20.80.2120.096死 生 生0.80.20.2生 死 死0.20.80.8死 生 死0.80.20.8210.384死 死 生0.80.80.2死 死 死0.80.80.8300.51211.000(1

5、)Xn XXnC 三只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算(1)n XX 二项展开( 0.2 +0.8 )3 = 0.23 + 30.220.8 + 30.20.82 + 0.83生存概率死亡概率 三生二生一死一生二死 三死二项分布的概率 设事件A出现的概率为。则在n次独立试验中，事件A恰好出现 k 次的概率为： 对应于二项展开式：()(1)kkn knP XkC 011110(1)(1)(1)(1) (1)(1)nnnkkn knnnnCn 二项分布示意图 n=20,=0.5 n=5,=0.3 n=10,=0.3 n=30,=0.3 二项分布的图形X 4 8 12 16 0.0 0.1

6、0.2 0.3 0.4 n =20 =0.5 P(X) 0 2 4 n =5 =0.3 0 2 4 6 n =10 =0.3 4 8 12 16 n =30 =0.3 累计概率P(Xk) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=k)P(Xk) = P(X=k)+P(X=k+1)+P(X=n)P(Xk) = 1 P(Xk+1)二项分布的均数和方差如果XB(n,p)，则：的均数：的均数：的方差：的方差：的标准差：的标准差：2(1)(1)XXXnnn 2.3 率的抽样分布及其性质 在n足够大时，样本率 p 的分布近似正态分布。 率的均数和方差XB(n, p)，p=X/n样本率的均数：样本率的均数：样

7、本率的标准差：样本率的标准差：(率的标准误率的标准误) (1)ppsn 3.1 率的可信区间估计=?n, Xp=X/nn 较大时, 可用正态近似法： 率的 95%的CI: 例7.7 n=329, X=29: p=29/329=0.0881, sp=0.0156 0.08811.960.0156=(0.0575, 0.1187) (5.75%, 11.87%) (1.96, 1.96)pppspsn 较小时, 查表法(直接计算概率法) 例7.5 n=25, X=3。p=12%. (3%, 31%) 例7.6 n=10, X=8。p=80%. 先查n=10, X1=2。p1=20%. (3%, 5

8、6%) 得: (1-56%, 1-3%)=(44%, 97%)率的可信区间的不对称性 0.1 0.2 0.3 0.5n10 045 356 7651981n20 132 64412542773n30 227 83915493169n40 324 93517473466n50 322103418453665率的可信区间的性质 只有=0.5时是对称的； n越大，区间越窄； 对同一n， 越接近0.5，分布越宽，越接近0或1，分布越窄；两样本率的比较( n 较大时) 例7.9 n1=80, X1=23; p1=28.75%;n2=85, X2=13; p2=15.29%.H0: 1 = 2; H1:

9、12 , =0.05 1212ppppus 121212120.28750.15292.0920.0643411(1)()0.06434ppppccppussppnn 因为u0.05=1.96，故按0.05水准，拒绝H0,接受H1,可以认为该地区男、女肺吸虫感染率不同，男性感染率高于女性。样本率与总体率的比较( n 较小时) 例7.8 0 = 0.01，p1=1/400，H0: 1 = 0; H1: 1 0 . =0.05(单侧)P(X1)=P(X=0)+P(X=1) =0.99400 + 4000.994000.01 =0.0905 (直接计算概率法)按0.05水准，不拒绝H0，尚不能认为该

10、地新生儿染色体异常率低与一般新生儿。样本率与总体率的比较( n 较大时)(1)ppun 二项分布的应用条件 各观察单位的观察结果只能是相互对立的两种结果之一； 某事件出现的概率不变； n次试验条件相同， n个观察对象同质，且相互之间不影响(例如，无传染性、聚集性等)。Poisson 分布的概念 Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数。医学卫生领域中有些指标服从Poisson分布， 例如：放射性物质在单位时间内的放射次数；在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；野外单位空间中的某种昆虫数等。 Poisson 分布是一种离散型分布。 用以描述罕见事件发生次数的概率分布。 在医

11、学研究中，常见的观察例数n很大，但实际发生的数目很小的情况。 Poisson分布一般记作: ()Poisson分布的正态近似分布的正态近似 =3 =5 =10 =20Poisson分布的性质分布的性质 均数均数 Poisson分布只有一个参数 。这个参数就是Poisson分布的总体均数。不同的 对应于不同的Poisson分布。 方差方差 总体均数等于总体方差，它是Poisson分布的特征。计算公式 递推公式： exxXPx!)(11xXPxxXP样本率与总体率比较 设一般人群食管癌患病率为30/10万，某研究者为了解当地食管癌患病率是否高于一般人群，随机抽查当地500人，结果6人患食管癌。请作统计推断。 39140.00000001 0860.99999986-1! 515. 0! 415. 0! 315. 0! 215. 0! 115. 0! 015. 01615