19.2.3一次函数与方程、不等式

1、八年级八年级 下册下册19.2.3一次函数与方程、不等式一次函数与方程、不等式 学习目标：学习目标：1认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、 一元一次不等式之间的联系会用函数观点解释一元一次不等式之间的联系会用函数观点解释 方程和不等式及其解（解集）的意义；方程和不等式及其解（解集）的意义；2经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进 一步体会一步体会“以形表示数，以数解释形以形表示数，以数解释形”的数形结的数形结 合思想合思想 学习重点：学习重点： 理解一次函数与二元一次方程（组）的联系理解一次函数与二元

2、一次方程（组）的联系下列方程有什么共同特点，与函数下列方程有什么共同特点，与函数y=2x+1有什么关系？有什么关系？（1）2x+1=3 （2）2x+1=0 （3）2x+1=-11、-0.5、-1求求2x+1=32x+1=3的解的解当当y=3y=3时，求函时，求函数数y=2x+1y=2x+1的自的自变量变量x x的值的值 y=2x+1 2x+1=3在在y=2x+1y=2x+1的图像的图像上确定当上确定当y=3y=3时时对应的横坐标对应的横坐标x x答案：x=1由由 数数 到到 形形32121- -2Oxy- -1- -13y = =2x+ +12x + +1= =0 的解的解2x + +1=-=

3、-1 的解的解 由由 形形 到到 数数32121- -2Oxy- -1- -13例例1下面三个方程有什么共同特点？你能从函数下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x+ +1= =3；（；（2）2x+ +1= =0；（；（3）2x+ +1=-=-1用函数的观点看：用函数的观点看： 解一元一次方程解一元一次方程 ax + +b = =k 就是就是求当函求当函 数值为数值为k 时对应的自时对应的自 变量的值变量的值用一用用一用2x + +1= =3 的解的解y = =2x+ +12x + +1= =0 的解的解2x + +1=

4、-=-1 的解的解巩固巩固and应用应用1、解方程、解方程2x+3=5就是求当就是求当y= 时函数时函数y=2x+3的自变量的自变量x的取值。的取值。52、通过下列这个函数图像能直接观察出哪个方程的、通过下列这个函数图像能直接观察出哪个方程的解是多少？解是多少？xoy3(1)答：答： 。y=2x+3xo(2)答：答： 。y=-2x-4y2-32x+3=3，x=02-x-4=2，x=-3y xOy=2x1212方程2x12=0的解 解kx+b=0 等价于哪两个问题? (1) (2)x横横0用函数观点看方程用函数观点看方程一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程求求ax+b=0（a0）的解）的

5、解x为何值时，为何值时，y=ax+b的值为的值为0？确定直线确定直线y=ax+b与与x轴的横坐标轴的横坐标 从形的从形的角度看：角度看： 从数的从数的角度看角度看: 求求ax+b=0（a0）的解）的解1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次 方程的解？并直接写出相应方程的解？5x=0的解 其解为X=0X+2=0的解 其解为X=-23x+6=0的解 其解为X=2X-1=0的解 其解为X=12、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（ ） ABCDB BA方程 的解，就是直线 与x轴交点的横坐标B方程 的解，就是一次函数 当y=0时x的值C方程 的解，就是一次函数 当函

6、数值为0时自变量的值D方程 的解，就是直线 与y轴交点的纵坐标3、下列说法错误的是（）、下列说法错误的是（）D例例1一个物体现在的速度是一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加，其速度每秒增加2m/s，再，再过几秒它的速度为过几秒它的速度为17m/s？ （要求用两种方法解题）（要求用两种方法解题） 解法解法1 1：设再过：设再过x x秒物体的速度为秒物体的速度为1717米米/ /秒列方程秒列方程 2 2x x+5=17+5=17解得解得 x x=6=6解法2：速度 y( 单位：m/s)是时间 x ( 单位：s) 的函数 y=2x+5 0 xy6-12y=2x12(6,0)由图看出直线由图看

7、出直线y y = 2 = 2x x12 12 与与x x轴的交点为（轴的交点为（6 6，0 0），得），得x=x=6 6由由 2x+5=17得得 2x12=0 1根据图象你能直接说出一元一次方程根据图象你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？的解吗？ 3y=x+3Oxy解：由图象可知x+3=0的解为x= 3 2利用函数图象解出利用函数图象解出x:5x1= 2x+5 解：解：由由 5 5x x1=21=2x x+5 +5 ，得得3 3x x6=0 6=0 xy6O y=3x 6 （1）由图看出直线由图看出直线y = 3x6与与x轴的交点为（，轴的交点为（，0），得），得x= 解法：画出两个函数

8、y=5x1 和y=2x+5的图象 由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x=2Oy=5x1y=2x+592xy2利用函数图象解出利用函数图象解出x:5x1= 2x+5 解一元一次方程ax+b=0 (a ，b为常数)可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值1、直线、直线y=3x+9与与x轴的交点是（轴的交点是（ ） A（0，-3） B（-3，0） C（0，3） D（0，-3） 2、直线、直线y=x+3与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为（ ， ），所以相应的方程），所以相应的方程x+3=0的解是的

9、解是x= . B-3 0-33直线直线y=3x+6与与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标x的值是方程的值是方程2x+a=0的解，则的解，则a 的值的值是是_4321-1-2-3-4-224g x 4.已知一次函数已知一次函数y = 2x + 1，根据它的图象回答根据它的图象回答x 取什么取什么值时，函数的值为值时，函数的值为1？为？为0？为为3？解：由图像可解：由图像可知（知（1）当）当x=0时，函数值为时，函数值为1（2）当）当x=-0.5时，函数值为时，函数值为0（3）当）当x= - 2时，时，函数值为函数值为- 3-3-21-1012下列不等式与函数下列不等式与函数y=2x+2有什么关系

10、？有什么关系？（1）2x+22 （2）2x+20 （3）2x+22的解的解当当y y2时，求函时，求函数数y=2y=2x+2的自的自变量变量x x的值的值 y=2x+2 2x+22在在y=2x+2y=2x+2的图像的图像上确定当上确定当y y2时时对应的对应的x x的范围的范围答案：x032121- -2Oxy- -1- -13y = =2 2x+ +2 2y=2x+2 2x+20 求求2 2x+20的解的解当当y y0时，求函时，求函数数y=2y=2x+2的自的自变量变量x x的值的值 在在y=2x+2y=2x+2的图像的图像上确定当上确定当y y0时时对应的对应的x x的范围的范围y=2x

11、+2 2x+2-1 求求2 2x+2-1的解的解当当y y-1时，求函时，求函数数y=2y=2x+2的自的自变量变量x x的值的值 在在y=2x+2y=2x+2的图像的图像上确定当上确定当y y-1时时对应的对应的x x的范围的范围答案：x-1由由 数数 到到 形形 由由 形形 到到 数数答案：x0的解集是的解集是 。xoy-1y=-3x-3（-1,0）x-12、直线、直线y=mx+n与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(2，0)不不等式等式mx+n2巩固巩固and应用应用3、当、当x 时，直线时，直线y=-x+2上的点在上的点在x轴的下方。轴的下方。xoy223题图4、直线、直线y=-x+m和

12、和y=2x+n的交点如图，则不等的交点如图，则不等式式-x+m2x 时，函数值 y 。（3）当x 时，函数值 y 。例题:用画函数图象的方法画函数图象的方法解不等式5x+42x+10解法解法1:原不等式化为原不等式化为:3x -60,画出直线 y = 3x -6 (如图)即这时y = 3x -6 0用函数观点看不等式用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式所以不等式的解集为所以不等式的解集为:x2x2解法二解法二：画出函数 y = 2x+10和y = 5x+4图象 从图中看出：即直线 y = 5x +4 在 y = 2x +10的_方 不等式5x+4 2x +10 不

13、等式 5x+4 2 x +10 的解集是x 2x 11=11基础练习，提高能力x-2X-22.作出函数作出函数 的图象，的图象，并回答下面问题：并回答下面问题：（1）当）当x取何值时，取何值时，y 0 ；（2）当）当x取何值时，取何值时，y 0(2)2x-41的解？的解？1号探测气球从海拔号探测气球从海拔5 m 处出发，以处出发，以1 m/ /min 的速度的速度上升与此同时，上升与此同时，2 号探测气球从海拔号探测气球从海拔15 m 处出发，以处出发，以0. .5 m/ /min 的速度上升两个气球都上升了的速度上升两个气球都上升了1 h请用解析式分别表示两个气请用解析式分别表示两个气球所在

14、位置的海拔球所在位置的海拔 y（m）与气球）与气球上升时间上升时间 x（min）的函数关系）的函数关系提出问题提出问题h1h2气球气球1 海拔高度：海拔高度：y = =x+ +5；气球气球2 海拔高度：海拔高度：y = =0. .5x+ +15如果把如果把x x和和y y看做未知数，那么这两个式子表示的是看做未知数，那么这两个式子表示的是什么什么？一次函数一次函数二元一次方程二元一次方程 一次函数一次函数 y = =0. .5x+ +15二元一次方程二元一次方程y - -0. .5x = =15用方程观点看用方程观点看用函数观点看用函数观点看从式子（数）角度从式子（数）角度看：看：这说明一次函

15、数与二元一次方程有密切联系，这说明一次函数与二元一次方程有密切联系，你发现什么？你发现什么？未知数和变量角色互换未知数和变量角色互换分析问题分析问题 （1）在同一坐标系中）在同一坐标系中画出画出一次函数一次函数y =0.5x+15 的图象的图象和和以以 y-0. .5x= =15 的解为的解为坐标的点组成的图形，坐标的点组成的图形，你有什么发现？你有什么发现？从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？系？15105-5510Oxyy = =0. .5x+ +15 以以 方程方程y-0.5x=15 的解为坐标的的解为坐标的点都在一次函数点都在一次

16、函数y =0.5x+15 的图的图象上，反过来一次函数象上，反过来一次函数y =0.5x+15 图象上的点的坐标都是二元一次方程的解分析问题分析问题 （2）一般地，以方程）一般地，以方程y = =kx+ +b（其中（其中k，b 为常数，为常数， k0）的解为坐标的点组）的解为坐标的点组成的图形与一次函数成的图形与一次函数 y = =kx+ +b 的图象有什么关系？的图象有什么关系？从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？系？15105-5510Oxyy = =0. .5x+ +15 分析问题分析问题 从形的角度看：从形的角度看：以二元一次方程

17、以二元一次方程y = =kx+ +b（其中（其中k，b为为常数，常数，k0）的解为）的解为坐标的点组成的图形坐标的点组成的图形一次函数一次函数y = = kx+ +b的图象的图象从数的角度看：从数的角度看：就是求自变量为何值时，两个就是求自变量为何值时，两个 一次函数一次函数 y = =x+ +5，y = =0. .5x+ +15 的函的函数值相等，并求出函数值数值相等，并求出函数值拓展问题拓展问题解方程组解方程组y = =x+ +5 y = =0. .5x+ +15什么时刻，什么时刻，1 号气球的高度赶上号气球的高度赶上2 号气球的高度？大号气球的高度？大家会从数和形两方面分别加以研究吗？家

18、会从数和形两方面分别加以研究吗？h1h2气球气球1 海拔高度：海拔高度：y = =x+ +5气球气球2 海拔高度：海拔高度：y = =0. .5x+ +15二元一次方程二元一次方程组的解就是相应的组的解就是相应的 两个一次函数图象两个一次函数图象 的交点坐标的交点坐标拓展问题拓展问题A（20，25）302520151051020y = =x+ +5y = =0. .5x+ +15155O xy从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系关系？（1）在什么时候，）在什么时候，1 号气球比号气球比2 号气球高？号气球高？ （2）在什么时候，）在什么时

19、候，2 号气球比号气球比1 号气球高？号气球高？12 412xyxyy=2x+1y=-x+413xy 小东从小东从A地出发以某一速度向地出发以某一速度向B地前进，同时小地前进，同时小明从明从B地出发以另一速度向地出发以另一速度向A地前进地前进(见下图见下图)，图中，图中的线段的线段y1,y2分别表示小东、小明离分别表示小东、小明离B地的距离地的距离(km)与所用时间与所用时间(h)的关系的关系.(1)试用文字说明：试用文字说明： 交点交点P所表示的实际意义所表示的实际意义.(2)试求出试求出A,B两地之间的距离两地之间的距离.( (小东小东) )解：（解：（1）小东和小明出发）小东和小明出发2

20、.5小时相遇，并且离小时相遇，并且离B地地7.5千米千米解：（解：（2）设直线）设直线y1=kx+b (k0）过（过（2.5，7.5），（），（4，0）7.5=2.5k+b0=4k+bk=5b=20 y1=5x+20当当x=0时，时，y1=20A，B两地的距离为两地的距离为20千米千米3.3.综合题综合题( (小明小明) )y = 12xy = -x+6 . .围围成成的的三三角角形形面面积积为为6 6y y轴轴与与6 6x xy y、直直线线x x2 21 1y y则则直直线线, ,2 2y y4 4x x的的解解是是6 6x xy yx x2 21 1y y若若方方程程组组3 3( )non ny ym mx xPAB等价于：等价于：）) )的交点坐标（的交点坐标（m m，n nk k(k(kb bx xk k与直线与直线y yb bx xk k直线直线y y2 21 12 22 21 11 1b bx xy yk k的解是的解是b bx