《经济数学》-第二章导数与微分

1、经济数学-第二章导数与微分定义定义 设设y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 属于该邻域，记属于该邻域，记 若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y = f (x)在点在点x0 处的导数，记为处的导数，记为xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或或2.1 导数的概念导数的概念导数定义与下面的形式等价：导数定义与下面的形式等价：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若若y =f

2、 (x)在在x= x0 的导数存在，则称的导数存在，则称y=f(x)在点在点x0 处可导，反之称处可导，反之称y = f (x)在在x = x0 不可导，此时意不可导，此时意味着不存在味着不存在.左导数与右导数左导数与右导数 左导数左导数: :.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右导数右导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx显然可以用下面的形式来定义左、右导数显然可以用下面的形式来定义左、右导数,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理定理3.1 y = f (x)在在x =x0可导的充分必要条件是

3、可导的充分必要条件是y = f (x)在在x=x0 的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.导数的几何意义导数的几何意义 当自变量当自变量 从变化到从变化到 时，曲线时，曲线y=f(x)上的点由上的点由 变到变到).(,(00 xxfxxM此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而 则为则为M0，M 的纵坐标之差，的纵坐标之差，所以所以 即为过即为过M0，M两点的两点的割线的斜率割线的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0 曲线曲线y = f (x)在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿曲沿曲线线y=f(

4、x)无限接近无限接近 时的极限位置时的极限位置M0P，因而当因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，导数所以，导数 的几何意义的几何意义是曲线是曲线y = f (x) 在点在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率处的切线斜率.)(0 xf M0M0 xxx0P P0 0M 设函数设函数y=f(x)在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f(x)在点处在点处的切线方程为：的切线方程为： 而当而当 时时,曲线曲线 在在 的切线方程为的切线方程为0001()().()yf xxxfx 0

5、xx (即法线平行y轴).0 xx 000()()().yf xfxxx 当当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为0()0fx ( )f x0M而当而当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为0()0fx ( )f x0M0()fx ( )f x0M例例1 1 求函数求函数 的导数的导数解解: (1): (1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取极限取极限: : 同理可得同理可得: :特别地特别地, . , . 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nnx

6、xnn()(111( )()xn 例例2 2 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法线方程处的切线与法线方程. .解解: :因为因为 , ,由导数几何意义由导数几何意义, ,曲线曲线 在点在点 的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为: : 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为: :即即法线方程为法线方程为: :3xy )8 , 2(233)(xx3xy )8 , 2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx2.1.2 2.1.2 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系定理定理2 若函数若函数y = f (x)

7、在点在点x0处可导，处可导，则则f(x)在点在点x0 处连续处连续.例3 证明函数 在x=0处连续但不可导.|yx 证证 因为因为0lim| 0 xx 所以所以 在在x =0=0连续连续|yx 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在|yx x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续, ,连续不一定可导连续不一定可导. . 设函数设函数u(u(x)

8、)与与v(v(x) ) 在点在点x处均可导，则处均可导，则: :定理一定理一);()()()()1(xvxuxvxu ),()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu uCCuCCxv ) (,()(,则则为为常常数数）特特别别地地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ( )1,u x 2.2.1 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2.2 2.2 导数的运算导数的运算特别地特别地,如果如果可得公式可得公式21( ) ( ( )0)( ) ( )v xv xv xv x wvuwvu )(注：法则（注：法则（1）（）（2）

9、均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw )(例：设例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例2 设设52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求，求设设3lnsin3例例1)(tan xy)cossin( xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 2(

10、tan)secxx 2(cot)cscxx 类似可得类似可得例例3 求求y = tanx 的导数的导数基本导数公式表基本导数公式表为为常常数数）CC(0).(1 为为常常数数） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数aaaxxln)(5 . .)sin2()sin2(3222 xxxx)cos4()sin2(322xxxx )sin2(32 xxy解：解：22)cos4()sin2(322 xxxxxxy22)12(6 2,)sin2(32 xyx

11、xy求求设设例例4 定理二定理二)(xu 如果函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可导，处可导， 那么复合函数那么复合函数)(xfy 在在x处可导，且有处可导，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：2.2.3 复合函数的导数复合函数的导数xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例6yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：复复合合而而

12、成成可可看看作作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例51. 隐函数的导数隐函数的导数例例7 求方程求方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得0)2(2 xyeyxxyye2.2.5 隐函数的导数隐函数的导数隐函数即是由隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye 即即22xeexydxdyyyx )0(2 xey例例8dxdyyxy求求设设),2arct

13、an( 解：解：两边对两边对x求导得求导得)21()2(112yyxy 1)2(12 yxy得得解出解出,y )()(00 xfxxfy 可以表示为可以表示为定义定义 设函数设函数)(xfy在点在点0 x的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，处的增量处的增量0 x在点在点)(xf如果函数如果函数),( xoxAy 处的微分，处的微分，0 x)(xfxA 可微，可微，称为称为在点在点0 x处处在点在点)(xf高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数时时0 x)( xo x其中其中A是与是与无关的常数，无关的常数，是当是当比比x2.3.1 微分的概念微分的概念2.3 2.3 微分微分由微分定义，

14、函数由微分定义，函数f (x)在点在点x0处可微与可导等价，处可微与可导等价，且且0()Afx , ,因而因而)(xf在点在点 x0处的微分可写成处的微分可写成00d()x xyf xx00d()dx xyf xx于是函数于是函数通常把通常把x 记为记为，称自变量的微分，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得上式两端同除以自变量的微分，得d( )dyf xx因此导数也称为微商因此导数也称为微商d( )dyfxxf (x)在点在点x0 处的微分又可写成处的微分又可写成d xf(x) 在在(a,b)内任一点内任一点x处的微分记为处的微分记为00 d | d |.x xx xyyAx，即即记为记为解：解：0201. 0101. 1)(2222 xxxy例例1 求函数求函数 y=x2 在在 x=1,01. 0 x时的改变量和微分。时的改变量和微分。于是于是 110.010.01d20.02