因式分解提公因式法

1、 第一课时第一课时 9.6 乘法公式的再认识 因式分解（一）赣榆汇文双语学校赣榆汇文双语学校 王洪峰王洪峰 计算与交流计算与交流计算：计算：3753752.8+3754.9+3752.3如何计算上面的算式？请把你的想法与如何计算上面的算式？请把你的想法与你的同伴交流。你的同伴交流。小明很快就能报出答案，你知道他小明很快就能报出答案，你知道他是怎么想的吗？是怎么想的吗？小明的方法：小明的方法： 3752.8+3754.9+3752.3=375（2.8+4.9+2.3）=37510=3750为什么为什么3752.8+3754.9+3752.3可以写成可以写成375（2.8+4.9+2.3）？依）？

2、依据是什么？据是什么？乘法分配率乘法分配率你能把多项式你能把多项式ab+ac+ad写成积的写成积的形式吗？请说明你的理由形式吗？请说明你的理由根据乘法分配律根据乘法分配律ab+ac+ad=a（b+c+d）换一种看法，就是把单项式乘多项式换一种看法，就是把单项式乘多项式的法则的法则a（b+c+d）=ab+ac+ad反过来，就得到反过来，就得到ab+ac+ad=a（b+c+d）观察多项式观察多项式ab+ac+ad的每一项，你的每一项，你有什么发现吗？有什么发现吗？a是多项式是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式。各项都含有的因式。 一个多项式各项都含有的因式，称为一个多项式各项都含有的因式，称为

3、这个多项式各项的公因式。这个多项式各项的公因式。例如例如a就是多项式就是多项式ab+ac+ad各项的各项的公因式公因式新海实验中学七数教研组找出下列多项式各项的公因式并填写下表找出下列多项式各项的公因式并填写下表给就上面的填表过程，你能归纳出给就上面的填表过程，你能归纳出找一个多项式的公因式的方法吗？找一个多项式的公因式的方法吗？多项式公因式4x+4y8ax+12ay8a3bx+12a2b2y44a4a2b找一个多项式的公因式的方法一找一个多项式的公因式的方法一般分三个步骤：般分三个步骤： 一看系数：当多项式的各项系数一看系数：当多项式的各项系数多是整数时，公因式的系数应取多是整数时，公因式的

4、系数应取各项系数的最大公约数。各项系数的最大公约数。总结总结 二看字母：公因式的字母应取多项二看字母：公因式的字母应取多项式中各项都含有的相同字母式中各项都含有的相同字母 三看指数：相同字母的指数取次数三看指数：相同字母的指数取次数 最低的。最低的。 练一练练一练填表填表多项式公因式a2b+ab23x2-6x39abc-6a2b2+12ab2cab3x23ab 填空并说说你的方法：填空并说说你的方法：（1）a2b+ab2=ab（ ）（2）3x2-6x3=3x（ ）（3）9abc-6a2b2+12abc2=3ab（ ） 像这样，把一个多项式写成几个像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做整

5、式的积的形式叫做多项式多项式的因式分解的因式分解。a+bX-2x23c-2ab+4c连一连：把下面左右两列具有相等连一连：把下面左右两列具有相等关系的式子用线连起来关系的式子用线连起来 4a2b（a-2b） x2-2xy+y2 （x-y）2 m2-n2（m+n）（）（m-n） 4a3b-8a2b2观察上面从左到右与从右到左的变形观察上面从左到右与从右到左的变形过程，你能说出因式分解和整式乘法过程，你能说出因式分解和整式乘法的区别和联系吗？的区别和联系吗？区别：区别：整式乘法：整式乘法： 有几个整式积的形式转化成有几个整式积的形式转化成 一个多项式的形式。一个多项式的形式。因式分解：因式分解：

6、有一个多项式的形式转化成有一个多项式的形式转化成 几个整式的积的形式。几个整式的积的形式。联系：联系：多项式的因式分解与整式乘法是两种相多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程。反方向的变形，它们互为逆过程。4a3b-8a2b2 4a2b（a-2b）下列各式由左到右的变形是那些是因式分解下列各式由左到右的变形是那些是因式分解 ab+ac+d=a（b+c）+d a2-1=（a+1）（）（a-1）(3)（a+1）（）（a-1） = a2-1(4) x2+1=x（x+ ）x1答案答案（1）不是；（）不是；（2）是；）是； （3）不是；（）不是；（4）不是）不是例例1：把：把6a

7、3b-9a2b2c分解因式分解因式想一想：想一想：1、多项式、多项式6a6a3 3b-9ab-9a2 2b b2 2c c各项的公因式是什么？各项的公因式是什么？ 2、你能把多项式你能把多项式6a3b-9a2b2c各项写成公因各项写成公因式与另一个因式的积吗？向你的同伴说说你式与另一个因式的积吗？向你的同伴说说你是如何得到另一个因式的？是如何得到另一个因式的？总结：多项式的各项分别总结：多项式的各项分别除以除以公因式公因式就能得到各项的另一个因式就能得到各项的另一个因式例例1 1：把把6a6a3 3b-9ab-9a2 2b b2 2c c分解因式分解因式解：解： 6a3b-9a2b2c=3a2

8、b.2a-3a2b.3bc=3a2b（2a-3bc）像这样把多项式化成公因式与另一个像这样把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做方法叫做提取公因式法提取公因式法根据例根据例1 1的解答过程，你能归纳出用的解答过程，你能归纳出用提取公因式分解因式的一般步骤吗？提取公因式分解因式的一般步骤吗？用提取公因式分解因式的一般步骤：用提取公因式分解因式的一般步骤：第一步：第一步：找出多项式各项的公因式；找出多项式各项的公因式；第二步：第二步：把多项式各项写成公因式把多项式各项写成公因式与另一个因式的积的形式；与另一个因式的积的形式； 第三步：第三

9、步：逆用单项式乘多项式法则写逆用单项式乘多项式法则写成公因式与另一个多项式的积。成公因式与另一个多项式的积。例例2 2：把：把6a6a3 3b-9ab-9a2 2b b2 2c+3ac+3a2 2b b分解因式分解因式解：解： 6a6a3 3b-9ab-9a2 2b b2 2c+3ac+3a2 2b b =3a =3a2 2b b. .2a-3a2a-3a2 2b b. .3bc+3a3bc+3a2 2b b. .1 1 =3a =3a2 2b b（2a-3bc+2a-3bc+1 1）注意：注意：1 1、如果提取公因式与多项式中的某一项、如果提取公因式与多项式中的某一项相同，那么提取后多项式中

10、的这一项剩下相同，那么提取后多项式中的这一项剩下“1 1”结结果中的果中的“1 1”不能漏写；不能漏写；2 2、多项式有几项，提取公因式后另一项也有、多项式有几项，提取公因式后另一项也有几项。几项。例例3 3：把：把- -8a8a2 2b b2 2+4a+4a2 2b-2abb-2ab分解因式；分解因式；解：解： - -8a8a2 2b b2 2+ +4a4a2 2b b- -2ab2ab = =- -（8a8a2 2b b2 2- -4a4a2 2b b+ +2ab2ab） = =- -（2ab2ab. .4ab-2ab4ab-2ab. .2a+2ab2a+2ab. .1 1） = =- -

11、2ab2ab（4ab-2a+14ab-2a+1）当多项式第一项的系数是负数时，通常把当多项式第一项的系数是负数时，通常把负号作为公因式的负号写在括号外，使括负号作为公因式的负号写在括号外，使括号内第一项的系数化为正数，在提出负号号内第一项的系数化为正数，在提出负号时，多项式的各项都要变号！时，多项式的各项都要变号！例例4 4：把：把3a3a（x+yx+y）-2b-2b（x+yx+y）分解因式；）分解因式；分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即3a3a（x+yx+y）与）与-2ab-2ab（x+yx+y）每项中都含有（）每项中都含有（x+yx+y）因

12、此，可把（因此，可把（x+yx+y）作为公因式提出来。）作为公因式提出来。解：解： 3a3a（x+yx+y）-2b-2b（x+yx+y） = =（x+yx+y）.3a-2b.3a-2b.（x+yx+y） = =（x+yx+y）（）（3a-2b3a-2b）总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以是一个单项式也可以是一个多项式。是一个单项式也可以是一个多项式。例例5 5：分解因式：分解因式（1 1）x x（a-ba-b）+y+y（b-ab-a）（2 2）6 6（m-nm-n）3 3-12-12（n-mn-m）2 2分析：例分析：例5 5应用如下关系：应用如下

13、关系：（b-ab-a）=-=-（a-ba-b） （b-ab-a）2 2= =（a-ba-b）2 2（b-ab-a）3 3=-=-（a-ba-b）3 3 （b-ab-a）4 4= =（a-ba-b）4 4即：即：当当n n为正偶数时为正偶数时（b-ab-a）n n= =（a-ba-bn n当当n n为正奇数时为正奇数时（b-ab-a）n n= =- -（a-ba-b）n n课堂练习：课堂练习：把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（1 1）4x4x2 2-12x-12x3 3 （2 2）- -x x2 2y+4xy-5yy+4xy-5y解：解： （1 1）4x4x2 2-12x-12x3 3 （2 2）-x-x2 2y+4xy-5xyy+4xy-5xy2 2 =4x =4x2 2. .1-4x1-4x2 2. .x =-x =-（x x2 2y-4xy+5xyy-4xy+5xy2 2） =4x=4x2 2 （1-x1-x） =-xy=-xy（x-4+5yx-4+5y） 计算：计算：2.3752.5+0.6352.5-452.5解：解： 2.3752.5+0.6352.5-452.5 =52.5（2.37+0.63-4） =52.5（-1） =-52.5小小 结结（1）公因式与分解因式的概念；