高等数学(下册)期末复习试题及答案

1、、填空题共21分每题3分21.曲线Zyx01cc绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为zx2y21.2.直线x-与直线L2:y3z3t1 3t的夹角为一22 7t3.设函数f(x,y,z)x22y23z2,则gradf(1,1,1)2,4,64.设级数un收敛，则limun5.设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)0, x 0则它的傅里叶级数在x 处1 x, 0 x ,收敛于 .26 .全微分方程ydx xdy 0的通解为xy C .一、 、一-Y .*Y7 .与出微分万程y y 2y e的特解的形式 y axe、解答题共18分每题6分1.求过点(1,x 2y z 3 0工、皿2,1)且垂直于直

2、线的平面万程.x y z 2 0i解：设所求平面的法向量为n,则n 11j k2 11,2,311(4分)所求平面方程为x 2y 3z 0(6分)2.将积分f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面z2(x2y2)及zxxy2所围成的区域.解：rz2r2,0r1,02(3分)212r2f(x,y,z)dv0d0rdrrf(rcos,rsin,z)dz(6分)3.计算二重积分e (x2D2y)dxdy ,其中闭区域D :x2y24.2r rdr2220erd( r2)2 r2de0(1 e4)三、解答题共35分每题7分1 .设zx2解:ev2x uey exy(2xx2yy3)(

3、3分)dz exy(2x x2y2yy3)dxvue xexy(2y2 .函数z z(x, y)由方程ez xyz解：令 F(x, y,z) ez xyz,则 Fx xyz,Fyx乙3 .计算曲线积分xy3e (2y x2xy(6分)x32 xy )dy(7分)0所确定,求二, x(2分)Fzezxy,(5分)FxFzyzz exyFyFzxzez xy(7分)ydx xdy,其中L是在圆周y J2x x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有向弧段.解：添加有向辅助线段OA,有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D,根据格林公式lydxxdy2dxdyqaydxxdyD2-02(5分)

4、(7分)4 .设曲线积分Lexf(x)ydxf(x)dy与路径无关，其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)1,-.PQ,1V解：由_P、得exf(x)f(x),yx即f(x)f(x)ex(3分)所以f(x)e(1)dx(exedxdxC)ex(xC),(6分)代入初始条件，解得C1,所以f(x)ex(x1).(7分)5 .判断级数(nL的敛散性.ni(2n)!Uni(n1)!2(n!)2八解：因为limlim-(3分)nunn(2n2)!(2n)!(n1)21/八lim-1(6分)n(2n2)(2n1)4故该级数收敛.(7分)四、7分计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,其中是上半球面

5、z«1x2y2的上侧.解：添加辅助曲面1:z0,x2y21,取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得xdydzydzdxzdxdy二xdydzydzdxzdxdy1xdydzydzdxzdxdy（4分）1(6分)dv014、3-2.（7分）23五、6分在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形.解：设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z,则xyz2,12且面积为A-R2（sinxsinysinz）,2(3分)令Fsinxsinysinz(xyz2)六、解:七、Fxcosx0x由Fycosy0Fzcosz0xyz23时，其边长为2二RN3R.2角形时其面积最大.n

6、8分求级数A的收敛域,n1nRlimnJan|an1八一2，(4分)得xyz飞.此由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三并求其和函数.1,故收敛半径为R(2分)(6分)当x1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛;当x1时，级数为调和级数，发散.故原级数的收敛域为1,1).设和为S(x),即S(x)nx,求导得n1n(5分)S(x)n1(6分)再积分得xS(x)QS(x)dxx10Gdx1n(1x)，(1x1)(8分)5分设函数f(x)在正实轴上连续，且等式xyxy1f(t)dty1fdtx1f(t)dt对任何x0,y0成立.如果f(1)3,求f(x).解：等式两边对y求偏导得xx

7、f(xy)1f(t)dtxf(y)(2分)上式对任何x0,y0仍成立.令y1,且因f(1)3,故有xxf(x)1f(t)dt3x.(3分)由于上式右边可导，所以左边也可导.两边求导，得xf(x)f(x)f(x)3即f(x)(x。)x故通解为f(x)31nxC.当x1时，f(1)3,故C因此所求的函数为f(x)3(1nx1).K.5分已知y1xexe2x,y2xexex,y3是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.xxe2x(5分)解1:由线性微分方程解的结构定理知e2x与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xex是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为yy2yf(x)将yxex代入上

8、式，得f(x)ex2xex,因此所求的微分方程为yy2yex2xex解2：由线性微分方程解的结构定理知e2x与ex是对应齐次方程的两个线性无关的解，xex是非齐次方程的一个特解，故yxexC1e2xC2ex是所求微分方程的通解，从而有yexxex2cle2xC2ex,y2exxex4cle2xC2ex消去C1,C2,得所求的微分方程为yy2yex2xex06高数B一、填空题共30分每题3分1.xoy坐标面上的双曲线4x29y236绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为4x29(y2z2)36.2.设函数 f (x, y,z) 2xyzz2,则gradf(1,0,1)(2,1,2).3.直线L1

9、:xz与直线L2: y323t1 3t的夹角为一.22 7t4 .设是曲面zt2x2y2及zXx2y2所围成的区域积分，则f(x,y,z)dv化为柱面212r2坐标系下的三次积分形式是drdrf(rcos,rsin,z)dz00r5 .设L是圆周yv12xX2,取正向，则曲线积分Lydxxdy2.(1)n1xn6 .幕级数一的收敛半径n1n7 .设级数un收敛，则limun0.n1n里叶级数在x处收敛于一20, x 0则它的傅x, 0 x ,9 .全微分方程xdx ydy 0的通解为 xy C10 .写出微分方程y y 2y ex的特解的形式 yaxex二、解答题共42分每题6分x y z 2

10、0 , 、十r1.求过点(1, 2,1)且垂直于直线的平面万程.x 2y z 3 0i j k解：设所求平面的法向量为n,则n 1211, 2, 3111所求平面方程为x 2y 3z 0(4分)(2分)2.函数 z z(x,y)由方程 sin(x 2y3z) x 2y 3z所确定,求. x8 .设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)(2分)解：令F(x,y,z)sin(x2y3z)x2y3z,则Fxcos(x2y3z)1,Fz3cos(x2y3z)3.(2分)FxFz1cos（x2y3z）33cos（x2y3z）（2分）3.计算D其中D是由直线y1,xx所围成的闭区域.解法一:原式21xxx

11、ydydx（2分）解法二:原式4.计算域.解：选极坐标系5.计算（y2zt3上由t1解：原式10Ktxdx2x2416.判断级数n2x3（一12x2）dx18.（4分）22xydxdy1y原式z2）dx0到t24t6）y2d12811，、1.（同上类似分）8dxdy,其中D是由x2d0y21即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区191r2rdr01122）01rd（1（3分）r2）6（3分）2yzdyx2dz,其中是曲线xt,yt2,1的一段弧._5_2_22t52tt23t2dt（3分）（3t62t4）dt3t7-t50750352n1,"的敛散性.2n12解：因为limunnunli

12、mn（2n1）,2n12n12n（3分）（3分）1,（2分）故该级数收敛.（1分）7.求微分方程y3y4y0满足初始条件人00,yY05的特解.x0X0解：特征方程r23r40,特征根r14,r21通解为yC1e4xC2ex,（3分）y4Cie4xC?ex,代入初始条件得C11,C21,所以特解ye4xex.（3分）二、8分计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,其中是上半球面z,1x2y2解：添加辅助曲面1:z0,x2y21,取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得xdydzydzdxzdxdy；xdydzydzdxzdxdy1xdydzydzdxzdxdy（4分）13dv0

13、（2分）14x2dy在右半平面（x 0）内32、2.g四、8分设曲线积分Lyf（x）dx2xf（x）与路径无关，其中f（x）可导，且满足f（1）1,求f（x）.一.PQ,1一一一解：由-P,得f(x)2f(x)2xf(x)2x,yx(3分)(3分)r1，、/即f(x)f(x)1,2xdxdx所以f(x)e2x(e2xdxC)1119x2(x2dxC)xYx%C),3.、，一一1-、21、代入初始条件，解得C,所以f(x)X.(2分)333,x五、6分求函数f(x,y)x3y33xy的极值.2fx(x,y)3x3y0解：9fy(x,y)3y23x0得驻点(0,0),(1,1)(3分)fxx(x,

14、y)6x,fxy(x,y)3,fyy(x,y)6y在点(0,0)处，B2AC90,故f(0,0)非极值；在点(1,1)处，B2AC270,故f(1,1)1是极小化(3分)六、6分试证：曲面zxf(y)上任一点处的切平面都过原点.x证：因二fd)当山xf()-fd)(3分)xxxxyxxx则取任意点M0(x0,y0,z0),有z0x0f(%),得切平面方程为x0Z09f(血)f(血)%f(玛(xx°)f(玛(yy°)x0x0x0x0x0即f(%)10f(y0)xf(%)yz0x0x0x0x0故切平面过原点.(3分)07A一、填空题每题3分，共21分1 .设向量a2,3,1,b

15、,1,5,已知a与b垂直，则2 .设a3,b2,(a,b)一,则ab633.2yoz坐标面上的曲线a222_y. 巳 122a b2Zb21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为x2z10一4 .过点(2,4,0)且与直线垂直的平面方程2x3yz80y3z205 .二元函数zJxln(xy)的定义域为D(x,yx0,xy06 .函数f(x,y,z)ln(x2y2z2),Mgradf(1,0,1)1,0,17 .设zexy,则dzexy(ydxxdy)8 .设Uxf(x,y),f具有连续偏导数，则fxf1yf2xxx9 .曲线xt,yt2,zt3上点(1,1,1)处的切向量T1,2,31y1110

16、.交换积分顺序：0dy0f(x,y)dx0dxxf(x,y)dy11 .闭区域由曲面z2x2y2及平面z1所围成，将三重积分f(x,y,z)dv化为柱面211坐标系下的三次积分为0d0rdrrf(rcos,rsin,z)dz22212 .设L为下半圆周yWx,则L(xy)ds(x2 4x)dy 18x 0则它的傅里叶级数在0 x发散2213 .设L为取正向圆周xy9,则7(2xy2y)dx014 .设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)xx处收敛于一215 .假设limUn0,则级数Un的敛散性是nndnn12nn!16.的敛散性是收敛17 .设一般项级数un,已知un收敛，则un的敛散T牛

17、是绝对收敛n1n1n118 .微分方程xy2(y)35xy0是上一阶微分方程19 .微分方程y4y4y0的通解yC1e2xC2xe2x2x2x20 .微分万程y3y2yxe的特解形式为x(axb)e二、共5分2x设zuInv,u”xy,求yxy解:zz uyu y三、共5分z vv xz vv y1 u2u In v - y vx2uln v ( f y2y ±2ln(xy) 1 y22ux x 2ln(xy)vy1设 x 2y z 2 xyz0,求02xyzxy解：令F(x,y,z)x2yz2XJxyzxyzyzFxFxyzzFxyzxyzxFzxyzxy四、共5分计算 xdxdy

18、dz,其中为三个坐标面及平面xy z 1所围成的闭区域解:0 x 1,0y 1 x, 0 z 1 x yxdxdydz0 dx1 x 1 x y0 dy 0 xdz11 x0dx 0 x(1 x y)dy11211231x(1x)dx(x2xx)dx022024五、共6分计算 L(exsinyy)dx(ex cosy 1)dy ,其中L为由点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周22xyax解：添加有向辅助线段OA,则有向辅助线段OA和有向弧段OA围成闭区域记为D,根据格林公式L(exsinyy)dx(excosy1)dydxdy(exsinyy)dx(excosy1)dyDOA13a8六、共

19、6分求幕级数(x 3)nn 1n3n的收敛域解：对绝对值级数,用比值判敛法limnUn 1Unlim n(n 1)3n 1n3n1 n limn 3n 1设 f (1)“ r P解：由 y1dx所以 f (x) e x (ln xe1一 dxx C) x( ln x1dx C) x1,2 一、x(- ln x C) 2,1-.-当-x31时，即0x6,原级数绝对收敛31一.一当x31时，即x0或x6,原级数发散3（1）n当x。时，根据莱布尼兹判别法,级数（收敛n1nc1当x6时，级数1发散，故收敛域为Q6）n1n七、共5分计算z2dxdy,其中为球面x2y2z21在第一卦限的外侧22解：在xo

20、y面的投影Dxy：xy1,x0,y0z2dxdy22二一1.2.1(1xy)dxdy02d0(1r)rdrDxy00248八、共7分1.0,求f(x)使lnxf(x)ydxf(x)dy为某二兀函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)xq一11一，行lnxf(x)f(x),即f(x)-f(x)lnxxxx1带入初始条件，解得C0,所以f（x）1xln2x2(x,y)1212.u(x,y)(0,0)(lnx21nx)ydx2xlnxdyxy12o002xln xdy-xyln2x 207高数3.5.6.7.8.1.2.4.共60分每题3分设向量a6,2,4,b22yoz坐标面上的曲线与之ac得分

21、,1,2,已知a与b平行，则3.1绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为2,b1,(a,b)一，则ab3设一平面经过点(1,1,1),且与直线22xy2ax2y40_、垂直，则此平面方程为2xy3z0.3yz0二元函数zlnvy22x1的定义域为(x,y)|y22x10.设zexy,贝Udzexy(ydxxdy).函数f(x,y,z)ln(x2y2z2),则gradf(1,0,1)(1,0,1)xf(x,Y),f具有连续导数，则上fxf1工f2xxx9.曲面x21在点(1,0,2)处的法向量n2,0,4.10.交换积分顺序:dx0f(x,y)dy1dyyf(x,y)dx.11.闭区域由曲面z21积

22、分为 d rdr 00x2y2及平面z1所围成，将三重积f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次12f(rcos,rsin,z)dz.r12 .设是闭区域的整个边界曲面的外侧，V是的体积，则Qxdydxydzdxzdxdy=3V.13 .设L为上半圆周y。1x2,则L(x2y2)ds14.设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)0,x,0x则它的傅里叶级数在x处收敛15.16.假设limUn0,则级数nUn的敛散性是n1发散n级数n-的敛散性是n15nn!17.级数誓的敛散性是收敛.n1n18.微分方程x2y5(y)46y0是二阶微分方程.19.微分方程y2yy0的通解为ex(C1C2x)2

23、0.微分方程y5y6y3xe2x的特解的形式y*(ax2bx)e2x二、共5分得分函数zz(x,y)由方程z24z0所确定，求上.x解：令F(x,y,z)x2y2z24z,(1则Fxx2x,2z4,(2分)FxFz(2分)五、共6分得分计算曲线积分/22L(x2y)dx(xsiny)dy其中L为由点A(2,0)到点0(0,0)的上半圆周y22x.解:添加有向辅助线段OA,它与上半圆周围成的闭区域记为D,根据格林公式/22、.L(x2y)dx(xsiny)dy22(12)dxdy一(x2y)dx(xsiny)dyOA'(3分)-22,1/23dxdyxdx1-D0232(3分)七、共6分

24、得分设f(l)0,确定f(x)使sinxf(x)dxxf(x)dy为某二元函数u(x,y)的全微分.解：由sinxf(x)x(x).1.f(x)-f(x)xsinxx(2分)所以1-dxsinxf(x)ex(ex1dxxdxC)lnxSinXinxc、(edxC)x(2分)1(cosxC),x(1分)代入初始条件，解得Ccosl,所以f(x)-(coslcosx).x(1分)八、(共6分)得分计算z2dxdy,其中是球面x2z21外侧在x0,y0的部分.解:zdxdyzdxdy1dxdy2(2分)(1Dxyy2)dxdy221)(1xy)dxdyDxy(2分)2(1Dxyy2)dxdy22d0

25、10(1r2)rdr(2分)08高数A一、选择题共24分每题3分1.设s1m1,n1，dsm2,n2,P2分别为直线L,L2的方向向量，则L,与L2垂直的充要条件是Am1m2n1n2p1P20Bm1上-p1m2n2p2Cm!m2n1n2PlP2Dm1nPi1m2n2P22.Yoz平面上曲线zy21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为Azy21Bzy2x2Czy2x21D3.二元函数zlny22x1的定义域为BA(x,y)|y22x0B(x,y)|y22x1C(x,y)|y22x10D(x,y)|x0,y4.交换积分顺序:ydy0f(x,y)dxA1dx1f(x,y)dyB0x11ody丫f(x,

26、y)dxCydy1f(x,y)dxD1xdx01f(x,y)dy5.空间闭区域由曲面r1所围成，则三重积分2dv=A2B2D36.函数z(x,y)由方程x2y24z0所确定，则ADn7.幕级数二n1n3n的收敛域是A3,3B0,3C3,3D3,38.已知微分方程yy2yex的一个特解为yxex,则它的通解是AC1xC2x2xexBC1exC2e2xxexCC1xC2x2DGexC2exxxe、填空题共15分每题3分1.曲面x2y2z在点（1,0,1）处的切平面的方程是2xz12.假设limunn0,则级数Un的敛散性是n13.级数誓的敛散性是绝对收敛.14 .二兀函数f(x,y)(xy)sin

27、,当x,y0,0时的极限幕于0x5 .全微分方程ydxxdy0的通解为xyC:三、解答题共54分每题6分1.用对称式方程及参数方程表示直线xyzi0xyz102xy3z402xy3z40解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为1 jks1114,1,3(4分)2 135分(6分)7分在直线上找出一点，例如，取1代入题设方程组得直线上一点1,0,2故题设直线的对称式方程为x14参数方程为14tt23t4.计算三重积分M y2dv,其中 是平面z 2及曲面zlx2y2所围成的区域提示：利用柱面坐标计算解： :r z2,2, 0（3分）x2 y2dv2rdr02rdz r6分5.

28、计算曲线积分段.83ydx解法1:添加有向辅助线段7分2xdy,其中L是在圆周yx-12xx2上由A(2,0)到点O(0,0)的有向弧OA,有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D,根据格林公2分（4分）ydx2xdy3dxdyydx2xdyD（6分）解法2:直接求曲线积分6.求外表积为a2而体积为最大的长方体的体积。解法1:设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则题设问题归结为约束条件2(x,y,z)2xy2yz2xza0下，求函数Vxyzx,y,z均大于0的最大值。2分作拉格朗日函数L(x,y,z,)xyz(2xy2yz2xza2)4分由方程组Lxyz2(yz)0Lyxz2(xz)

29、05分Lzxy2(yx)0进而解得唯一可能的极值点6axyz6由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为IV-6-a36分36解法2:从条件中解出z代入目标函数中，再用无条件极值的方法求解。7.计算 x y zds,其中为平面yz4被柱面x2y216所截的部分。解：积分曲面的方程为z4y,它在xoy面上的投影为闭区域-22一Dxyx,yxy162分又：1z2z2近所以xyzds=xy4y2dxdyDxy4分xdxdy=2°d44rcosrdr05分xy64-224dxdy416164*2Dxy6分8.将函数f(x),x(x1,1)展开成x的幕级数。解法1：因为2

30、分而又11xx(1,1)4分逐项求导，得2x3x2n1nxx(1,1)6分解法2:直接求展开式的系数，然后根据余项是否趋近于零确定收敛域9.求微分方程y/'21y的通解。解：令yu则原方程变为1u22分别离变量后积分得arctanuxC14分则,ytanx5分故原方程的通解为ylncosxC1C26分四、证明题7分证明：假设函数f(x,y)在Raxb1,a2yb2Rax,a2y，则f(x,y)dxdyRf(证：已知f(x,y)在R连续,R,设F(,)f(x,y)dxdyRdxf(x,y)dyala23分因为(x)a2Ff(x,y)dy在a1,连续，所以，有a2f(,y)dy5分又因为f

31、(,y)在a2,b2上连续，所以有2Ff(,)2即f(x,y)dxdyf(,)7分R08高数B一、选择题共24分每题3分1 .设两平面的法向量分别是nia1,bi,G，niazbQ，则这两平面垂直的充要条件是CAaa2bib?C1C21B亘立ca2b2c2Caa2 bid GC2 0D曳a2bi G d1b2C22. Yoz平面上曲线zy2绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为Azy21Bzy2x2Czy2x21Dzy2x3.二元函数zyy&的定义域为AA(x,y)|yVx,x0B(x,y)|x10C(x,y)|y2xD(x,y)|x0,y0114.交换积分顺序：dxf(x,y)dy=B0

32、x111yA°dyyf(x,y)dxB0dy0f(x,y)dx1y1xC0dy1f(x,y)dxD0dxif(x,y)dy5 .空间闭区域由曲面r1所围成，则三重积分3dv=DB2A3D46 .函数zz(x,y)由方程x2y2z24z0所确定,则-z=AyA六六C乂D上2z2zn7 .幕级数二的收敛域是Dnin5A5,5B0,5C5,5D5,58 .已知微分方程yy2yex的一个特解为y*xex,则它的通解是AAC1exC2e2xxexBC1xC2x2xexCC1xC2x2exDC1exC2exxex二、填空题共15分每题3分1.曲面x2y2z在点（0,1,1）处的切平面的方程是2Yz10.2.假设级数un的敛散性，则数列Un当n时的极限是0n13 .级数sn的敛散性是收敛.n1n7r2214 .一兀函数f(x,