最短路径问题修改2

1、 流程 创意情景创意情景 探索新知探索新知 运用新知运用新知 课堂小结课堂小结 课后思考课后思考创设情境创设情境【问题问题1 1】 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到饮马，然后到B B 地。地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？Bl尝试建模尝试建模 【追问

2、追问1 1】这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A A，B B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。抽象为一条直线。 BAl尝试建模尝试建模 【追问【追问2 2】你能用自己的数学语言说明这个问题的意思？你能用自己的数学语言说明这个问题的意思？ 从从A A 地出发，到河边地出发，到河边l饮马，然后到饮马，然后到B B 地；地；在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A A，B B 连接连接起来的两条线段的长度之和，就是从起来的两条线段的长度之和，就是从A A 地到饮马地点，再地到饮马地点，

3、再回到回到B B 地的路程之和。地的路程之和。 尝试建模尝试建模 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设上的点设C C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点点C C 在在l的什么位置时，的什么位置时，AC AC 与与CB CB 的和最小（如图）。的和最小（如图）。 【追问【追问3 3】你能用自己的数学语言并把它抽象为数学问题吗？你能用自己的数学语言并把它抽象为数学问题吗？ BlAC 【问题问题2 2】如图，点如图，点A A，B B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C C

4、 是直线上的是直线上的一个动点，当点一个动点，当点C C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC 与与CB CB 的和最小？的和最小？ 探索新知探索新知CBlA 证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C C（与点（与点C C 不重合），连不重合），连 接接ACAC，BCBC，B BC C。 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC BC = =B BC C，BCBC=B BC C。 AC AC + +BC BC = = AC AC + +BC BC = = AB AB， AC AC+ +BCBC= = AC AC+ +BCBC。 在在ABCABC中，中， ABA

5、BACAC+ +BCBC， AC AC + +BCBCACAC+ +BCBC。 即即AC AC + +BC BC 最短。最短。 【问题【问题3 3】你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC AC + +BCBC最短吗？最短吗？ BlABCC探索新知探索新知BlABC探索新知探索新知答：答：若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C C 不重合）与不重合）与A A，B B 两点的距离和都大于两点的距离和都大于AC AC + +BCBC，就说明，就说明AC AC + +BC BC 最小最小 【追问【追问1 1】证明证明AC AC + +BC BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要

6、在直线l l 上任取上任取一点一点C C（与点（与点C C 不重合），证明不重合），证明 AC AC + +BC BC ACAC+BC？这里的这里的“C C”的作用是什么？的作用是什么？ BlABCC探索新知探索新知 【追问【追问2 2】回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？借助什么解决问题的？ BlABCC运用新知运用新知 【练习【练习】如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB AB 的的P P 处前往山脚下的处前往山脚下的Q Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC BC 上，再返回上，再返回P P 处，请画出处，请画出旅游船的最短路径。旅游船的最短路径。ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQPQ，线，线段段PQ PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BCBC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P P，Q Q 在直线在直线BC BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BCBC上找到一点上找到一点R R，使，使PRPR与与QR QR 的和最小的和最小”。 运用新知运用新知ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥