工程结构抗震设计基础 Part.1 第2章1结构的弹性地震反应分析及抗震验算规定

1、第一篇第一篇 工程结构抗震设计基础工程结构抗震设计基础第第 2 2 章章 结构的弹性地震反应分析与抗震结构的弹性地震反应分析与抗震验算规定验算规定 2.1 概述概述2.1.1 地震反应的概念地震反应的概念 建筑结构的抗震设计：(1)概念设计；(2)参数设计。抗震计算的任务：抗震计算的任务：根据抗震设防烈度及场地类别等参数求出结构的内力和变形，由此进行结构构件的截面验算和变形验算。地震反应或响应：地震反应或响应：结构位移、速度、加速度、内力和变形等。系统：弹簧、质量、阻尼输入或激励输出或响应 地震反应除与地面运动有关(输入或激励)外，还与结构本身的动力特性(自振周期与阻尼或弹簧、质量、阻尼)有关

2、。2.1.2 质点体系及其自由度质点体系及其自由度 图3-1 水塔的简化体系 图3-2 框架的简化体系 自由度：自由度：确定质点系在空间位置所需的独立参数。 图3-3 质量均匀分布的结构的质点体系 2.1.3 地震反应计算方法简述地震反应计算方法简述 (1) 静力理论：静力理论： 把地面运动最大加速度和重力加速度的比值K定义为“水平烈度”，即当房屋重量为G时，水平地震力为KG，可理解为相当于房屋重量K倍的水平力破坏了房屋的静止状态。(2) 反应谱理论：反应谱理论：用实际地震记录求得的加速度反应谱进行结构抗震设计。(3) 地震反应时程分析：地震反应时程分析：在运动微分方程输入地震加速度记录后直接

3、积分求位移、速度和加速度，进一步求构件内力和应力，进行抗震设计。 2.2 单自由度体系的弹性地震反应单自由度体系的弹性地震反应2. 2.1 单度系统在地震作用下的运动方程单度系统在地震作用下的运动方程假定：(1)地面运动水平加速度 代表地震时地面运动过程；(2)地基为一刚体；(3)结构是弹性体系。)(txg 设基础绝对位移为 ，质点相对于基础x(t)(txg图图3-4 单自由度体系动力计算简图单自由度体系动力计算简图 令令 则则 式中：为无阻尼自振圆频率，简称自振频率，为阻尼系数c与临界阻尼系数Cr之比，简称阻尼比。 2.2.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 当1时，有自由振动

4、解： 积分常数A与B由初始条件确定，最后得 )73(sincos)(000txxtxetxt为有阻尼体系的频率，通常 1。 2.2.3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动1、单自由度体系在脉冲荷载作用下的振动、单自由度体系在脉冲荷载作用下的振动设系统开始静止，t0时，突然作用有冲量Pdt(图3-8)。相当于单自由度体系在初始条件作用下的自由振动，由理论力学冲量定理，有：t0时，x(0)0，v= (0)Pdt/m (mv-mv0=Pdt)，于是由式(3-7)有x x(t)(Pdt/ M)-t Sint (3-10)图3-8 t0时的脉冲作用及质点运动 若冲量(脉冲力)是在时间t时作用(

5、图3-10)，则在t 时，有x(t)(Pd/ M)-(t-) Sin(t-) (t ) (3-11)=0时，(3-11)成为(3-10) 图3-10 t时的脉冲作用及质点运动 2、一般荷载作用下的单自由度体系的振动、一般荷载作用下的单自由度体系的振动图图3-9 t时的脉冲作用及质点运动时的脉冲作用及质点运动 单质点体系在一般荷载P(t)作用下的振动微分方程为 荷载P(t)可看作是无数的脉冲荷载P()(或微冲量P()d)的连续作用之和或叠加(图3-9)，在t作用的微冲量P()d产生的微小位移为： dx(P()d/ M)-(t-) Sin(t-) (3-12a)在激励由0到t的连续作用下，质量m在

6、时刻t时的总位移为： 此积分式称为卷积积分卷积积分或褶积积分褶积积分或杜哈梅积分杜哈梅积分（Duhamel）。 2.2.4 单自由度体系的弹性地震反应分折单自由度体系的弹性地震反应分折 比较式(3-5)与(3-12)后可知， 相当于P(t)/m，所以由式(3-13)有特解： )(txg 方程(3-5)的通解等于方程的齐次解(式(3-7)与特解(式(3-14)之和，但式(3-7)是瞬态解，在有阻尼的情况下，很快会衰减，因此起作用的是稳态解或特解式(3-14)。 )73(sincos)(000txxtxetxt速度：速度： 加速度：加速度： 对式(3-14)、(3-15)及(3-16)进行积分，可

7、得位移、速度和加速度的地震反应。 位移：位移： 影响结构地震反应的因素： (1)地面运动加速度 ；(2)系统固有频率；(3)阻尼比 )(txg 式(3-14)、(3-15)及(3-16)的积分通常采用数值分析方法(直接积分法)进行。 常用的直接积分法有中心差分法中心差分法、线性加速度法线性加速度法、威尔逊威尔逊(Wilson)法法、Newmark法法、Houbolt方法方法及龙格龙格库塔库塔(Runge-Kutta)法法等。 (均为数值方法均为数值方法)1、线性加速度法、线性加速度法 假定质点的加速度反应在任一微小时段t内的变化是线性关系，考虑tk-1至tk的tk时段(图3-12)。 将位移

8、及速度 分别按泰勒级数展开： kxkx (3-17)kx (3-18)由图3-12，线性加速度的变化率为： 19)(3txxxk1kkk 所以 )203(6321211kkkkkkkkxtxtxtxx )213(2211kkkkkkxtxtxx 由由 22)(3xx2xxk2kkg,k 有有 25)(3x6x24)(3x3x1kk2kk1kkkktt 23)(3KRxkk解(3-20)、(3-21)和(3-22)，得)203(6321211kkkkkkkkxtxtxtxx )213 (2211kkkkkkxtxtxx 29)(3x2x2x328)(3x2x6x627)(3cmxmR26)(3c

9、3m6kK1kk1k1kk1k1k1k1k2k1k1k1kkg,kk2k ttttttk式中：式中：m、k和c分别为系统的质量、刚度和阻尼。已知系统质量m、刚度k和阻尼比，初始条件 及地面时程加速度 ，则 tk 时刻系统的位移、速度和加速度计算过程如下： 0000 xxx )(txg (1) 确定时间步长t，计算、c=2和K(式(3-26)； (2) 求时刻t1(t)的反应 ; (a) 由式(3-28)、(3-29)确定初始时刻的0和0； (b) 由式(3-27)确定t1时刻的R1； (c) 由式(3-23)、(3-24)和(3-25)求t1时刻的 111xxx 111xxx (3) 求时刻t

10、2(t1+t)的反应 ;求法重复步骤(2) 222xxx (4) 再依次求t3、t4，至所要求的时刻为止。 2、龙格、龙格库塔法库塔法 龙格库塔法是以德国数学家C.Runge及M.W.Kutta命名的。 龙格库塔法不作介绍，具体推导可以参考下列文献：(1) 易大义，蒋叔豪，李有法，数值方法，浙江科学技术出版社，1984.9 (2) 徐稼轩，郑铁生，结构动力分析的数值方法，西安交通大学出版社出版，1993.6 (3) KJ巴特，EL威尔逊，有限元分析中的数值方法，科学出版社，1985.5 (4) 其他数值分析，数值计算方法等2.3地震反应谱地震反应谱 2.3.1 地震反应谱的概念地震反应谱的概念

11、 工程中往往只关心响应的最大绝对值，利用地震反应谱可求最大地震反应。地震反应谱：地震反应谱：系统的最大反应与系统自振周期(或固有频率)和阻尼比的关系曲线。 工程上通常以相对位移(与结构变形和内力有关)、相对速度(与地震动输入能量有关)和绝对加速度(与地震惯性力有关)等最为重要的变量建立反应谱。 位移、速度和加速度反应谱分别记为 ，则)()()(avdSSS和、当阻尼比很小时，近似有35)(31(S(S(S2avd:): ): )图3-18为按图3-15地震波作输入所得的位移和加速度反应谱。 z阻尼影响很大；从图从图3-19可见可见z加速度反应谱在短周期部分波动剧烈且幅值较大；当周期较长时，谱值

12、逐渐衰减；z当周期大于某定值时，速度反应谱的谱值随周期的变化呈现出大致与周期轴平行的趋势；z当周期大于某定值时，位移反应谱具有随周期增大而增高的趋势，即位移反应对长周期结构的影响比短周期结构要大。 2.3.2 反应谱的标准化及平均反应谱反应谱的标准化及平均反应谱 显然，不同场地或不同时间发生的地震波记录作输入所得的反应谱是不同的，因此，用己知的某一个地震波记录所得的反应谱来预测未来的地震反应，进行工程抗震设计是没有意义的。 为了得到具有代表性的反应谱供抗震设计用，提出了反应谱的标推化及平均反应谱。 标准化反应谱：标准化反应谱：反应的最大值与引起该反应的地面运动的最大幅值之比，将两者的比值作为纵

13、坐标所得的反应谱。如对加速度反应谱，为： 称为动力放大系数。 由不同地震记录所得的加速度标准反应谱，其最大谱值max大致相同，只是谱的形状不同。这样，通过标准化处理后，地震动强度对反应谱的影响基本上消除了，可以单独研究地震动频谱特性对反应谱的影响。 通常，震中距和场地条件是影响反应谱形状的主要因素。 平均反应谱平均反应谱：将大量的标准反应谱按影响谱形状的各种因素分别加以平均的反应谱。 规范根据场地条件和震中距两个因素将反应谱分成A、B、C、D、E五类。以烈度8度为例：近震类场地为A，近震类和远震类为B，近震类和远震类为C，近震类和远震类为D，远震类为E(场地分类见第场地分类见第2章章)。五种谱

14、形的平均反应谱如图3-23：2.3.3 规范规定的地震反应谱规范规定的地震反应谱 平均反应谱虽可作抗震设计的依据，但不便应用，为此，进行处理。地震作用：地震作用： k称为地震系数，是地震强烈程度的指标，规范按烈度7、8、9度分别取k值为0.1、0.2和0.4。 为式(3-36)表示的动力系数，规范取max=2.25。称为地震影响系数。 设计用反应谱：设计用反应谱：1、纵坐标用。首先将图3-23的标准反应谱加以模型化，成为图3-24；然后将已模型化的标准反应谱的谱值乘上一个系数k，得到谱曲线如图3-25(抗震规范规定的抗震设计反应谱)，两者的谱值不同，但谱的形状没有改变。各设计阶段的max值如表

15、3-1所示。 基本烈度：基本烈度：maxkmax=(0.10.4)*2.25多遇烈度：多遇烈度：k值约为基本烈度的0.35倍罕遇烈度：罕遇烈度：k值约为基本烈度的2.2、2.0和1.6倍(当基本烈度为7、8和9度时) 表3-1 水平地震影响系数最大值max验 算 内 容设 防 烈 度6789多遇地震，承载力(与弹性变形)验算0.040.080.160.32相应基本烈度地震(一般不使用)0.120.230.450.90罕遇地震，防倒塌弹塑性变形验算0.250.500.901.40表表2-1 水平地震影响系数最大值水平地震影响系数最大值max 2、取阻尼比0.05的谱曲线作为设计用的谱曲线。3、将

16、谱曲线分为三段：Tg称为特征周期，按表3-2确定。 表表3-2 特征周期特征周期Tg(s)近、远震近、远震场场 地地 类类 别别近震近震0.200.300.400.65远震远震0.250.400.550.85关于关于(T)曲线的说明：曲线的说明：(a) 单质点体系自振周期单质点体系自振周期T可按下式确定：可按下式确定：T=2 2=k/m k=P=1 T=2(G/g)1/2G质点重力荷载代表值；单位水平集中力使质点产生的侧移。 (b) 关于关于T=0时，时，=1T=0时，系统为刚性体系，地面的运动就是质点的运动，即系统既不放大也不缩小，=1。(c) 关于关于min的取值的取值 为了保证结构具有最

17、低限度的抗震能力，规范规定，值的下限不应小于最大值的20，即min0.2max。至于限制T3.0s的问题，主要考虑当T3.0s时，反应谱曲线准确性才有保证。(d) 反应谱曲线在0.1sTTg一段，作了平滑处理，为安全计，这一段取水平线，即均按max取值。在0T0.1s一段，按直线变化，即按0.45max和max之间线性插入取值。(e) 绘制绘制反应谱曲线时，阻尼比采用反应谱曲线时，阻尼比采用0.05 利用抗震设计反应谱计算结构所受利用抗震设计反应谱计算结构所受地震力的基本步骤：地震力的基本步骤： (1) 计算结构的重量G和自振周期T； (2) 根据结构所在地区的设防烈度、场地条件 和震中距，按

18、表3-1 和表3-2查得反应谱的最大地震影响系数max和特征周期Tg； (3) 按公式(3-40)确定地震影响系数； (4) 按公式(3-37)计算地震作用Fek，即 两跨单层厂房，其结构为铰接排架，如图3-26(a)所示。屋盖重量G1495kN，G2396kN，柱子重量g1g330kN，g236kN，柱子刚度EI1EI3=10.83kNm2，EI2=18.72kNm2，柱高h 6m。按8度、近震、 类场地求厂房强度验算时所受地震作用。 图图3-26 两跨单层厂房剖面及其计算简图两跨单层厂房剖面及其计算简图 解解模型简化如图3-26(b)，体系刚度为各柱刚度之和，质点质量当计算体系自振周期自振

19、周期T T时取屋盖重量及1/41/4柱重量柱重量之和，当计算地震作用地震作用FekFek时取屋盖重量及1/21/2柱重量柱重量之和。 08kN/m5618.72)23(10.83h)EIEI3(EIK333216ABPLEI=EI1+EI2+EI3 (为什么？为什么？)由材料力学=PL3/3EI及K=P令L=h 即可得K值。K的计算原理：的计算原理：s0.8156089.89152gKG2Km2TT915kN)gg(g41GGG32121T939kN)gg(g21GGG32121E0.08480.160.810.4TT0.9max0.9g79.627kN9390.0848FEek G8度，ma

20、x0.16；近震、类场地，Tg0.40所以： 计算体系自振周期T时取屋盖重量及1/4柱重量之和，当计算地震作用Fek时取屋盖重量及1/2柱重量之和。(为什么？为什么？)计算体系自振周期计算体系自振周期T时时 设立柱速度分布为直线，则立柱和屋盖质量分别为m和M，立柱单位长度质量密度为，则系统动能为系统势能：VhyVy2202)31(21)(2121VmMVhydyMVTh221KxU VVyy由T=U，两边对时间t求导，得 ， 即质量取1/3。0)31(KxxmM 若立柱速度分布为抛物线，则同样推导可得质量取1/5。 若选取直杆重力荷载q沿水平方向作用得到的弹性曲线作为振型曲线(如图示)，即则柱

21、顶最大位移Xm为(令上式y=H)：Xm=qH48EI所以x=Xm(y4-4Hy3+6H2y2)(3H4) 立柱动能T柱为：(利用柱顶速度V=Xm及柱质量m=H) 2924044536278242223424020)257. 0(2145144)3(23648288)3(264)3(21)(21VmHHVdyyHyHyHHyyHXyHHyyHXdyxdyTHmmHH柱故等效质量取柱质量的0.257倍，约m/4因此，这里有模型的选取问题。 计算地震作用计算地震作用Fek时：时：立柱质心在h/2处，惯性力为ma/2=a(m/2) 单层钢筋混凝土框架计算简图如图所示。集中在屋盖处的重力荷载代表值G12

22、00kN，梁的抗弯刚度EI，柱的截面尺寸bh350mm350mm，采用C20混凝土，类场地，设防烈度7度(近震)。试确定按第一阶段设计时的水平地震作用标准值，并绘出相应地震内力图。 解解(1) (1) 求水平地震作用标准值求水平地震作用标准值 C20混凝土的弹性模量E25.5kNmm2，柱的惯性矩：（为什么？见下页）（为什么？见下页）框架自振周期(注意梁的抗弯刚度EI，无变形)：也可用： P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的转角分别为：P= - PL2/2EIM= ML/EIP=1M自由端是固支端，转角为零P+M=0所以： M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由端的挠度为：=

23、P+M= - PL3/3EI+ ML2/2EI= - PL3/12EI由K=P得K=12EI/L3 图参见右图M由P49表3-1，当设防烈度为7度、多遇地震时，max0.08，由表3-2，当类场地、近震时Tg0.40 s按式(3-40)计算地震影响系数式(3-37)计算水平地震作用标准值：(2) 求地震内力标准值，并绘出内力图求地震内力标准值，并绘出内力图 求得水平地震作用标准值FEk45.6kN后，就可把它加到框架横梁标高处，按静载计算框架地震内力V和M。地震内力V图(剪力图)、M图(弯矩图)见图。 2.4 多自由度体系的弹性地震反应多自由度体系的弹性地震反应 2.4.1 多自由度体系的自由

24、振动多自由度体系的自由振动1、自振频率、自振频率(1) 刚度法图示框架，模型简化如图3-27(b)、(c)所示，mi、hi、ki及xi分别表示第i层的质量、层高、柱的剪切刚度及水平位移。 受力分析如图3-28，由理论力学达朗贝尔原理，有 或或 k22k12x=1k11K21x=1k1k2设解为： 所以： 式(3-47)为振幅方程。 振幅Xl及X2不同时等于零的条件是系数行列式等于零，即或式(3-49)称为频率方程。1称为第一自振频率或基频；2称为第二自振频率。对于多层框架的多自由度体系，有频率方程：刚度矩阵K是对称三对角矩阵。 如果考虑的是空间问题或一般的振动系统，则K将不是三对角矩阵。质量矩

25、阵M是对角矩阵由频率方程(3-53)，可以得到n个固有频率和相应的振型。 (2) 柔度法柔度法仍以二层框架为例，任一瞬时，质点l及质点2在惯性力作用下的位移为： 21P=11112P=122设与刚度法一样，有Xl和X2不同时等于零的条件：21,2或：对于一般的多自由度体系，柔度法建立的系统运动微分方程：柔度矩阵通常为满阵： 质量矩阵与前面一样是对角阵。 频率方程： 1K柔度矩阵与刚度矩阵K互逆，即求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。 k1k2k3m1m2m31x2x3x解解刚度法：令刚度法：令x x1 1=1=1，x x2 2= x= x3 3=0=0，有，有 k11=k1+k2 k21=

26、 - k2 k31= 0同理：k22=k2+k3 k12= - k2 k32= - k3 k23= - k3m1k1k2k11m2k2k21 333322221kkkkkkkkkK00刚度矩阵kij描述了质点i与j的联系。柔度法：柔度法：在m1 上加单位力，各质量的位移分别为： 11 1/k1 21 31 11 1/k1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1同理，在m2 上加单位力，各质量的位移分别为： 12 1/k1 22 1/k1 1/k2 32 1/k1 1/k2 在m3 上加单位力，各质量的位移分别为： 13 1/k1 23 1/k1

27、1/k2 33 1/k11/k21/k3 柔度矩阵为： 3222211111111111111kkkkkkkkkkkkkk111111111可以验证：K-1 对弹性系统来说，总存在刚度矩阵总存在刚度矩阵，但不一定存在但不一定存在柔度矩阵柔度矩阵，当系统中存在刚体位移（模态）时，就是这种情况，此时，刚度矩阵K是奇异的，矩阵行列式等于零，因而不存在逆矩阵。如上面k1=0 2、主振型、主振型 从频率方程求出1和2后，将其分别代入振幅方程(3-47) (刚度法)或式(3-56)(柔度法)，可得到相应的位移幅值。由于振幅方程的系数行列式等于零，所以(3-47)的两个方程并非独立，由其中任一式可求振幅比：

28、 两自由度系统具有两个固有频率1 与2 ，说明系统具有两种可能的同步运动，每个同步运动对应一个固有频率，即解有下列两个形式： 频率1 ： x1 (t)X11 Sin(1 t1 ) x2 (t)X12 Sin(1 t1 ) 频率2 ： x1 (t)X21 Sin(2 t2 ) x2 (t)X22 Sin(2 t2 )振幅的比值为一常数。 对应每个自振频率，都有一个振幅比，体系按某一弹性曲线形状发生振动。这种振动形式通常称为主振型，或简称振型。1对应第一振型或基本振型；2对应第二振型。可以证明，对第一振型，X11与X12正负相同，对第二振型， X21与X22正负相反。振型如图3-29(a)与(b)

29、。对于柔度法对于柔度法，有 2212211112XXXX令 系统的运动在一般情况下是这两个同步运动的叠加： x1 (t)X11 Sin(1 t1 )X21 Sin(2 t2 ) x2 (t)X12 Sin(1 t1 )X22 Sin(2 t2 ) 1 X11 Sin(1 t1 )2 X21 Sin(2 t2 ) (3-64)写成矩阵形式： )sin(1)sin(1)()(222121111121tXtXtxtx)sin()sin(112221111121tXtX四个积分常数X11 、X21 、1 和2 由初始条件确定。 称为第二主振型。称为第一主振型，221111uu21和u1称为第一特征对，

30、22和u2称为第二特征对。对于n自由度系统，有2i和ui(i=1,2,n)。3、主振型的正交性、主振型的正交性 特征对2i与ui(i=1,2,n)满足特征矩阵方程(3-52)，即 （K 2iM）ui 0或 Kui 2iMui (a)对任意j，同样有 Kuj 2jMuj (b)将(a)式两边转置后右乘uj ，得 uTi Kuj 2i uTi Muj (c)对(b)式左乘uTi ，得 uTi Kuj 2j uTi Muj (d)(c)(d)两式相减，得： 0(2i 2j ) uTi Muj 若ij，则i j ，于是 uTi Muj 0因而 uTi Kuj 0说明各个主振型关于M与K存在加权正交性。

31、记 Mi uTi Mui Ki uTi Kui 则 i Ki /Mi Mi 与Ki 分别称为第i阶模态质量与模态刚度。 例题3-5某两层钢筋混凝土框架，如图3-30所示，假定横梁的刚度很大而可不考虑其弯曲变形；柱的截面积为40cm50cm，混凝土 弹 性 模 量 E 2.6107kNm2；一、二层 的 质 量 为 m1= m25l04kg。试求该框架的自振频率与振型。 解解：1 计算各层的剪切刚度计算各层的剪切刚度 I1=I2=0.40.53/12=0.05/12m4 注意：为什么这里k1=k2=12EI/h3而不是P51图3-26的k =3EI/h3？因为图3-26是悬臂梁，这里是固支固支梁

32、！P=1图图3-26 两跨单层厂房剖面及其计算简图两跨单层厂房剖面及其计算简图 P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的转角分别为：P= - PL2/2EIM= ML/EIP=1M自由端是固支端，转角为零P+M=0所以 M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由端的挠度为：=P+M= - PL3/3EI+ ML2/2EI= - PL3/12EI由K=P得K=12EI/L32 用刚度法求自振频率用刚度法求自振频率由式(3-49) 得 3 用柔度法求自振频率用柔度法求自振频率 由式(358)可求出相同的结果： 4 求主振型求主振型 当1=12.61时 当2=33.0时2.4.2 多自由度

33、体系弹性地震反应的振型分解法多自由度体系弹性地震反应的振型分解法1、多自由度体系在地震作用下的运动微分方程、多自由度体系在地震作用下的运动微分方程图示多自由度体系框架结构，设基础为刚性平面，地面位移为xg(t)，xi(t)表示质点i的相对位移。 作用力有)683(, 2 , 1nixxmfigiiI 惯性力：)693(, 2 , 12211nixCxCxCfnniiiiD阻尼力：式中：Cim由点m产生的单位速度在点i产生的阻尼力； kim由点m产生的单位位移在点i产生的弹性反力)703(, 2 , 12211nixkxkxkfnniiiiS弹性恢复力：图图3-22 多层框架计算简图多层框架计算

34、简图 由达朗贝尔原理： 即 质量、刚度、阻尼矩阵分别为： 2、多自由度体系地震反应的振型分解法、多自由度体系地震反应的振型分解法 运动微分方程(3-72)是耦合的，即微分方程之间相互联系。为了解耦，可以利用主振型关于M与K的加权正交性。 (1) 阻尼矩阵假定阻尼矩阵假定 设 (2) 广义坐标广义坐标 进行主坐标变换： 即 式中： 为广义坐标向量； X为变换矩阵，由n个特征向量Xi所构成。 Tn21qqqq(3) 振型参与系数振型参与系数 式(3-80a)两边左乘XjTm，得 考虑到振型关于M与K的加权正交性 uTi Muj 0 uTi Kuj 0或 XiT MX j 0 XiT KX j 0有由(3-83)和(3-84)得第j个广义坐标qj：对于x1x2xn=1的特殊情况，用j代替qj，有 式中j称为地震反应中第第j振型振型的振型参与系数振型参与系数，Xji为振型矩阵的第j行第i列元素。(4) 广义坐标微分方程及其解广义坐标微分方程及其解 将式(3-77)、(3-80a)代入(3-72)，并左乘XjT，得 由振型关于m与K的加