第六章 曲线和曲面

1、第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面“建筑是凝固的音符建筑是凝固的音符” ；“建筑是凝固的音符建筑是凝固的音符” ； 迪拜拟建中的七星级宾馆迪拜的地标建筑-帆船酒店 迪拜迪拜 一个重要的标志就是下面这个一个重要的标志就是下面这个酒店。这个酒店建造在一个人造小酒店。这个酒店建造在一个人造小岛上，由于其外形像帆船，也被人岛上，由于其外形像帆船，也被人称为称为“帆船帆船”酒店酒店 。顶上那个圆形。顶上那个圆形的绿色建筑，是空中网球场的绿色建筑，是空中网球场 。迪拜简介：位于中东阿联酋的迪拜迪拜简介：位于中东阿联酋的迪拜 ，人口，人口 200多万多万 ，过去主要靠石油为生。迪拜的未来，过去主要靠石油为生

2、。迪拜的未来战略转移目标已经十分明显，它要建成世界上战略转移目标已经十分明显，它要建成世界上最豪华、高档的旅游、休闲、度假胜地最豪华、高档的旅游、休闲、度假胜地 。目前，。目前，迪拜的石油收入只占全部迪拜的石油收入只占全部GDP的的6%。 这个建筑正在建设进行中，名曰这个建筑正在建设进行中，名曰“棕榈岛棕榈岛”，与它配套的还有一个，与它配套的还有一个“世界地图世界地图”，都是人工建造的小，都是人工建造的小岛。这个庞大的建设计划，耗资约岛。这个庞大的建设计划，耗资约140亿美元，据说在月亮上也能看到，亿美元，据说在月亮上也能看到，因此被称为因此被称为“世界第八奇迹世界第八奇迹” 还包括我们日常生

3、活中的用品：还包括我们日常生活中的用品：6-1 曲线 一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类 1、形成方式形成方式：曲线可以看作由以下三种方式形成：曲线可以看作由以下三种方式形成：1)1)不断改变方向的点的连续运动的轨迹，如下图不断改变方向的点的连续运动的轨迹，如下图a,a,2)2)曲面与曲面或曲面与平面相交的交线，如下图曲面与曲面或曲面与平面相交的交线，如下图b, b, 3)3)直线族或曲线族的包络，如图下图直线族或曲线族的包络，如图下图c c所示。所示。 2 2、分类、分类 二、曲线的投影二、曲线的投影1 1、曲线的投影、曲线的投影 先画出曲线上一系列点的投影，并连成光滑曲线，就可以得到

4、该曲线的投影。先画出曲线上一系列点的投影，并连成光滑曲线，就可以得到该曲线的投影。为了较淮确地画出曲线的投影，一般应画出曲线上一些特殊点的投影，以便控制曲线的形状。为了较淮确地画出曲线的投影，一般应画出曲线上一些特殊点的投影，以便控制曲线的形状。 2 2、曲线的投影性质：、曲线的投影性质：1）曲线的投影一般仍为曲线，如图62a所示。在特殊情形下，当平面曲线所在的平面垂直于某投影面时，它在该投影面上的投影为直线，如图62b所示。2）曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，如图62a和c所 三、圆的投影三、圆的投影图图6-3图图6-4螺旋线是工程中常用的空间曲线之一（工程实例：

5、旋转楼梯、弹簧等）。圆柱、圆锥、球等螺旋线是工程中常用的空间曲线之一（工程实例：旋转楼梯、弹簧等）。圆柱、圆锥、球等旋转曲面等都可以形成相府的螺旋线。这里仅讨论常用的圆柠螺旋线旋转曲面等都可以形成相府的螺旋线。这里仅讨论常用的圆柠螺旋线。 1 1圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成 引入概念：螺旋半径、导程、螺旋半径、导程、当点当点p p沿圆柱面上的一条直母线按固定方向作等速移动，而该母线又绕柱轴作等速沿圆柱面上的一条直母线按固定方向作等速移动，而该母线又绕柱轴作等速旋转运动，点旋转运动，点P P的轨迹为圆柱螺旋线的轨迹为圆柱螺旋线 。按照旋向：螺旋线有按照旋向：螺旋线有左旋左旋和和右旋右旋之分，

6、之分，2 2圆柱螺旋线的投影圆柱螺旋线的投影四、四、 螺旋线的投影螺旋线的投影1.1.螺旋线螺旋线( (面）的形成面）的形成2.螺旋线的画法6-2 曲面概述曲面概述 曲面曲面直纹面直纹面曲线面曲线面一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类 几个概念几个概念： 毋线、素线、毋线、素线、 导线（面）导线（面）旋转面旋转面 （圆锥面圆锥面 、旋、旋转单叶双曲面）转单叶双曲面）非旋转面非旋转面 （双曲抛物面、（双曲抛物面、 锥状面、柱状面等）锥状面、柱状面等）（注：圆柱面即可看做旋注：圆柱面即可看做旋转面也可非旋转转面也可非旋转）规则曲面规则曲面 不规则曲面不规则曲面 旋转面旋转面 旋转面旋转面 并且

7、，外形线也是该投射方向的曲面卜可见与不可见部分的分界线。并且，外形线也是该投射方向的曲面卜可见与不可见部分的分界线。 一、曲面的投影： 几个概念： 1.曲面的外形轮廓线：平行于某个投影方向且与曲面相切的投射线形成投射平面，投射平面与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线，简称外形线。 曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向的外形线的投影来表示。如：图6-10 图6-10图图6-11 曲面上定点曲面上定点三、曲面上点的投影： 如果曲面投影具有积聚性，则利用积聚性来求。否则，运用“素线法”和“纬圆法”。 图6-11方法适用方法适用：素线法：素线法：适用于于直纹面；纬圆法：纬圆法：一般适一

8、般适用于旋转面用于旋转面 ；6-3 直纹面直纹面直纹面一、直纹面的分类一、直纹面的分类 ： 旋转面旋转面 （圆锥面、旋转单叶双曲面等）（圆锥面、旋转单叶双曲面等） 非旋转面非旋转面（切线面、双曲抛物面、锥状面、切线面、双曲抛物面、锥状面、柱状面等柱状面等）（注：圆柱面即可看做旋转面也注：圆柱面即可看做旋转面也可非旋转可非旋转） 可展直纹面可展直纹面 （ 柱面、锥面、切线面）柱面、锥面、切线面） 不可展直纹面不可展直纹面 （柱状面、锥状面等柱状面、锥状面等）思考题？思考题？ 球面可展吗？球面可展吗？属于哪类曲面？属于哪类曲面？ 不可展，曲面面！不可展，曲面面！曲面可展不可展的判别 相邻两条素线：

9、若是平行或相交，则曲面可展；交叉则不可展。一、柱面一、柱面1柱面的形成柱面的形成 直母线直母线L L沿着一条曲导线沿着一条曲导线C C运动，且始终平行于某一固定方向了运动，且始终平行于某一固定方向了T T，这，这样形成的曲面称为柱面。如图样形成的曲面称为柱面。如图2 2 柱面的分类柱面的分类 根据曲导线的形状，常见的柱面有根据曲导线的形状，常见的柱面有圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面、双圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面、双曲柱面曲柱面等：如果柱面没有对称面，则称为等：如果柱面没有对称面，则称为一般柱面一般柱面； 如果柱面有两个如果柱面有两个以上的对称面则称为以上的对称面则称为有轴柱面有轴柱面。3.3.柱面

10、的投影柱面的投影柱面的投影只需画出柱面上素线柱面的投影只需画出柱面上素线( (如外形线如外形线) )的投影，而不需要画出固定的投影，而不需要画出固定方向了的投影方向了的投影 。如图：。如图： 思考题：思考题：椭圆柱和斜圆柱如何区分？椭圆柱和斜圆柱如何区分？ 二、锥面二、锥面1锥面的形成锥面的形成 直母线直母线L L沿着沿着条曲导线条曲导线C C运动，且始终通过定点运动，且始终通过定点S S，这样形成的曲面称为锥，这样形成的曲面称为锥面。面。 2 2 柱面的分类柱面的分类 根据曲导线的形状，根据曲导线形状，常见的锥面分根据曲导线的形状，根据曲导线形状，常见的锥面分：圆锥面、椭圆锥锥面、椭圆锥面、

11、抛物锥面。面、抛物锥面。3 3 柱面的投影柱面的投影在锥面的投影图中应表示锥顶、导曲线和锥面上外形线的投影在锥面的投影图中应表示锥顶、导曲线和锥面上外形线的投影 。（如圆。（如圆锥投影的表示）锥投影的表示） 三、切线面三、切线面1切线面的形成切线面的形成 直母线直母线L L沿着一条曲导线沿着一条曲导线C C运动旦始终与运动旦始终与C C相切这样形成的曲面称为相切这样形成的曲面称为切切线面线面 2 2 几个术语：几个术语：如图如图6-16a6-16a, 曲曲C C是空间曲线，称为切线面的是空间曲线，称为切线面的脊线脊线 ；过脊线；过脊线C C上任意点上任意点M M，作，作截平面尸，使与切线面相交

12、，截交线为截平面尸，使与切线面相交，截交线为AMBAMB，其中，其中M M为截交线上的尖点，也为截交线上的尖点，也称为称为回折点回折点。因为脊线因为脊线C C是所有回折点的轨迹，所以把脊线称为是所有回折点的轨迹，所以把脊线称为回折线回折线，切切线面也相应地称为线面也相应地称为回折棱面回折棱面。 3 3 切线面的投影切线面的投影如图如图6-16b6-16b图中除了应表示曲导线和切线面的外形线的投影外，还需作出切线面与地图中除了应表示曲导线和切线面的外形线的投影外，还需作出切线面与地面的交线和切线面上若干条素线的投影。面的交线和切线面上若干条素线的投影。 6-16 a 切线面切线面6-16 b 同

13、坡曲面投影同坡曲面投影四、工程应用四、工程应用由形成可知，切线面有两叶，在工程曲面设计中一般主要利用其中的一叶。 工程中弯曲斜坡道路的两侧坡面往往设计成切线面，并且使切线面的所有切线(即素线)与地面(水平面)成同一倾角a,这样设计成的切线面称为同坡曲面同坡曲面或同斜曲面同斜曲面，有时也称为盘旋面盘旋面。 四四、双曲抛物面双曲抛物面1双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。因形状像马鞍，又称马又称马鞍面鞍面.2双曲抛物面的画法（1） 画出两条直导线的两面投影；（2） 作出直母线的两面投影：（3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。

14、3双曲抛物面的截交线1 1双曲抛物面的形成双曲抛物面的形成P导平面直导线直导线直母线2双曲抛物面的画法3双曲抛物面的截交线 三、柱状面三、柱状面1 1柱状面的形成柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面面，这样形成的曲面称为柱状面2 2柱状面的画法柱状面的画法（1 1） 画出两条曲导线的两面投影；画出两条曲导线的两面投影；（2 2） 作出直母线的两面投影：作出直母线的两面投影：（3 3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。P1 1 .状面的形成状面

15、的形成导平面曲导线曲导线2 2. 柱状面的画法柱状面的画法 五、五、锥状面锥状面1锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。2锥状面的画法（1） 画出一直导线和曲导线的两面投影；（2） 作出直母线的两面投影：（3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。1 1锥状面的形成锥状面的形成P导平面曲导线直导线2 2锥状面的画法锥状面的画法 七、七、单叶双曲回转面单叶双曲回转面1单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。2单叶双曲回转面的画法（1） 画出回转轴及直导线的两面投影；（2） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：（3） 作出若干素线的投影及素线的包络线。单叶双曲回单叶双曲回转面的画法转面的画法135357997111111 79 113 55 119 71 3八.螺旋面（正螺旋柱状面）1正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2正螺旋柱状面的画法（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2）作出直母线的两面投影；（3）作出该曲面上各素线的投影。3正螺旋柱状面的应用的例子1.正螺旋柱状