中值定理证明方法总结

1、第5讲中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推广推广5 5 微分中值定理的应用与技巧微分中值定理的应用与技巧51 基本概念、内容、定理、公式基本概念、内容、定理、公式一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),

2、使. 0)(fxyoab)(xfy 证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo机动 目录 上页 下页 返

3、回 结束 使2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆

4、向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,)(x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0)()()(abafbff证毕三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一

5、点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且, ),(ba使, 0)(即由罗尔定理知, 至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(ba

6、abFaFbF两个 不一定相同错错! !机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论. 罗尔定理罗尔定理0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()(bfaf)()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf柯西中值定理柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy泰勒中值定理泰勒中值定理)()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n几个中值定理的关系几个中值定理的关系证明中值定理的方法证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如, 证明拉格朗日定

7、理 :)()()(abfafbf要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .方法方法1. 直观分析)(xfy oyxabCxyabafbf)()(由图可知 , 设辅助函数CxabafbfxfxF)()()()(C 为任意常数 )方法方法2. 逆向分析逆向分析)()()(abfafbf要证即证0)()()(abafbff)(FabafbfxfxF)()()()(原函数法xabafbfxfxF)()()()(辅助函数同样同样, 柯西中值定理要证柯西中值定理要证),(,)()()()()()(bagfagbgafbf即证0)()()()()()(gagbgafbff)()()()()()()(xgagbga

8、fbfxfxF原函数法)()()()()()()(xgagbgafbfxfxF设* 中值定理的条件是充分的中值定理的条件是充分的, 但非必要但非必要.可适当减弱. 因此例如, 设)(xf在),(ba内可导,且, )0()0(bfaf则至少存在一点, ),(ba使.0)(f证证: 设辅助函数)(xFaxaf, )0(bxaxf, )(bxbf, )0(显然)(xF在,ba上连续,在),(ba内可导,由罗尔定理可知 , 存在一点, ),(ba使,0)(F即.0)(f* 中值定理的统一表达式中值定理的统一表达式设)(, )(, )(xhxgxf都在),(ba上连续 , 且在,ba内可导, 证明至少存

9、在一点, ),(ba使0)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf证证: 按三阶行列式展开法有)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf)()()()()(fbhahbgag)()()()()(gbhahbfaf)()()()()(hbgagbfaf利用逆向思维设辅助函数)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf)()()()()(fbhahbgag)()()()()(gbhahbfaf)()()()()(hbgagbfaf)(xF)()()()()(xgbhahbfaf)()()()()(xhbgagbfaf)()()(

10、)()()()()()(xhbhahxgbgagxfbfaf显然 F(x) 在a , b 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且,0)()(bFaF因此,由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba使)()()()()(xfbhahbgag,0)(F即0)()()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfafF说明说明设)(, )(, )(xhxgxf都在),(ba上连续 , 且在,ba内可导, 证明至少存在一点, ),(ba使0)()()()()()()()()(hbhahgbgagfbfaf若取, )()(,)(, 1)(bfafxxgxh即为罗尔定理;若取,)(, 1)(xx

11、gxh即为拉格朗日中值定理;若取,0)(, 1)(xgxh即为柯西中值定理;( 自己验证 )中值定理的主要应用与解题方法中值定理的主要应用与解题方法 中值定理原函数的性质导函数的性质 反映反映反映反映中值定理的主要应用中值定理的主要应用(1) 利用中值定理求极限(2) 研究函数或导数的性质(3) 证明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 证明有关中值问题的结论(6) 证明不等式解题方法解题方法:从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定理及适当设辅助函数 .(1) 证明含一个中值的等式含一个中值的等式或证根的存在根的存在 , 常用罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数.(2)

12、若结论中涉及到含一个中值一个中值的两个不同函数两个不同函数,可考虑用柯西中值定理 .注：（注：（1 1） 几个中值定理中最重要、最常用的是几个中值定理中最重要、最常用的是: : 罗尔中值定理。罗尔中值定理。 （2 2） 应用中值定理的关键为：应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）重点）(3) 若结论中含两个两个或两个以上中值两个以上中值 , 必须多次使用中值定理 .(4) 若已知条件或结论中含高阶导数含高阶导数 ,多考虑用泰勒公式泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .(5) 若结论为恒等式 ,先证变式导数为 0

13、, 再利用特殊点定常数 .(6) 若结论为不等式 ,要注意适当放大或缩小的技巧.构造辅助函数的方法构造辅助函数的方法 (1)不定积分求积分常数法不定积分求积分常数法.( )( )( )f bf axCf xba 例例1. 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在

14、以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾, 故假设不真!设机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 .例题选讲例题选讲例例2.求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn设辅助函数使得)()(1ffnnn0机动 目录 上页 下页 返回 结束 辅助函数辅助函数如何想出来的？如何想出来的？例例3. 设函数在)(xf),(ba内可导, 且,)

15、(Mxf证明在)(xf),(ba证证: 取点, ),(0bax 再取异于0 x的点, ),(bax对)(xf在以xx ,0为端点的区间上用拉氏中值定理得)()()(00 xxfxfxf( 界于 与 之间)0 xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxf令, )()(0abMxfK则对任意, ),(bax,)(Kxf即在)(xf),(ba内有界.内有界.例例4. 设函数)(xf在 1 ,0上连续, 在,0)0(f但当, ) 1,0() 1 ,0(x时) 1 ,0(内可导,且,0)(xf求证对任意自然数 n , 必有使)1 ()1 ()()(ffffn分析分析:

16、在结论中换 为,x得积分积分)1 ()1 ()()(xfxfxfxfnCxfxfnln)1 (ln)(lnCxfxfn )1 ()()1 ()()(1fffnn0)1 ()(ffn因,0)1 ()(ffn所以)1 ()1 ()()(ffffn证证: 设辅助函数)1 ()()(xfxfxFn显然)(xF在 1 ,0上满足罗尔定理条件,因此必有, ) 1,0(使,0)(F即 不定积分不定积分求积分常数法求积分常数法!例例5. 设函数)(xf在 1 ,0上二阶可导, 且,0) 1 ()0( ff证明至少存在一点, ) 1 ,0(使.1)(2)( ff分析分析: 在结论中将换为,x得xxfxf 12)

17、()(积分积分Cxxfln)1ln(2)(lnCxfx)()1 (2证证: 设辅助函数)()1 ()(2xfxxF因)(xf在 1 ,0上满足罗尔定理条件,所以存在, ) 1 ,0(使.0)(f因此)(xF在 1 ,上满足罗尔定理条件,故必存在, ) 1 ,(使0)(F即有) 1 ,0() 1,(,1)(2)( ff 不定积分不定积分求积分常数法求积分常数法!例例6. 设)(xf在,ba上连续, 在,0ba 证明存在, ),(ba),(ba内可导,且使2)()()()()(ffabbaafbbfa证证: 方法方法1 .因为所证结论左边为ababbaafbbfaaafbbf)()()()()(设

18、辅助函数xxfxF)()(由于,ba上满足拉氏中值定理条件, 且,)()()(2xxfxfxxF易推出所证结论成立 .)(xF在方法方法2 . 令2)()()()()(ffabbaafbbfakabbaafbbfa)()()()()()(abbakafbbfabakafbbakbfa22)()(aakafbbkbf22)()(因此可考虑设辅助函数xxkxfxF2)()(由于)(xF在,ba上满足罗尔定理条件, 故存在, ),(ba使,0)(F由此可推得xkxxf)(故所证结论成立.常数变易法常数变易法*例例7. 设)(xf在,ba上连续, 在, 1)()(bfaf证明存在, ),(,ba),(

19、ba内可导,且使1)()(ffe证证: 转化为证efefe)()(设辅助函数, )()(xfexFx由于它在,ba满足拉氏中值定理条件,即证xxxxexfe)( )(因此存在, ),(ba使)()()(FabaFbF)()(ffeabeeab再对转化为证efefe)()(xex )(在,ba上用拉氏中值定理 ,则存在, ),(ba使eabeeab因此),(,)()(baefefe)()(ffeabeeab, ),(ba*例例8. 设)(xf在 1 ,0上连续, 在, 1) 1 (,0)0(ff试证对任意给定的正数,ba) 1 ,0(内可导,且存在, ) 1,0(, 证证: 转化为证1)()(f

20、fbabbaa因, 10baa即) 1 ()0(fbaaf由连续函数定理可知, 存在, ) 1,0(使,)(baaf使bafbfa)()(因此)(1fbab对)(xf分别在 1, , ,0上用拉氏中值定理 , 得),0(,)()0()(fff) 1 ,(, )1)()() 1 (fff, 1) 1 (,0)0(ffbaaf)(baa,)(f bab)1)( f1)1 ()()(ffbabbaa,)()(bafbfa即) 1,0(, )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例10. 设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(

21、, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证证: 结论可变形为设则)(, )(xFxf在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例11. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(则 f (x) , F(x) 在 1 , e

22、上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 当 时, 试证0 x)21)(41()(211xxxxx证证: 设,)(ttf当 时,0 x)(tf在 1,xx上满足拉氏中值定理条件, 因此有)1)(0()(211xxxxx解出) 1(2141)(xxxx, 则0 x时 21)( x1) 1(212xxx 211)(