2022年专题复习中考数学归纳与猜想(含答案)

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载专题复习归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出肯定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让同学认真分析，认真观看，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题；其解题思维过程是：从特别情形入手探究发觉规律综合归纳猜想得出结论验证结论，这类问题有利于培育同学思维的深刻性和制造性；一、学问网络图猜猜想规律型想性问题猜想结论型猜想数式规律猜想图形规律猜想数值结果猜想数量关系猜想变化情形二、基础学问整理猜想规律型的问题难度相对较小，常常以填空等形式显现，解题时要善于从所供应的数字或图形信息中，查找其共同

2、之处，这个存在于个例中的共性，就是规律；其中包蕴着“特别一般特别”的常用模式，表达了总结归纳的数学思想，这也正是人类熟悉新生事物的一般过程；相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，详细题目往往是直观猜想与科学论证、详细应用的结合，解题的方法也更为敏捷多样：运算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到；由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探究发觉新知的重要手段，特别有利于培育制造性思维才能，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点； 范例精讲【归纳与猜想】例 1【河北试验区05】观看右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律： 111× 122

3、 222× 32 3 333× 43 4 444× 54 5精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：猜想并写出与第n 个图形相对应的等式；解： 5×565 56 nnnn；n1n1例 2归纳猜想型将一张正方形纸片剪成四个大小外形一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如

4、此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：所剪次数12345正方形个数47101316假如能剪100 次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发觉什么规律？假如剪n 次共有 A n 个正方形，试用含n、A n 的等式表示这个规律；利用上面得到的规律，要剪得22 个正方形，共需剪几次？能否将正方形剪成2004 个小正方形？为什么？如原正方形的边长为1，设 an 表示第 n 次所剪的正方形的边长，试用含 n 的式子表示an；试猜想a1 a2 a3 an 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系解 ： 100× 3 1 301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得

5、到的小正方形的个数多3 个；A n 3n 1；如 A n 22，就 3n 1 22， n 7，故需剪7 次；a1如 A n 2004，就 3n1 2004，此方程无自然数解，1不能将原正方形剪成2004 个小正方形；a2 a3n an 1 ；2 a1 11， a1 a2 1131， a1a2 a3 11171，从而猜想到：22442488a1 a2 a3 an 1. 直观的几何意义如下列图；例 3【安徽试验区05】下图中，图是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图所示，以OA 的一半 OA 1 为半径画弧，再作AOB 的平分线，得到扇形的总数为6 个，分别为：扇形AOB 、扇形 A

6、OC 、扇形 COB 、扇形 A 1OB 1、扇精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载形 A 1OC1 、扇形 C1OB1；其次次划分：如图所示，在扇形C1OB1 中，按上述划分方式连续划分，可以得到扇形的总数为11 个；第三次划分：如图所示；依次划分下去.CCC1C1AB AB ABA1B 1OOA1B 1O图图第一次划分图其次次划分图第三次划分依据题意，完成下表：划分次数扇形总个数16211316421n5n 1依据

7、上表，请你判定按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005 个？为什么？解：由 5n 1 2005，得 n2004 ， n 不是整数，不行能；5优化训练1 【烟台 03，桥西 03 04】如图，细心观看图形，认真分析各式，然后解答问题：（1） 2 1 2S112A1A 4 1A 351（2） 2 1 3S222（3） 2 1 4S3321S4A 6S5S3A 2S2S1 1OA 11请用含有n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律；推算出OA 10 的长；求出 S12S 2 S 2 S 2 的值2310；解：（n） 2 1 n 1， Snn2 OA 11， OA 22， OA 33， OA 1

8、010；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载 S 2 S22 S 2 S211 2 3 10） 551310 4（42 【江苏泰州04】观看图1 至图 5 中小黑点的摆放规律，并依据这样的规律连续摆放，记第 n 个图中的小黑点的个数为y.图 1图 2图 3图 4图 5解答以下问题：填表：n12345y1371321当 n 8 时，y57；你能猜想y 与 n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴沟通；下边给出一种讨论

9、方法；请你依据上表中的数据，把n 作为横坐标，把y 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n， y） . 猜一猜上述各点是否在某一函数 的图象上？假如在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式；解：观看y 这一行，后面的数比前一个数依次增大2， 4，6， 2（ n 1），所以当 n 5 时， y 132（ 5 1） 21；由知，当n 8 时， y 21 1012 1457；略；依据点的排列情形，在一条曲线上，猜想是抛物线，图象略；设二次函数的解析式为yax2 bx c，由（ 1， 1）、（ 2， 3）、（ 3， 7）三点可得，a b c 1 4a2b c 3，解得 9a3b c 7a

10、1b 1，故所求的函数关系式为y x2 x 1. c 1反思 ：问题通过从“特别”到“一般”的归纳过程来探究规律结果，先在坐标系中描出各点的位置，再依据点的位置特点判定变量之间可能的关系，最终依据猜想求解，这正是“课标”提倡的思想；3 一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的平方， 就称自然数a 为完全平方数， 如 64 82，64 就是一个完全平方数如a 20022 20022× 20032 2003 2，求证： a 是一个完全平方数，并写出a 的平方根解：先从较小的数字探究：a1 12 12× 22 22 32（ 1× 2 1） 2， a2 22 22×

11、; 32 32 72（ 2× 3 1） 2，a3 32 32× 42 42 132（ 3× 4 1）2，a4 4242× 52 52 212（4× 5 1）2，精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载于是猜想： a 20022 2002 2× 20032 20032（ 2002× 2003 1） 2（ 4010007） 2，证明采纳配方法（略） 推广到一

12、般，如n 是正整数，就a n2 n2 （ n 1） 2（ n 1） 2 是一个完全平方数n（n 1） 1 2解题策略 ：猜想是数学中重要的思想和方法之一；较大的数字问题可仿较小数字问题来处理， 实现了以简驭繁的策略；在解题时， 假如你不能解决所提出的问题，可先解决 “一个与此有关的问题” ；你能不能想出一个更简单着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特别的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝技”；4 【福建龙岩05】以下是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按肯定规律铺设的图形认真观看图形可知：图有 1 块黑色的瓷砖，可表示为1 111 ；2图有 3 块黑色的瓷砖，可表示为1

13、212 2 ；2图图图图图有 6 块黑色的瓷砖，可表示为12313 3 ；2实践与探究：请在图的虚线框内画出第4 个图形；（只须画出草图）第 10 个图形有块黑色的瓷砖； （直接填写结果）第 n 个图形有块黑色的瓷砖 （用含 n 的代数式表示）解：如右图；55， 1n（ n1）（ n 为正整数）；25 【归纳猜想】观看以下图形，如下列图，如第1 个图形中的空白面积为1，第 2 个图，第形中非阴影部分的面积为343 个图形中非阴影部分的面积为9 ，第 4 个图形中非16阴影部分的面积为27，探究：第n 个图形中非阴影部分的面积为多少（用字母n 64表示）？精选名师 优秀名师 - - - - -

14、- - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（解：当 n 1 时， S1；当 n2 时， S 3432 1；）4当 n3 时， S 9 （163） 3 1；当 n 4 时， S 27（4643） 4 1；4）所以，第n 个图形中非阴影部分的面积为（34n 1；点拨 ：认真分析n、S与3三者之间存在的内在关系探求其规律；46 【青岛 03】随着信息技术的高速进展，电话进入了千家万户，据调查某校初三班的 同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，假如该班

15、有56 名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题， 我们可把该班人数n 与通电话次数s 间的关系用以下模型来表示：如把n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，依据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中， 描出相应各点， 并用平滑的曲线连接起来；依据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？假如在，求出该函数的解析式；依据中得出的函数关系式，求该班56 名同学间共通了多少次电话解：略；依据图中各点的排列规律，猜想各点可能在一个二次函数的图象上，用待定系数法可求得11sn2n；22当 n 56 时， s 1540；111117 【大连课改05】在数学活动中， 小明为了

16、求n 表示），设计如图1 所示的几何图形；请你利用这个几何图形，11111222232412的值（结果用2n122211求2222324的值为；2n423请你 利用图2 ，再设计 一个能求图 1图 2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载111112222324的值的几何图形；2n解 ：（ 1） 11 ；2n（ 2）如图 1 或如图 2 或如图 3 或如图 4 等，图形正确；112 21212 423112223112

17、4213122 122121123228 【2004 全国中学竞赛湖北赛区预赛，贵阳试验区05】如图，正方形表示一张纸片，依据要求需多次分割，把它分割成如干个直角三角形操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4 个全等的直角三角形，其次次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4 个全等的直角三角形；以后按其次次分割的作法进行下去请你设计出两种符合题意的分割方案图；设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观看将其次、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S 填入下表：分割次数n12312最小直角三角形的面积Sa4在条件下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么

18、关系？用数学表达式表示出来解：现供应如下三种分割方案：1每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的，所4以当 n 2 时， S211×a2441a2；当 n 3 时， S3161S241a2；64当分割次数为n 时， Sn1a2 （n 1，且 n 为正整数） 4 n9 【徐州 04】下面的图形是由边长为1 的正方形依据某种规律排列而组成的精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载观看图形，填

19、写下表：图形正方形的个数81318图形的周长182838估计第n 个图形中，正方形的个数为5n 3 ，周长为10n8 （都用含n 的代数式表示）；这些图形中，任意一个图形的周长y 与它所含正方形个数x 之间的关系式为y2x 2 10【福建南平试验区05】定义： 如某个图形可分割为如干个都与他相像的图形，就称这个图形是自相像图形；探究：一般地， “任意三角形都是自相像图形”，只要顺次连结三角形各边中点， 就可将原三角形分割为四个都与它自己相像的小三角形；我们把DEF （图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割 （如图 1）；把 1 阶分割得出的4 个三角形再分别顺次连结它的各边

20、中点所进行的分割，称为2 阶分割（如图2）依次规章操作下去；n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.如 DEF 的面积为10000，当 n 为何值时， 2 Sn 3？（请用运算器进行探究，要求至少写出三次的尝试估算过程）当 n 1 时，请写出一个反映Sn1， Sn， Sn 1 之间关系的等式（不必证明）；解： DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的个数为1 ， Sn 10000当 n5 时， S510000S5 9. 77；4 n4n当 n6 时， S6 10000 2. 44；S6精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第

21、 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载当 n7 时， S7 10000 0. 61；S7当 n 6 时， 2 S6 3；2 S nS n1 × S n1 ；（写出 S n1 4S n ， S n 4S n1 可得 2 分）11【福建三明04】据我国古代周髀算经记载，公元前1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，假如勾是三、股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观看： 3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24

22、， 25；，发觉这些勾股数的勾都是奇19 1191125 112222数，且从3 起就没有间断过；运算（） 、 （）与（） 、 （25 1），并依据你发觉的规律，分别写出能表示7， 24， 25 的股和弦的算式；依据的规律，用 n（ n 为奇数且n 3）的代数式来表示全部这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；连续观看4，3，5；6，8， 10；8， 15， 17；，可以发觉各组的第一个数都 是偶数，且从4 起也没有间断过；运用类似上述探究的方法，直接用m（ m 为偶数且 m4）的代数式来表示他们的股 和弦；【考生留意】 ：除第小题中已发觉的相等关系之外，你仍有其他新的发觉，并能正确证明，将酌情另加1 3 分；分析 ：此题是讨论勾股数，考查同学观看、分析、类比、猜想、验证和证明；解： 1（ 9 1） 419 1） 5125 1） 12125 1） 13；2， 2（； 2（， 2（ 7，24， 25 的股的算式为：1249 1）172 1）（2（弦的算式为： 1（ 49 1）